特殊情形 (1)L:y=y(x)asx≤b =r L y=y(x). a<xsb.d=√1+v2(x) ff(r, y)ds=DfIx,v(x)l1+ 2(x)dx.(a<) (2)L:x=q(y)c≤y≤d. L:x=() c≤y≤d +o'(y) dy LJ(,y)dsy ∫p(y),yl1+2(y)((c<d
(2) L: x = ( y) c y d. ( , ) [ ( ), ] 1 ( ) . 2 f x y ds f y y y dy d L c = + (c d) . . ( ), : c y d y y x y L = = 1 ( ) . 2 ds = + y dy 特殊情形 (1) L: y =(x) a x b. . ( ). , : a x b y x x x L = = 1 ( ) . 2 ds = + x dx ( , ) [ , ( )] 1 ( ) . 2 f x y ds f x x x dx b L a = + (a b)
对弧长曲线积分的计算公式 1.曲线L: =() a≤t≤B. y=y() f(xy)k=1219(y(ol2(+y2(od 2.曲线:y=0(x)a≤x≤b ,f(x,y)=fxw(x1+2(x) 3.曲线L:x=0(y)c≤y≤d. I,/(x, ds=/lo(v),Jl1+o2(
= = ( ). ( ), : y t x t L 1. 曲线 t . 对弧长曲线积分的计算公式 f x y d s f t t t t dt L = + ( , ) [( ),( )] ( ) ( ) 2 2 则 2. 曲线 L: y =(x) a x b. ( , ) [ , ( )] 1 ( ) . 2 f x y ds f x x x dx b L a = + 3. 曲线 L: x = ( y) c y d. ( , ) [ ( ), ] 1 ( ) . 2 f x y ds f y y y dy d L c = + 则 则
推广:r:x=q(t),y=v(t),z=o(t).(a≤t≤B) Urf(x, y, z)ds =llp(w(n,o(ly2()+y()+o2()t (a<B)
推广: : x = (t), y =(t), z =(t). ( t ) ( ) [ ( ), ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) ( , , ) 2 2 2 = + + f t t t t t t dt f x y z d s
例1.计算yds其中L为2=2x自点(,00到点(,2) 的一段弧 解1:L:y=√2x,05x2 ds dx +--dx dx 2x ds=「√2x L 2x 0 √2xHdx=(5 5
例1. 计算 yds. L 其中 L 为y 2=2x自点(0, 0)到点(2, 2) 的一段弧. x x y s x L d 2 1 d 2 1 2 0 = + 解1： L : y = 2x, 0≤x≤2 x x y s d d d d 1 2 = + x x d 2 1 = 1+ y 2=2x 0 2 2 y x 2x 1dx 2 0 = ＋ (5 5 1) 3 1 = −
解2:L:x 0≤y2 2 ds=,1+ 1+y d 2 Vas (5√5-1) x
解2： , 0≤y≤2 2 : 2 y L x = y s y y y L d 1 d 2 0 2 = + y y x s d d d d 1 2 = + 1 y dy 2 = + (5 5 1) 3 1 = − 0 2 2 y x 2 2 y x =