常微分方程教案定理1：设M(x,y)、N(x,y)在某区域R内连续并且有一阶连续偏导数，则方程(2.13)是全微分方程的充要条件是aM(x, y) _ aN(x, y)(2.14)dyax证明：先证必要性。因为(2.13)是恰当方程，则有可微函数F(x,y)满足aF(x, ) dx +F(x,dy = M(x, )dx+ N(x, y)dydF(x,y) :axay从而有M(x,)=F(, (x,)= F()(2.15)ayaxF的2阶混合偏导数为"F(x, ) _ aN(x, y)"F(x, ) _ OM(x, y)yaxaxaxdyayaN(x,y) _ aM(x,y)因为“F和"F连续，所以“F_“F，从而axayayaxdyaxayaxyax下面证明充分性，即在条件(2.14)下寻找函数F(x,y)，使其满足(2.15)。在区域R中取定点Po(xo,yo)，P(x,y)是R中任意的点。为了让F(x,y)满足(2.15)中第一个方程，在=OF(s两边从xo到x对x积分，并把y看成常量，这样得到M(x. v)=axF(x, )=f' M(s, y)ds + p(y)得F(-M(sds+)，所以其中p(y)是y的任意函数。上式两边对y求导得ydyaF(x,Jy)[N(sds+()=N(x)-N()+0')ayXoas为了使F(x,y)满足(2.15)中第二个方程，只需要选择(y)满足Φ(y)=N(xo,y)，即p()=J"N(xo,s)ds。这样得到满足(2.15)的F(x,y)=f" M(s, y)ds+f"N(xo,s)ds(2.16)通常用定理1的结论验证一个方程是否为全微分方程。求F(x,y)的方法有：1)定理1的结论(2.16)，2)定理1证明中求F(x,y)的过程，3)分项组合凑微分法。下面结合例子予以说明。方法1：用结论(2.16)求F(x,y)。- 21 -
常微分方程教案 定理 1：设 M(x, y)、N(x, y)在某区域 R 内连续并且有一阶连续偏导数，则方程(2.13) 是全微分方程的充要条件是 x N x y y M x y ∂ ∂ = ∂ ∂ ( , ) ( , ) (2.14) 证明：先证必要性。因为(2.13)是恰当方程，则有可微函数 F(x,y)满足 dy M x y dx N x y dy y F x y dx x F x y dF x y ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) = + ∂ ∂ + ∂ ∂ = 从而有 x F x y M x y ∂ ∂ = ( , ) ( , ) , y F x y N x y ∂ ∂ = ( , ) ( , ) (2.15) F 的 2 阶混合偏导数为 x N x y y x F x y ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ( , ) ( , ) 2 、 y M x y x y F x y ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ( , ) ( , ) 2 因为 y x F x y ∂ ∂ ∂ ( , ) 2 和 y x F x y ∂ ∂ ∂ ( , ) 2 连续，所以 y x F x y ∂ ∂ ∂ ( , ) 2 = y x F x y ∂ ∂ ∂ ( , ) 2 ，从而 y M x y x N x y ∂ ∂ = ∂ ∂ ( , ) ( , ) 。 下面证明充分性，即在条件(2.14)下寻找函数 F(x,y)，使其满足(2.15)。在区域 R 中 取定点 P0(x0, y0)，P(x,y)是 R 中任意的点。为了让 F(x,y)满足(2.15)中第一个方程，在 x F x y M x y ∂ ∂ = ( , ) ( , ) 两边从 x0 到 x 对 x 积分，并把 y 看成常量，这样得到 ∫ = + x x F x y M s y ds y 0 ( , ) ( , ) ϕ( ) 其中 φ(y)是 y 的任意函数。上式两边对 y 求导得 ( ) ( , ) ( , ) 0 ds y y M s y y F x y x x +ϕ′ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∫ ，所以 ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) 0 0 ds y N x y N x y y s N s y y F x y x x +ϕ′ = − +ϕ′ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∫ 为了使 F(x,y)满足(2.15)中第二个方程，只需要选择 φ(y)满足 φ´(y) = N(x0, y)，即 y N x s ds y ∫y = 0 ( ) ( , ) ϕ 0 。这样得到满足(2.15)的 ∫ ∫ = + y y x x F x y M s y ds N x s ds 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 (2.16) 通常用定理 1 的结论验证一个方程是否为全微分方程。 求 F(x, y)的方法有：1)定理 1 的结论(2.16)，2)定理 1 证明中求 F(x, y)的过程，3)分 项组合凑微分法。下面结合例子予以说明。 方法 1：用结论(2.16)求 F(x,y)。 - 21 -
