常微分方程教案s2.2变量可分离方程教学目的：了解变量可分离方程、齐次方程的定义能熟练求解变量可分离方程、齐次方程以及方程当=x+by+cdxa,x+by+c2教学重点：变量可分离方程、齐次方程以及方程崇=x+by+l的解法dxa,x+b,y+c2教学难点：方程崇=x+by+的解法dxa,x+by+c21.变量可分离方程形如= f(x)g(y)(2.9)dx的方程称为变量可分离方程，其中f(x)，g(x)分别是x和y的连续函数。dy如果g(y)#0，将方程两边同除g(y)同乘 dx得到一=f(x)dx，这样两个变量x和yg(y)就被等号“分离”了，两边积分得f(x)dx+c(2.10)g(y)其中，「需和[ ()d都只表示一个原函数，c是任意常数，(2.10)是(2.9)的通解。201如果有yo使得g(yo)=0，则通过验证可知y=yo也是方程(2.9)的解，若解y=yo不在通解中，要将其补上。例1：求解方程x=dx34，两边积分得[[，所以方程的通解为解：分离变量得ydy=2dy(ln|cx)2+此外方程还有解y=0。- 16 -
常微分方程教案 §2.2 变量可分离方程 教学目的： 了解变量可分离方程、齐次方程的定义 能熟练求解变量可分离方程、齐次方程以及方程 2 2 2 1 1 1 a x b y c a x b y c dx dy + + + + = 教学重点： 变量可分离方程、齐次方程以及方程 2 2 2 1 1 1 a x b y c a x b y c dx dy + + + + = 的解法 教学难点： 方程 2 2 2 1 1 1 a x b y c a x b y c dx dy + + + + = 的解法 - 1. 变量可分离方程 形如 ()() dy f xgy dx = (2.9) 的方程称为变量可分离方程，其中 f(x)，g(x)分别是 x 和 y 的连续函数。 如果 g(y)≠0，将方程两边同除 g(y)同乘 dx 得到 ( ) ( ) dy f x dx g y = ，这样两个变量 x 和 y 就被等号“分离”了，两边积分得 ( ) ( ) dy f x dx c g y = + ∫ ∫ (2.10) 其中， ∫ g( y) dy 和 ∫ f (x)dx 都只表示一个原函数，c 是任意常数，(2.10)是(2.9)的通解。 如果有 y0 使得 g(y0)=0，则通过验证可知 y=y0 也是方程(2.9)的解，若解 y=y0 不在通 解中，要将其补上。 例 1：求解方程 2 3 y dx dy x = 。 解：分离变量得 x dx y dy = − 2 3 ，两边积分得 3 2 dx y dy x − = ∫ ∫ ，所以方程的通解为 2 (ln ) 4 cx y = ， 此外方程还有解 y=0。 - 16 -
常微分方程教案dy例2：求解初值问题e9-(t+t)=0, y(1)=1。dt解1：方程变形为e'dy=(t+t)dt(2.11)+=t+c，两边取自然对数得在(2.11)两边求不定积分得e'dy=[(t+t)dt，即e'3y=In(r+r+)。由y(0)=1 得1=m3+=p+1tU，所以y=ln(e-+c)，即c=e--14)4442424解2：在(2.11)两边同时从1到t对t求定积分得["e'ds=[(s+s°)ds，所以1214.1.13+=2+-r-2-4，所以y=ln(e-34)42244+P(t)y=0也是变量可分离方程，将其变形为注：一阶线性齐次方程崇+-p(x)dx,dx122了-p(x)dx，即In=-[p(x)d+，所以=ce-[p()两边积分2.齐次方程形如d=F()(2.12)dxx的方程，称为齐次微分方程，其中F(u)是u的连续函数。由于方程右端是兰的函数，这启发作代换(x)=)，即y(x)=xu(x)，求导得xxdydudu+u=F(u)。这是变量分离方程，将其解出，带回原来=u+x代入原方程得xdxdxdx的变量，就得到原来方程的解。dx1G()即将x看成未知函数y看成自对齐次微分方程(2.12)，可变形为dyF()1A变量时也是齐次方程，因此可作变换()=2)y这两种方法，有时候难易程度相差不多，有时候一种方法简单，另一种方法繁琐。例3：解方程(y+/x2+y°)dx=xdy(x>0)，y(1)=0。解：这是齐次方程业_++y2y+()。令≥=，即y=xz，求导得dxx-17-
