常微分方程教案2)方程可改写为xdx+ydy-x2+ydx=0，即=d(x2+)-/x+ydx=0，容易知道1积分因子为下+，方程的解为/尺+-x=C:3）4ydx+2xdy有积分因子xy，3ydx+5xdy有积分因子x2y。注意到圆括号前面的项x和y，可以知道方程的积分因子为xy，方程的解为xy2+xy5=c-26
常微分方程教案 2)方程可改写为 0 2 2 xdx + ydy − x + y dx = ，即 ( ) 0 2 1 2 2 2 2 d x + y − x + y dx = ，容易知道 积分因子为 2 2 1 x + y ，方程的解为 x + y − x = c 2 2 . 3) 4ydx+2xdy 有积分因子 x3 y，3ydx+5xdy 有积分因子 x2 y4 。注意到圆括号前面的 项 x 和 y3 ，可以知道方程的积分因子为 x2 y，方程的解为 x4 y2 + x3 y5 = c。 - 26 -
常微分方程教案$2.4变量代换法教学目的：会用变量代换法求解一些微分方程理解如何进行变量代换教学重点：变量代换法教学难点：变量代换法已经学习了线性方程、变量分离方程、全微分方程的解法，也学习了几种可以通过变量代换化为线性方程或变量分离方程的解法。实际上，变量代换法也是求解微分方程的主要方法，下面介绍一些通过变量代换求解微分方程的例子，要认真思考为什么那样进行变量代换。例1：求解方程=+sinxdx2y解：方程可转化为2yy=+sinx，即=xy? +sin x。dxdx令z=y,则方程可化为，xz+sinx，这是线性方程，其解为z=xdx(sin xedx+c)e所以原方程的解为y2=(。（此法也正是求解伯努利方程的方法）例2：求解方程=_4x-2xy*+2xdx3xy2-6y5+3y2解：方程可转化为=2x(2x-°+1)3ydy2x2 - v3 +1dy32x?-y'+1dx2x2-2y+1dx3y(x2 -2y3 +1)2xdxx2-2y3 +1"du_2v-u+1=x2，则方程可化为今其解为uVdyv-2u+1以原所方程的解为，即y6x2y3+x4-y3+x?=c.)+(x-例3：对于方程会-(a+by+c)，令z=ax+by+c，则方程变形为崇a+bf(z)dxdx这是变量分离方程。-27 -
常微分方程教案 §2.4 变量代换法 教学目的： 会用变量代换法求解一些微分方程 理解如何进行变量代换 教学重点： 变量代换法 教学难点： 变量代换法 - 已经学习了线性方程、变量分离方程、全微分方程的解法，也学习了几种可以通过 变量代换化为线性方程或变量分离方程的解法。实际上，变量代换法也是求解微分方程 的主要方法，下面介绍一些通过变量代换求解微分方程的例子，要认真思考为什么那样 进行变量代换。 例 1：求解方程 2 sin 2 dy xy x dx y + = 。 解：方程可转化为 xy x dx ydy sin 2 2 = + ，即 xy x dx dy sin 2 2 = + 。 令 z = y2 ，则方程可化为 xz x dx dz = + sin ，这是线性方程，其解为 1 1 2 2 2 2 ( sin ) x x z xe dx c e − = + ∫ 。 所以原方程的解为 1 1 2 2 2 2 2 ( sin ) x x y xe dx c e − = + ∫ 。(此法也正是求解伯努利方程的方法) 例 2：求解方程 2 2 5 2 3 3 3 6 3 4 2 2 x y y y x xy x dx dy − + − + = 。 解：方程可转化为 3 ( 2 1) 2 (2 1) 2 2 3 2 3 − + − + = y x y x x y dx dy ，即 2 1 2 1 2 3 2 3 2 2 3 − + − + = x y x y xdx y dy ，即 2 1 2 1 2 3 2 3 2 3 − + − + = x y x y dx dy 。 令 u = y3 ， v = x2 ，则方程可化为 2 1 2 1 − + − + = v u v u dv du ，其解为 1 11 1 2 2 ( ) ( )( ) ( ) 3 33 3 u uv v c − −− + ++ = 。 所以原方程的解为 y − − y − x + + x + = c 3 2 3 2 2 2 ) 3 1 ) ( 3 1 )( 3 1 ) ( 3 1 ( ，即 y6 –x2 y3 + x4 – y3 + x2 = c。 例 3：对于方程 f (ax by c) dx dy = + + ，令 z = ax + by + c，则方程变形为 a bf (z) dx dz = + ， 这是变量分离方程。 - 27 -