常微分方程教案H例2：求解方程(ycosx+2xe)dx+(sinx+xey+2)dy=0。aMcOsx+2xe'_ON解：这里M(x,y)=ycosx+2xe',N(x,y)=sinx+xey+2，所以axay所以方程是全微分方程。由于M(x，y)和N(x，y)在任何点处有连续一阶偏导数，选择定点(0,0)。由(2.16)得F(x,y)= "M(s, )ds+f"N(xo,s)ds=f. ycoss+2se'ds +f2ds = ysin x+x'e' +2y所以方程的通解为ysinx+x?ey+2y=C。方法2：用定理1证明中求F(x，y)的过程求F(x,y)，其中，取不定积分和取定积分均可。例3：求解方程(e*+y)dx+(x-2siny)dy=0。OM-1-0解：这里M(x,y)=e+y，N(x,y)=x-2siny，所以，所以方程是全微dy分方程。下面求满足下面条件的F(x,y)oF(x,)=x-2sin yOF(x,)=e* +y,dyax在第一个方程中，将X看成自变量，y看成常量，则它是常微分方程。积分得F(x,)=x+ 0'()=x-2sin y, 所以 0(y)F(x,y)=e+ydx=e+xy+p(y)，对y求导得oy=-2siny，p(y)=2cosy。这样F(x,y)=e*+xy+2cosy，方程的通解为e*+xy+2cosy=c。方法3：分项组合凑微分法求F(x,y)。此法即将一些项适当组合在一起变成全微分的形式。需要知道：1)若dx前面没有y，则是全微分；2)若dy前面没有x，则是全微分；3)若两项可以化为g(y)df(x)+f(x)dg(y)，则是全微分df(x)g(y)：4)若有两项在将一个变量看成常量时都可化为dF(x,y)，则这两项的和是全微分dF(x,y)。具体过程为：去括号---简单变形---组合---全微分---得到解。例4：求解方程(cosxsinx-xy)dx+y(1-x)dy=0。解： 这里 M(x,y)=cossinx-xy, N(x,)=y(1-x1),所以%=-2y-%,“x，所以ay方程是全微分方程。将方程去括号得cosxsinxdx－xy2dx+ydy-yxdy=O，所以有dy2_1ydx?+xdy?=0，所以d(sin2x)+d(2)-d(xy")=0，所以d(-sin2x)22231I,2-xy? =c或 sin'x+y2-xy?1 y2_ 1 sin? x +sin?x+x22）=0。所以方程的解为dl2222°22=C.- 22
常微分方程教案 例 2：求解方程(ycosx + 2xey )dx + (sinx + x2 ey + 2)dy = 0。 解：这里 M(x, y) = ycosx + 2xey ，N(x, y) = sinx + x2 ey + 2，所以 x N x xe y M y ∂ ∂ = + = ∂ ∂ cos 2 ， 所以方程是全微分方程。由于 M(x, y)和 N(x, y)在任何点处有连续一阶偏导数，选择定 点(0,0)。由(2.16)得 ∫ ∫ = + y y x x F x y M s y ds N x s ds 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 = y s se ds ds y x x e y y x y y cos 2 2 sin 2 2 0 0 + + = + + ∫ ∫ 所以方程的通解为 ysinx + x2 ey + 2y = c。 方法 2：用定理 1 证明中求 F(x, y)的过程求 F(x,y)，其中，取不定积分和取定积分 均可。 例 3：求解方程(ex + y)dx + (x – 2siny)dy = 0。 解：这里 M(x, y) = ex + y，N(x, y) = x – 2siny，所以 x N y M ∂ ∂ = = ∂ ∂ 1 ，所以方程是全微 分方程。下面求满足下面条件的 F(x,y) e y x F x y x = + ∂ ∂ ( , ) ， x y y F x y 2sin ( , ) = − ∂ ∂ 在第一个方程中，将 x 看成自变量，y 看成常量，则它是常微分方程。