复变函数的积分 复变函数积分的概念与性质 柯西一古萨定理 原函数与不定积分 四、柯西积分公式 五、解析函数的高阶导数 六、解析函数与调和函数
复变函数的积分 ⚫ 一、复变函数积分的概念与性质 ⚫ 二、柯西—古萨定理 ⚫ 三、原函数与不定积分 ⚫ 四、柯西积分公式 ⚫ 五、解析函数的高阶导数 ⚫ 六、解析函数与调和函数
柯西—古萨定理:如果函数fx)在 单连通域处处解析,那么fx沿B 内的任一条封闭曲线C的积分为0即 ∮。f(z)dk=0
（一）定理 ⚫ 柯西—古萨定理：如果函数 f( z )在 单连通域B内处处解析，那么 f( z )沿B 内的任一条封闭曲线C 的积分为0,即 ( ) 0 c f z dz =
手Eih:1 定义:如果有 简单闭曲线全被一条简 单闭曲线包含在内,这 些内部的闭曲线互不包 含,也不相交,则说它 们组成一条复合闭路。 闭路正向:指沿此方向前进时区域总在 左手边的那个方向。复合闭路的外圈为反 时针,内中的圈为顺时针 0 十c,十C,+十C
（二）复合闭路 ⚫ 定义：如果有一些 简单闭曲线全被一条简 单闭曲线包含在内，这 些内部的闭曲线互不包 含，也不相交，则说它 们组成一条复合闭路。 闭路正向：指沿此方向前进时区域总在 左手边的那个方向。复合闭路的外圈为反 时针，内中的圈为顺时针. co cn c2 c1 0 1 2 n c c c c − − − = + + + +
复合闭路定理:如果f(x)在D内解析=c+c +c2+…+Cn所围的区域全属于D,则∫f(z)dz=0 或∮f(z)d=∑f(z)d(c及c都取正向) k=1
定理的推广 1 ( ) ( ) ( ) k n c C k k f z dz f z dz c c = 或 及 都取正向 = - 1 - - 2 : ( ) ( ) 0. n f z D c c c c D f z dz = + + + + = 复合闭路定理 如果 在 内解析, 所围的区域全属于 ,则
∮f()k=0,| F 2 AEBBEAA B ∮f(z)k=0 AAFB'BFA E ∮f(z)+∮f(z)d+∫f(x)+∫f(z)l AA A'A +∫f(z)l+∫f(z)dz=0 B'B BB ∮f(z)/+∮f(z)d=0.→f(x)=∮f(z)
( ) 0, AEBB EA A f z dz = ( ) 0. AA F B BFA f z dz = 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0. c c AA A A B B BB f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz − + + + + + = 1 ( ) ( ) 0. c c f z dz f z dz − + = 上两式相加得 1 ( ) ( ) . c c = f z dz f z dz c1 c2 A E F B A B F E D