6现在考虑相反的过程，设某个量子系统Q处于混合态po，我们可以认为β是处于纯态的两体量子系统的关于某个子系统的约化密度矩阵引入一个辅助量子系统（通常称作ancilla)，记作A.系统Q和辅助系统A构成两体量子系统.描述Q和A的Hilbert空间分别是eo和yeA描述两体系统的Hilbert空间是光e=eQeA构造一个纯态[)e，使得po=TrA亚，亚=[)(从e上的pe到e中的）就是混合量子态的纯化（purification)标准纯化形式首先写出po的本征分解形式p=EA [5i) (5i]=1这里假设e的维数是n,且po是满秩的.是pe的本征值，>0,=,=1将eA的维数选定为n，即dime=dimeA=n.将e4的基向量选择为（lo.构造）如下，=)[0)(4)1=1容易验证TrA亚=pe考虑一下非标准的纯化设想p是系综（pi，ii=1m的平均量子态，这里是纯态li）的密度矩阵，不同的lui）不一定正交，且m也未必等于Hilbert空间Q的维数.系统Q的密度矩阵是m=i=1引入辅助系统A,dim(4）=m，loi）4,且《gilj)=8j，我们可以把pe的纯化形式表示为[=)i=1分析一下eQ和A维数相同情况下的纯化，dim（eQ）=dim（yeA）=n.标准的纯化形式由（4）给出.现在考虑在4的另一组基向量上表示亚）[1i]] →(In)]其中V是酉矩阵，它的矩阵元是vij=《gilni）在新的表象中，亚）写为，[) =) ) ()j=E(ZV/ 15)) α m)(5)
6 现在考虑相反的过程, 设某个量子系统 Q 处于混合态 Q, 我们可以认为 是处于纯态的两体量子系统的关于某 个子系统的约化密度矩阵. 引入一个辅助量子系统 (通常称作 ancilla), 记作 A. 系统 Q 和辅助系统 A 构成两体量子系统. 描述 Q 和 A 的 Hilbert 空间分别是 H Q 和 H A. 描述两体系统的 Hilbert 空间是 H = H Q ˝ H A. 构造一个纯态 jΨi 2 H , 使得 Q = TrA Ψ; Ψ = jΨi hΨj 从 H Q 上的 Q 到 H 中的 jΨi 就是混合量子态的纯化 (purification). 标准纯化形式 首先写出 Q 的本征分解形式 Q = Xn i=1 i jii hi j 这里假设 H Q 的维数是 n, 且 Q 是满秩的. i 是 Q 的本征值, i > 0, Pn i=1 i = 1. 将 H A 的维数选定为 n, 即 dim H Q = dim H A = n. 将 H A 的基向量选择为 fj'iig. 构造 jΨi 如下, jΨi = Xn i=1 p i jii ˝ j'ii (4) 容易验证 TrA Ψ = Q 考虑一下非标准的纯化. 设想 Q 是系综 fpi ; i gi=1; ;m 的平均量子态, 这里 i 是纯态 j ii 的密度矩阵, 不同的 j ii 不一定正交, 且 m 也未必等于 Hilbert 空间 H Q 的维数. 系统 Q 的密度矩阵是 Q = Xm i=1 pi i ; i = j ii h i j 引入辅助系统 A, dim(H A) = m, j'ii 2 H A, 且 h'i j'j i = ıij , 我们可以把 Q 的纯化形式表示为 jΨi = Xm i=1 p pi j ii ˝ j'ii 分析一下 H Q 和 H A 维数相同情况下的纯化, dim(H Q) = dim(H A) = n. 标准的纯化形式由 (4) 给出. 现在考 虑在 H A 的另一组基向量上表示 jΨi, ˚ j'ii V ! ˚ jii 其中 V 是酉矩阵, 它的矩阵元是 vij = h'i jj i. 在新的表象中, jΨi 写为, jΨi = X i p i jii ˝ X j jj i hj j 'ii = X j X i p iv ij jii ˝ ˇ ˇj ˛ (5)
7如果令=，，那么有)=/=1其中）既不归一，也不彼此正交，（5)式是非标准的纯化形式.这表明，当dim(eの）=dim(e4）时，标准纯化形式和非标准纯化形式的差别仅仅是对辅助系统的局部酉变换，实际上，这个说法含有模糊不清的地方，详细的讨论可参看L.P.Hughston,R.Jozsa,W.K.Wootters,Acompleteclassificationofquantumensembleshavinga given density matrix. Physics Letters A 183, 14-18 (1993).Mach-Zehnder干涉仪Which way图1是Mach-Zehnder干涉仪的示意图我们将分束器BS（BeamSplitter）的作用视作一个Hadamard变换，HHadamard变换(10) +[1),(10) [1)[0] -[1] -1/2反射镜的变换是UmirrorD1eMirroUDDoBS2[1)10)[0) @/v)XBS1Mirror图 1已经知道，探测器D。和D，记录到粒子的几率分别是[1+Re(e-ix(|U1))]po=2Pi=[1-Re(e- ()]
7 如果令 ˇ ˇ ˜ j ˛ = P i p iv ij jii, 那么有 jΨi = Xn j =1 ˇ ˇ ˜ j ˛ ˝ ˇ ˇj ˛ 其中 ˇ ˇ ˜ j ˛ 既不归一, 也不彼此正交, (5) 式是非标准的纯化形式. 这表明, 当 dim(H Q) = dim(H A) 时, 标准纯化 形式和非标准纯化形式的差别仅仅是对辅助系统的局部酉变换. 实际上, 这个说法含有模糊不清的地方, 详细的 讨论可参看 L. P. Hughston, R. Jozsa, W. K. Wootters, A complete classification of quantum ensembles having a given density matrix. Physics Letters A 183, 14-18 (1993). Mach-Zehnder 干涉仪 Which way 图 1 是 Mach-Zehnder 干涉仪的示意图. 我们将分束器 BS (Beam Splitter) 的作用视作一个 Hadamard 变换, H = 1 p 2 0 @ 1 1 1 1 1 A ; Hadamard 变换 j0i ! 1 p 2 (j0i + j1i); j1i ! 1 p 2 (j0i j1i): 反射镜的变换是 Umirror = x = 0 @ 0 1 1 0 1 A : |0ñ| Ä yñ c BS1 BS2 Mirror Mirror D0 D1 |0ñ |1ñ U 图 1 已经知道, 探测器 D0 和 D1 记录到粒子的几率分别是 p0 = 1 2 1 + Re e i h jU j i ; p1 = 1 2 1 Re e i h jU j i