积分得 F(x, y) e ydx e xy ( y) x x = + = + +ϕ ∫ ，对 y 求导得 x y x y y F x y ( ) 2sin ( , ) = + ′ = − ∂ ∂ ϕ ，所以 φ´(y) = -2siny，φ(y) = 2cosy。这样 F(x, y) = ex + xy + 2cosy，方程的通解为 ex + xy + 2cosy = c。 方法 3：分项组合凑微分法求 F(x, y)。 此法即将一些项适当组合在一起变成全微分的形式。需要知道：1)若 dx 前面没有 y， 则是全微分；2)若 dy 前面没有 x，则是全微分；3)若两项可以化为 g(y)df(x)+f(x)dg(y)， 则是全微分 df(x)g(y)；4)若有两项在将一个变量看成常量时都可化为 dF(x, y)，则这两项 的和是全微分 dF(x, y)。具体过程为：去括号-简单变形-组合-全微分-得到解。 例 4：求解方程(cosxsinx – xy2 )dx + y(1 – x2 )dy = 0。 解：这里 M(x, y) = cosxsinx – xy2 ，N(x, y) = y(1 – x2 )，所以 x N xy y M ∂ ∂ = − = ∂ ∂ 2 ，所以 方程是全微分方程。将方程去括号得 cosxsinxdx – xy2 dx + ydy – yx2 dy = 0，所以有 0 2 1 2 1 2 1 sin ) 2 1 ( 2 2 2 2 2 2 d x − y dx + dy − x dy = ，所以 ) 0 2 1 ) ( 2 1 sin ) ( 2 1 ( 2 2 2 2 d x + d y − d x y = ，所以 ) 0 2 1 2 1 sin 2 1 ( 2 2 2 2 d x + y − x y = 。所以方程的解为 x + y − x y = c 2 2 2 2 2 1 2 1 sin 2 1 或 sin2 x + y2 – x2 y2 = c。 - 22 -
常微分方程教案对例2中的方程可如下求解ycosxdx + 2xe'dx + sinxdy + xe'dy + 2dy = 0ydsinx + sinxdy +e'dx? + x'de' + d(2y) = 0d(ysinx) + d(xe)) + d(2y) = 0d(ysinx + xey + 2y) = 0ysinx + x’ey + 2y = c对例3中的方程可如下求解e*dx + ydx + xdy - 2sinydy = 0dex + d(xy) + d(2cosy) = 0d(ex + xy +2cosy) = 0e*+ xy+2cosy= c通常，用第三种方法求F(x,y)比较简单，但需要较多的经验。2.积分因子如果方程M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0(2.13)不是全微分方程，能将它转化为全微分方程吗？更确切地，能否找到函数μ(x，y)使得(2.17)μ(x, y)M(x, y)dx+ μ(x, y)N(x, y)dy= 0是全微分方程？下面就考虑这个问题。如果(2.17)是全微分方程，则非零函数μ(x，y)称为(2.13)的积分因子。此时(2.17)与(2.13)同解。例5：验证μ(x,y)=x是方程(2y-4x2)dx+xdy=0的积分因子，并求解该方程。Ox2解:方程两边同乘 μ(x,y)=x得(2xy - 4x)dx+ x*dy=0.由于 (2y-4z)=2x=%ayax所以μ(x,y)=x是原方程的积分因子。方程的通解为xy-x=c。例6：验证u(x，y）=x2y是方程(3y+4xy)dx+（2x+3xy)dy=0的积分因子，并求解该方程。解：方程两边同乘μ(x,y)=xy得(3xy?+4xy3)dx+(2xy+3xy2)dy=0。由于(3xy+4xy)=6x'y+12xy_(2*'y+3r)ayax- 23 -
常微分方程教案 对例 2 中的方程可如下求解 ycosxdx + 2xey dx + sinxdy + x2 ey dy + 2dy = 0 ydsinx + sinxdy +ey dx2 + x2 dey + d(2y) = 0 d(ysinx) + d(x2 ey ) + d(2y) = 0 d(ysinx + x2 ey + 2y) = 0 ysinx + x2 ey + 2y = c 对例 3 中的方程可如下求解 ex dx + ydx + xdy – 2sinydy = 0 dex + d(xy) + d(2cosy) = 0 d(ex + xy +2cosy) = 0 ex + xy +2cosy = c 通常，用第三种方法求 F(x, y)比较简单，但需要较多的经验。 2. 