留数及其应用之 留在定秋分的 单精助教件 数学数研宝
留数在定积分的应用 教学辅助软件 数学教研室 留数及其应用之
目的、要求 理解定积分与复 积分的联系,掌握利 8用留数定理计算二种 3类型的定积分
理解定积分与复 积分的联系，掌握利 用留数定理计算三种 类型的定积分。 目的、要求
(s) 30 R(coS. sinb)a6 定理设 R(cos 6,sin的)为cs,sin的的有 理函数,令z=c,则dk=ietd=izdb c3+z1 +1 2Z sing 2iz 1 d R(cos 6,sin川0=∮ R/3+1 2 2iz ∮f(xk 2zi/f(z)在单位圆内奇点的留数和] 要求右边的被积函数在|z|=1上没有奇点
（一）形如 R(cos ,sin )d 2 0 2 2 2 0 1 1 1 2 2 |z| z z dz R(cos ,sin )d R[ , ] z iz iz = + − = 要求右边的被积函数在|z|=1上没有奇点. 1 2 1 2 2 z z z cos , z − + + = = 1 2 1 2 2 z z z sin . i iz − − − = = i i R(cos ,sin ) cos ,sin z e , dz ie d izd = = = 定理 设 为 的有 理函数,令 则 |z| 1 f ( z )dz = = = 2i[ f ( z )在单位圆内奇点的留数和]
cos 20 例1计算Ⅰ 2丌 d6(0<p<1 1-2 8+p 解∵cos20=( 2ie 2i6 e+e0)=x( Z +Z 2 z z+z 1-2p2 + p 1+ =92=12i(1-pz1x-) f(z)有三个极点z=0、P、1/P,但 只有0、P在z|=1内
∵ f（z）有三个极点z=0、P、1/P，但 只有0、P在|z|=1内. cos I d ( p ) pcos p = − + 2 0 2 2 0 1 1 2 例1 计算 i i cos ( e e ) ( z z ) − − = + = + 1 1 2 2 2 2 2 2 2 解 -1 p z z z dz I z z iz p − = + = + − + 2 2 1 2 1 2 1 2 2 z z dz iz ( pz )( z p ) = + = − − 4 1 2 1 2 1
其中z=0是二级极点,z=p是一级极点 d2 1+z Res/f(z),0=lim/ 202iz21-pz)(z-p) 1+P 2ip 1+z Res/(z),p/= lim/(z-p) x→>p 2ix2(1-pz)(x-p) 1+P 2ip2(1-p 2丌 1=nil 1+P 1+P 2ip22ip(1-p2)1-p
其中z=0是二级极点，z=p是一级极点. z p z Re s[ f ( z ), p ] [( z p ) ] iz ( pz )( z p ) lim → + = − − − 4 2 1 2 1 p ip + = − 2 2 1 2 z d z Re s[ f ( z ), ] [ z ] dz iz ( pz )( z p ) lim → + = − − 4 2 2 0 1 0 2 1 p ip ( p ) + = − 4 2 2 1 2 1 p p p I i[ ] ip ip ( p ) p + + = − + = − − 2 4 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1