常微分方程教案 例 2：求解初值问题 3 e ( )0 y dy t t dt −+ = ，y(1)=1。 解 1：方程变形为 3 e () y dy t t dt = + (2.11) 在(2.11)两边求不定积分得 e dy t t dt y ( ) 3 ∫ ∫ = + ，即 1 1 2 4 e 2 4 y =++ t tc ，两边取自然对数得 ) 4 1 2 1 ln( 2 4 y = t + t + c 。由 y(1)=1 得 ) 4 3 1 = ln( + c ，即 4 3 c = e − ，所以 ) 4 1 2 1 4 3 ln( 2 4 y = e − + t + t 。 解 2： 在(2.11)两边同时从 1 到 t 对 t 求定积分得 ∫ ∫ = + y t s e ds s s ds 1 1 2 ( ) ，所以 1 1 11 2 4 e e 2 4 24 y −= + − − t t ，所以 31 1 2 4 ln(e ) 42 4 y tt = −+ + 。 注：一阶线性齐次方程 + p(x) y = 0 dx dy 也是变量可分离方程，将其变形为 p x dx y dy = − ( ) ， 两边积分得 ∫ ∫ = − p x dx y dy ( ) ，即 ∫ = − + 1 ln y p(x)dx c ，所以 ∫ = − p x dx y ce ( ) 。 2. 齐次方程 形如 ( ) dy y F dx x = (2.12) 的方程，称为齐次微分方程，其中 F(u)是 u 的连续函数。 由于方程右端是 x y 的函数，这启发作代换 x y x u x ( ) ( ) = ，即 y(x)=xu(x)，求导得 dx du u x dx dy = + 。代入原方程得 ( ) du x u Fu dx + = 。这是变量分离方程，将其解出，带回原来 的变量，就得到原来方程的解。 对齐次微分方程(2.12)，可变形为 1 ( ) ( ) dx x G dy y y F x = = ，即将 x 看成未知函数 y 看成自 变量时也是齐次方程，因此可作变换 y x y v y ( ) ( ) = 。 这两种方法，有时候难易程度相差不多，有时候一种方法简单，另一种方法繁琐。 例 3：解方程 2 2 ( y x y dx xdy x ++ = > ) ( 0) ，y(1)=0。 解：这是齐次方程 2 2 2 1 ( ) x y x y x y x y dx dy = + + + + = 。令 x y z = ，即 y=xz，求导得 - 17 -
常微分方程教案dydzx=+，所以≥+V1+=c，所以+()2代入原方程得x2=CX=z+x1dxdxdx1(x2 -1)。由初始条件y(1)=0得1=c，所以ydyy例4：解方程dxXx+ ytgydxdxdyx(y)XX令()=解：方程变形为=tg即x(y)=yv(y)，求导得=V+1dydydyVdv=igv，解得sinv=cy，所以，原方程的解为sin二代入原方程得=Cydyy_ax+by+的方程3.形如dxazx+b,y+ca,+bdyx情形1：当CI=C2=0时，方程为是齐次方程。dxas+b,yx当-会k时，方程为dy_ k(a,x+b,y)+ci，做变量代换u=a2x+b2y+C2，情形2：dxazb2ax+b,y+c,duk(u-c,)+c)方程转化为是变量分离方程。a,+b,dxu[ax+by+c, =0情形3：当cI、c2不全为零，且+一时，方程组la,x+b,y+c,=0有解(α,β)，作b2a,X=x-0dya,X+bYY变换则方程化为为齐次方程。g(dxa,X+b,yXY=y-β例5：解方程=+y-1dxx-y+3。[x+y-1=0dv_u+y得x=-1,y=2。令x=u-1,y=v+2，则原方程化为解：解x-y+3=0duu-y其解为arctan-In(+()=In+c，原方程的解为arctan=In/x+1)+(y-2}+c。u2x+174.变量可分离方程的应用例6：化学反应问题已知2g物质A与1g物质B进行反应生成3g物质C。在开始有10g物质A和20g物质B，20分钟后产生了6g物质C。假设反应速度与当时物质A和物质B剩余量之积- 18 -
