解析函数 导数 解析 、初等函数
解析函数 ⚫ 一、导数 ⚫ 二、解析 ⚫ 三、初等函数
问题 (1)指数函数,对数函数幂函数,三角函数,双 曲函数等如何定义?分别有什么性质?分别与对 应的实函数有何区别与联系? (2)下列各式是否恒成立? 1)e2>0, 2)|sinz≤1, 3)Lna=bina 4)Lnz,+ Lnz=2Lnz
(1) , , 指数函数 对数函数 幂函数,三角函数,双 曲函数等如何定义?分别有什么性质?分别与对 应的实函数有何区别与联系? 1 1 1 ( 2) ? 1) 0, 2) | sin | 1, 3) 4) 2 z b e z Lna bLna Lnz Lnz Lnz = + = 下列各式是否恒成立 问题
指数函数 定义:设z=x+j称w=e(cosy+ tSIn y)为指数函数 性质1)当mz=0,则e2=e是实函数的指数函数 2)在面上每一点:|e=e≠0,故e≠0 3服从加法定律:e+=ee2 e2l.el=e(cosy, tisin y,) e(cosy2 +isin y2 =e1[cos(v+y2)+isin (v,+y2) =已
1 指数函数 1 2 1 2 3) z z z z e e e + 服从加法定律: = 2) | | 0, 0. z x z 在 面上每一点: 故 z e e e = 1) Im 0, z x 性质 当 则 是实函数的指数函数. z e e = = , (cos sin ) . x 定义:设 称 为指数函数 z x iy w e y i y = + = + 1 2 1 2 1 1 2 2 ( sin ) ( sin ) z z x x e e e cosy i y e cosy i y = + + 1 2 1 2 1 2 [ ( ) sin( )] x x e cos y y i y y + = + + + 1 2 z z e + =
4)e2=e2+2Mn,k=0,±1,±2,…2有周期2ki 2Ti cOS2丌+isin2兀 5)e=e2台孙1=3,+2ki 3丌i+2zi 形1 0 0 2Ti 3Ti
2 4) , 0, 1, 2, . z z k i e e k + = = 2 . z e k i 有周期 1 2 1 2 5) 2 . z z e e z z k i = = + 2 cos2 sin2 , i e i = + 0 x y 0 u v i − i 3 i − 3 i z z i + 2 z i − 2 w z w e =
6)e在复平面内处处解析,且(e2)=e2 考察=e的映射特点(-z<Imz≤x) 设x=x+i,w=pe i8 y e x+=· 从而 e0=e1=y+0(k为整数) 面上的直线x=x经w=e映射为v面上 的圆周:P=e”即|w|=e
6) ( ) z z z e e e 在复平面内处处解析,且 . = , i z x iy w e 设 = + = ( Im ) z 考察 的映射特点 w e z = − i z e e = x iy e + = x iy = e e x i iy e e e = = 从而 ( ) x e y i k = = + 或 为整数 0 z z x x w e w 面上的直线 经 映射为 面上 = = 的圆周: 0 x = e 0 | | x 即 w e =