复叟函歙的
复变函数的积分
复变函数的积分 复变函数积分的概念与性 质 二、柯西一古萨定理 原函数与不定积分 四、柯西积分公式 五、解析函数的高阶导数 六、解析函数与调和函数
复变函数的积分 ⚫ 一、复变函数积分的概念与性 质 ⚫ 二、柯西—古萨定理 ⚫ 三、原函数与不定积分 ⚫ 四、柯西积分公式 ⚫ 五、解析函数的高阶导数 ⚫ 六、解析函数与调和函数
江√ 设函数w=f(x)定义在 区域D上,C是D内的光滑 有向曲线,起点为a,终点 为B。把C任意分为n个弧s 段,分点为:a=z,z1 ■■E mn,znB,在每个小弧段 0 K-Iwk 上任取的一点点k, 作和式 Sn=∑f(9k)(k-1)=∑∫(5k)△ =1
. z2 Zn-1 . z1 . . Zk . Zk-1 β α 1 1 1 ( )( ) ( ) n n n k k k k k k k S f z z f z − = = = − = 0 y x . ξn . ξ2 . ξ1 . ξk （一）复积分的定义 ⚫ 设函数 w = f (z )定义在 区域D上，C是D内的光滑 有向曲线，起点为α，终点 为β 。把C 任意分为n 个弧 段，分点为:α= z0 ,z1 , …, zn-1 ，zn =β,在每个小弧段 ⚫ 上任取的一点ξk ， 作和式 k k 1 z z −
厘次平 其中△k=-k1,记△sk=弧段 k1zk的长度,δ=mx{Ask(sk≤m),当n 无限增加且δ趋于0时,不论对C如何分法 及如何取法,S有唯一的极限,则定 义∫(z)沿曲线C的积分为: f(alz=lim∑f(5k)Ak δ→>0k=1
其中△zk= zk – zk-1 ，记△ sk = 弧段 的长度， δ= max{△sk }(1≤k≤n) ,当n 无限增加且δ趋于0 时，不论对C 如何分法 ，及ξk如何取法，Sn有唯一的极限，则定 义 f (z ) 沿曲线C 的积分为: 0 1 ( ) lim ( ) n c k k k f z dz f z → = = （一）复积分的定义 k k 1 z z −
定理若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿曲线c连续,则 f(x)沿e可积,且「f(x)=』ut-w+』w+wy 证设5k=5k+imn △ y,,十 k k k-1 k k k-1 x2-x-1+i(y4-y k )=△x+i△y ∑∫(5)△k=∑[u(6k,k)+iv(5k,7k)列(△xk+iy k=1 =lu(sk,nkAxk-v(sk, nk)AvkI +iIV(Sk, nk)ak +u(sk, nk )AykI k=1
（二）计算公式一 ( ) ( , ) ( , ) , ( ) , ( ) c c c f z u x y iv x y c f z c f z dz udx vdy i vdx udy = + = − + + 定理 若 沿曲线 连续 则 沿 可积 且 , k k k 证 设 = + i 1 1 1 ( ) k k k k k k k z z z x iy x iy = − = − − + − − − 1 1 ( ) k k k k x x i y y = − + − − − k k = + x i y 1 1 ( ) [ ( , ) ( , )]( ) n n k k k k k k k k k k f z u iv x i y = = = + + 1 1 [ ( , ) ( , ) ] [ ( , ) ( , ) ] n k k k k k k k n k k k k k k k u x v y i v x u y = = = − + +