常微分方程教案 dx dz z x dx dy = + ，代入原方程得 2 1 z dx dz x = + ，所以 2 z z cx ++= 1 ，所以 cx x y x y + + = 2 1 ( ) 。 由初始条件 y(1)=0 得 1=c，所以 ( 1) 2 1 2 y = x − 。 例 4：解方程 y x x ytg y dx dy + = 。 解：方程变形为 y x y x tg dy dx = + ，令 y x y v y ( ) ( ) = ，即 x(y)=yv(y)，求导得 dy dv v y dy dx = + ， 代入原方程得 tgv dy dv y = ，解得 sinv=cy，所以，原方程的解为 cy y x sin = 。 3. 形如 2 2 2 1 1 1 a x b y c a x b y c dx dy + + + + = 的方程 情形 1：当 c1=c2=0 时，方程为 x y a b x y a b dx dy 2 2 1 1 + + = ，是齐次方程。 情形 2：当 1 1 2 2 a b k a b = = 时，方程为 22 1 222 dy kax by c ( ) dx a x b y c + + = + + ，做变量代换 u=a2x+b2y+c2， 方程转化为 2 1 2 2 du ku c c ( ) a b dx u − + = + ，是变量分离方程。 情形 3：当 c1、c2 不全为零，且 2 1 2 1 b b a a ≠ 时，方程组 + + = + + = 0 0 2 2 2 1 1 1 a x b y c a x b y c 有解(α, β)，作 变换 = − = − β α Y y X x ，则方程化为 ( ) 2 2 1 1 X Y g a X b Y a X b Y dX dY = + + = ，为齐次方程。 例 5：解方程 3 1 − + + − = x y x y dx dy 。 解：解 1 0 3 0 x y x y + −= −+= 得 x = -1, y = 2。令 x = u – 1，y = v + 2，则原方程化为 u v u v du dv − + = ， 其解为 u c u v u v − ln(1+ ( ) ) = ln + 2 1 arctan 2 ，原方程的解为 x y c x y = + + − + + − 2 2 ln ( 1) ( 2) 1 2 arctan 。 4. 变量可分离方程的应用 例 6：化学反应问题 已知 2g 物质 A 与 1g 物质 B 进行反应生成 3g 物质 C。在开始有 10g 物质 A 和 20g 物质 B，20 分钟后产生了 6g 物质 C。假设反应速度与当时物质 A 和物质 B 剩余量之积 - 18 -
常微分方程教案成正比，计算在任意时刻物质C的量。dx解：用x(t)表示在时刻t物质C的量，则反应速度为注意到产生x(t)物质C需d要2x/3物质A和x/3物质B，所以在时刻t剩余的A为10-2x/3，剩余的B为20-x/3。所以2dx1=k(10-3x)(20-）=x)，x(0)=0,x(20)=6dt3320-1,U11.3=cet，由x(0)=0得c=2，再由x(20)=6得k=方程的通解为20m%.所以22010-3xn60(1-e20x(t)=14e202- 19 -
常微分方程教案 成正比，计算在任意时刻物质 C 的量。 解：用 x(t)表示在时刻 t 物质 C 的量，则反应速度为 dt dx 。注意到产生 x(t)物质 C 需 要 2x/3 物质 A 和 x/3 物质 B，所以在时刻 t 剩余的 A 为 10 – 2x/3，剩余的 B 为 20 – x/3。 所以 dt dx =k( x 3 2 10 − )( x 3 1 20 − )，x(0)=0，x(20)=6 方程的通解为 1 20 3 e 2 10 3 kt x c x − = − ，由 x(0)=0 得 c=2，再由 x(20)=6 得 2 3 ln 20 1 k = 。所以 2 3 ln 20 2 3 ln 20 1 4 60(1 ) ( ) t t e e x t − − = 。 - 19 -