积分因子 如果方程 M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (2.13) 不是全微分方程，能将它转化为全微分方程吗？更确切地，能否找到函数 μ(x, y)使得 μ(x, y)M(x, y)dx+ μ(x, y)N(x, y)dy= 0 (2.17) 是全微分方程？下面就考虑这个问题。 如果(2.17)是全微分方程，则非零函数 μ(x, y)称为(2.13)的积分因子。此时(2.17)与 (2.13)同解。 例 5：验证 μ(x, y) = x 是方程(2y – 4x2 )dx + xdy = 0 的积分因子，并求解该方程。 解：方程两边同乘 μ(x, y) = x 得(2xy – 4x3 )dx + x2 dy = 0。由于 x x x y xy x ∂ ∂ = = ∂ ∂ − 3 2 2 (2 4 ) ， 所以 μ(x, y) = x 是原方程的积分因子。方程的通解为 x2 y – x4 = c。 例 6：验证 μ(x, y) = x2 y 是方程(3y + 4xy2 )dx + (2x + 3x2 y)dy = 0 的积分因子，并求 解该方程。 解：方程两边同乘 μ(x, y) = x2 y 得(3x2 y2 + 4x3 y3 )dx + (2x3 y + 3x4 y2 )dy = 0。由于 x x y x y x y x y y x y x y ∂ ∂ + = + = ∂ ∂ + (2 3 ) 6 12 (3 4 ) 3 4 2 2 3 2 2 2 3 3 - 23 -
常微分方程教案所以u(x,y)=x2y是原方程的积分因子。方程的通解为xy2+xy3=c。这两个例子说明如果给出积分因子，很容易验证它是，那么如何求积分因子呢？如果μ(x,y)是(2.13)的积分因子，则(2.17)是全微分方程，所以μ(x,y)满足ON(x,y)μ(x,) +μ(x, y) aM(x, ) = N(x, y)u(x,) + μ(x, y)M(x,y)(2.18)ayayaxax这是关于u(x,y)的偏微分方程。通常，求解(2.18)比求解(2.13)更困难。因此，通常不能由(2.18)求出μ(x,y)，但在一些特殊情况可以。aman定理2：微分方程(2.13)有一个仅依赖于x的积分因子的充要条件是yax仅与xNaman区=0(t)，此时有积分因子u(c)=e/a)；方程(2.13)有一个仅依赖于 y有关，记yaxNanamOnm的积分因子的充要条件是axay仅与y有关，记axay此时积分因子为=y(y) MMJw(y)dyu()=eamananaMNdudu即证明：如果μ只依赖于x，则(2.18)成为μayaxaxdxaydxINaManaman所以有dlnμ(x)ax，此式左端只依赖于x，所以右端yayax也只依赖于x。NdxNaman只依赖于x，则可验证u(x)=eJe()产是方程(2.13)的积分因子。如果ayax= p(x)N定理后半部分的证明类似。例7：求解方程(兴+2ye')dx+(y+e')dy=0.2am=y+2e*与Ny解：这里M=+2yer,N=y+e'，因为e不相等，所以原方程Oyax2amOnJid=er不是全微分方程。由于ayax只依赖于x，所以原方程有积分因子u(x)=eN原方程两边同乘e*得全微分方程e"+2ye?*)dx+(ye"+e2")dy=02- 24 -
常微分方程教案 所以 μ(x, y) = x2 y 是原方程的积分因子。方程的通解为 x3 y2 + x4 y3 = c。 这两个例子说明如果给出积分因子，很容易验证它是，那么如何求积分因子呢？ 如果 μ(x, y)是(2.13)的积分因子，则(2.17)是全微分方程，所以 μ(x, y)满足 (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) xy Mxy xy Nxy Mxy xy Nxy x y yy xx µ µ µ µ ∂∂ ∂∂ + =+ ∂∂ ∂∂ (2.18) 这是关于 μ(x, y)的偏微分方程。通常，求解(2.18)比求解(2.13)更困难。因此，通常不能 由(2.18)求出 μ(x, y)，但在一些特殊情况可以。 定理 2：微分方程(2.13)有一个仅依赖于 x 的积分因子的充要条件是 M N y x N ∂ ∂ − ∂ ∂ 仅与 x 有关，记 (x) N x N y M = ϕ ∂ ∂ − ∂ ∂ ，此时有积分因子 ∫ = x dx x e ( ) ( ) ϕ µ ；方程(2.13)有一个仅依赖于 y 的积分因子的充要条件是 N M x y M ∂ ∂ − ∂ ∂ 仅与 y 有关，记 ( y) M y M x N =ψ ∂ ∂ − ∂ ∂ ，此时积分因子为 ∫ = y dy y e ( ) ( ) ψ µ 。 