级数 复数项级 数 二、幂级数 、泰勒级数 四、洛朗级数
级数 ⚫ 一、复数项级 数 ⚫ 二、幂级数 ⚫ 三、泰勒级数 ⚫ 四、洛朗级数
设f(z)在区域D解析,为D内一点d为x0到 D的边界上各点的最短距离,当kz-70<d时, n f()=∑ 0 ni n=0 此级数称为f(x)以z0为中心的泰勒级数 将f(z展成这样的级数称为将f(z)在z=泰勒展开 当z=0时,分别称为马克劳林级数,马克劳林展开
1、定理 0 0 ( ) D , D ,d , , 0 ( ) 0 0 0 - ( ) ( ) ( ) ! n n n f z z z D z z f z f z z z n = = − 设 在区域 解析 为 内一点 为 到 的边界上各点的最短距离 当 <d时 0 此级数称为 以 为中心的泰勒级数 f z z ( ) . . 0 将 展成这样的级数称为将 在 泰勒展开 f z f z z z ( ) ( ) = 当z = 0时, . 分别称为马克劳林级数,马克劳林展开
fx)=1f15 d 1f(5)1 2ni 2元i 1f(5)1,z-0 ()+…+(。)+ 0+…Jde 元 Z-Z 0 0
0 0 0 1 1 1 2 2 k k 1 f ( ) f ( ) f ( z ) d . d i z i z z z z = = − − − − − 2 0 n 0 0 0 n-1 0 0 0 0 0 ( ) 1 [1 ( )+ +( ) + + ] 2 k 1 z - z f ( ) z - z z - z z d i z z z z - z z − = + − − − − −
2、基物导豳数的缴教刻 z=1+x++…+-+…,孔<+0 2! 2n-1 SInz= z 十∴十 (-1)-1 <+o 3! (2 1)! C0s=1-°,+…+(-1) <+o 2! (2n)! =1-x+ 2 +(-1) nn <1 1+
2、基本初等函数的幂级数展开式 2 2 1 , 2! ! z z z e z z n = + + + + + + 2 2 1 1 sin ( 1) , 3! (2 1)! n z z n z z z n − − = − + + − + + − 2 2 cos 1 ( 1) , 2! (2 )! n z z n z z n = − + + − + + 1 2 1 ( 1) , 1 1 n n z z z z z = − + − + − + +
例1把下列函数展成z的幂级数,求其收敛半径 (1)∫(z) (2)f(z)=ln(1+z) 1+z) 解(1) (1+z) 1 -1-z+(-z)2+…+(-x)2+…y 1-2z+3z2+…+(-1)2+1mzn++ ∑(-1)"(n+1z(R=1) (1+z) =0
2 1 1 ( ) ( ) ln(1 ) (1 ) z f z f z z z = = + + 例1 把下列函数展成 的幂级数 求其收敛半径 （ ） , . (2) (1) 2 2 2 1 1 1 1 ( ) (1 ) 1 [ 1 ( ) ( ) ] 1 2 3 ( 1) , n n n z z z z z z z nz + − = − + + = − − + − + + − + = − + + + − + 解 2 0 1 ( 1) ( 1) ( 1) (1 ) n n n n z R z = = − + = +