常微分方程教案s2.3全微分方程教学目的：了解全微分方程、积分因子的定义能熟练判断全微分方程能用3种方法求解全微分方程，能用2种方法求积分因子教学重点：解全微分方程，求积分因子教学难点：解全微分方程，求积分因子对于一阶微分方程当=f(x,y)，常将y看成未知函数，将x看成自变量，但如果需dx要也将 x 看成未知函数，将 y 看成自变量。现在将方程崇= (s,1)写成 (xy)dx-dy-=0,dx或更一般地将其写成(2.13)M(x,y)dx+N(x,y)dy=0这里，不去区分谁是未知函数，谁是自变量，将x、y平等看待。1.全微分方程设u=F(x,y)是一个二元函数，则它的全微分aF(x,y).OF(x,y),ddu=dF(x, y) =dxaxayaF(x,)dy=0, 则 dF(x,y)=0,aF(x,y)与方程(2.13)左端类似。如果(2.13)恰好能写成axay所以F(x,y)=c，这是(2.13)的通解。此时，(2.13)是一种特殊的微分方程。如果存在可微函数F(x,y)，使得dF(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy，则称方程(2.13)为全微分方程或称恰当方程。在上述情形，方程(2.13)可写成dF(x,y)=0，于是F(x,y)=c就是方程(2.13)的解，其中c是任意常数。例1:方程xdx+ydy=0、(3xy+y")dx +(x3 +2xy)dy=0、f(x)dx+g(y)dy=0都是全微分方程，因为函数=(x2+y2)、xy+xy2、「f(x)dx+g(y)dy的全微分就分别是这三个方程的左端。所以它们的通解分别为x?+y2=c、xy+xy2=c、「f(x)dx+「g(y)dy=℃。- 20 -
常微分方程教案 §2.3 全微分方程 教学目的： 了解全微分方程、积分因子的定义 能熟练判断全微分方程 能用 3 种方法求解全微分方程，能用 2 种方法求积分因子 教学重点： 解全微分方程，求积分因子 教学难点： 解全微分方程，求积分因子 - 对于一阶微分方程 f (x, y) dx dy = ，常将 y 看成未知函数，将 x 看成自变量，但如果需 要也将 x 看成未知函数，将 y 看成自变量。现在将方程 f (x, y) dx dy = 写成 f(x,y)dx–dy=0， 或更一般地将其写成 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (2.13) 这里，不去区分谁是未知函数，谁是自变量，将 x、y 平等看待。 1. 全微分方程 设 u=F(x,y)是一个二元函数，则它的全微分 dy y F x y dx x F x y du dF x y ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ( , ) ( , ) ( , ) 与方程(2.13)左端类似。如果(2.13)恰好能写成 0 ( , ) ( , ) = ∂ ∂ + ∂ ∂ dy y F x y dx x F x y ，则 dF(x,y)=0， 所以 F(x,y)=c，这是(2.13)的通解。此时，(2.13)是一种特殊的微分方程。 如果存在可微函数 F(x, y)，使得 dF(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy，则称方程(2.13)为全微 分方程或称恰当方程。 在上述情形，方程(2.13)可写成 dF(x,y)=0，于是 F(x,y)=c 就是方程(2.13)的解，其中 c 是任意常数。 例 1：方程 xdx +ydy =0、(3x2 y + y2 )dx + (x3 + 2xy)dy = 0、f(x)dx+g(y)dy=0 都是全 微分方程，因为函数 ( ) 2 1 2 2 x + y 、x3 y + xy2 、 ∫ ∫ f (x)dx + g( y)dy 的全微分就分别是这三个 方程的左端。所以它们的通解分别为 x2 + y2 = c、x3 y + xy2 = c、 f x dx + g y dy = c ∫ ∫ ( ) ( ) 。 - 20 -