证明：如果 μ 只依赖于 x，则(2.18)成为 x N dx d N y M ∂ ∂ = + ∂ ∂ µ µ µ ，即 = dx dµ µ N x N y M ∂ ∂ − ∂ ∂ ， 所以有 N x N y M dx d x ∂ ∂ − ∂ ∂ = ln µ( ) ，此式左端只依赖于 x，所以右端 M N y x N ∂ ∂ − ∂ ∂ 也只依赖于 x。 如果 (x) N x N y M = ϕ ∂ ∂ − ∂ ∂ 只依赖于 x，则可验证 ∫ = x dx x e ( ) ( ) ϕ µ 是方程(2.13)的积分因子。 定理后半部分的证明类似。 例 7：求解方程 2 ) ( ) 0 2 ( 2 + ye dx + y + e dy = y x x 。 解：这里 x x ye N y e y M = + 2 , = + 2 2 ，因为 2 M x y e y ∂ = + ∂ 与 N x e x ∂ = ∂ 不相等，所以原方程 不是全微分方程。由于 =1 ∂ ∂ − ∂ ∂ N x N y M 只依赖于 x，所以原方程有积分因子 x dx x e = e ∫ = 1 µ( ) 。 原方程两边同乘 ex 得全微分方程 2 2 2 ( 2)( ) 0 2 y x x xx e ye dx ye e dy + ++ = - 24 -
常微分方程教案V解为1222dy例8：可将线性方程当+p(x)y=g(x)变形为M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的形式，其中dx.aM=p(t)和％=0 不相等，所以方程不是全微M(x, y) = p(x)y-g(x), N(x, y) = 1。 由于ayaxamOn只依赖于x，所以方程有积分因子u(x)=eJea)，这也就是分方程。由于ayax=p(x)N用积分因子法求解线性方程时方程两边同乘的式子。另外，还可用观察法得到方程的积分因子，首先记住下面一些简单方程的积分因子。方程积分因子F(x,y)1_yx1XJyydx-xdy1In三xyy1arctanx+y?yf(xy)ydx+xdyf(x?+y2)xdx+ydyxybxa-l y,b-1aydx+bxdy观察时，先在方程中找到如上的简单式子，一般它有多个积分因子，再根据其它项的特点选择合适的积分因子。例9：求解方程1) (3x3+y)dx+(2x2y-x)dy=0,2)=-+J+((y>0),dxy3) x(4ydx+2xdy)+y (3ydx+5xdy)=0 。解：1）方程可改写为3xdx+2x2ydy+（ydx-xdy）=0，最后一项ydx-xdy有积分因111.1等，通过观察可知3xdx和2x2ydy乘以子后都可变为全微分+y2_=C的形式，所以一，是原方程的积分因子，方程的解为2x- 25 -
常微分方程教案 解为 2 2 2 y x x e ye c + = 。 例 8：可将线性方程 p(x) y g(x) dx dy + = 变形为 M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 的形式，其中 M(x, y) = p(x)y-g(x)，N(x, y) = 1。由于 p(x) y M = ∂ ∂ 和 = 0 ∂ ∂ x N 不相等，所以方程不是全微 分方程。由于 p(x) N x N y M = ∂ ∂ − ∂ ∂ 只依赖于 x，所以方程有积分因子 ∫ = p x dx x e ( ) µ( ) ，这也就是 用积分因子法求解线性方程时方程两边同乘的式子。 另外，还可用观察法得到方程的积分因子，首先记住下面一些简单方程的积分因子。 方程 积分因子 F(x,y) ydx-xdy 2 1 x y x − 2 1 y y x 1 xy ln x y 2 2 1 x y + arctan x y ydx+xdy f(xy) xdx+ydy f(x2 +y2 ) aydx+bxdy a−1 b−1 x y a b x y 观察时，先在方程中找到如上的简单式子，一般它有多个积分因子，再根据其它项 的特点选择合适的积分因子。 例 9：求解方程 1) (3x3 +y)dx+(2x2 y-x)dy=0， 2) 1 ( ) ( 0) 2 = − + + y > y x y x dx dy ， 3) x(4ydx+2xdy)+y3 (3ydx+5xdy)=0。 解：1) 方程可改写为 3x3 dx + 2x2 ydy + (ydx-xdy) = 0，最后一项 ydx-xdy 有积分因 子 2 1 x 、 2 1 y 、 xy 1 、 2 2 1 x + y 等，通过观察可知 3x3 dx 和 2x2 ydy 乘以 2 1 x 后都可变为全微分 的形式，所以 2 1 x 是原方程的积分因子，方程的解为 c x y x + y − = 2 2 2 3 。 - 25 -