常微分方程教案dy_x-y+5dz7如对方程令z=x-y-2，则方程转化为其解为z+14x=dxx-y-2dxZc，所以(x-y-2)2+14x=c。d=2，其再如对初值问题=1+(y-x)，()=，令z=y-x，则方程转化为2dxdx1-11解为z:所以y=再由初始条件y(O)=得c=-2，所以y=x+x+c2-xx+c例4：对于方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0，令z=xy，则方程转化为变量分离方程=[F(=)-g(=)dx + g(=)dz = 0X如对方程(y+xy)dx+(x-xy)dy=0令z=xy,，则方程转化为2_(-1)其解为22xx1Inx2-}-n=c，所以gCyxy例5：求解方程(x+y)(xdy+ydx)=xy(dx+dy)。解：注意到xdy+ydx=d(xy)，dx+dy=d(x+y)，则原方程可写为(x + y)d(xy) = xyd(x + y)其中只有两个式子x+y和xy出现，因此令u=x+y，v=xy，则方程转化为udv=vdu，其解为 v=cu，所以xy=c(x+y)。方程也可变形为x?dy+y?dx=0，也容易求解。例6：求解方程崇+(in2y-x~cos°)=0。dx崇+x(2sinycosy-cos")=0，方程两边同除cosy得解：方程变形为9dx1 dy,++(2tan y-x")=0,即 dtan +x(2tan y=x)=0。令z= tany,则方程转化为线cos?ydxdx性方程+(2-x")=0，其解为=-I(x?-1)+ce-，所以 tany=-(x2-1)+ cedx21例7：求解方程学= tan x(tan y+sec x sec y)。dx1dysinxsinydysinx解：方程变形为.所以cosxcosysinxsiny-dxcosxcosxcosydxcosycosxdsinysinxd(cosxsiny)_sinx。令z=cosxsiny，则方程转化所以cosx即-sinxsiny:dxdxcosxcOsxdz为=tanx，其解为z=-lncosx+c，所以cosxsiny=-lncosx+c。dx-28-
常微分方程教案 如对方程 2 5 − − − + = x y x y dx dy ，令 z = x – y – 2，则方程转化为 dx z dz 7 = − ，其解为 z2 + 14x = c，所以(x – y – 2)2 +14x = c。 再如对初值问题 2 1 ( y x) dx dy = + − ， 2 1 y(0) = ，令 z = y – x，则方程转化为 2 z dx dz = ，其 解为 x c z + − = 1 ，所以 x c y x + = − 1 。再由初始条件 2 1 y(0) = 得 c = -2，所以 x y x − = + 2 1 。 例 4：对于方程 yf(xy)dx + xg(xy)dy = 0，令 z=xy，则方程转化为变量分离方程 [ f (z) − g(z)]dx + g(z)dz = 0 x z 如对方程(y + xy2 )dx + (x – x2 y)dy = 0，令 z=xy，则方程转化为 2 2 ( 1) z z dz x dx − = 其解为 z c z x − − ln = 1 ln 2 ，所以 c y xy x − = 1 ln 。 例 5：求解方程(x + y)(xdy + ydx) = xy(dx + dy)。 解：注意到 xdy + ydx = d(xy)，dx + dy = d(x + y)，则原方程可写为 (x + y)d(xy) = xyd(x + y) 其中只有两个式子 x+y 和 xy 出现，因此令 u=x+y，v=xy，则方程转化为 udv=vdu，其解 为 v=cu，所以 xy=c(x+y)。 方程也可变形为 x2 dy + y2 dx = 0，也容易求解。 例 6：求解方程 (sin 2 cos ) 0 2 2 + x y − x y = dx dy 。 解 ： 方程变形为 (2sin cos cos ) 0 2 2 + x y y − x y = dx dy ，方程两边同除 cos2 y 得 (2 tan ) 0 cos 1 2 2 + x y − x = dx dy y ，即 (2 tan ) 0 tan 2 + x y − x = dx d y 。令 z = tany，则方程转化为线 性方程 (2 ) 0 2 + x z − x = dx dz ，其解为 2 ( 1) 2 1 2 x z x ce− = − + ，所以 2 ( 1) 2 1 tan 2 x y x ce− = − + 。 例 7：求解方程 tan x(tan y sec x sec y) dx dy = + 。 解：方程变形为 ) cos cos 1 cos sin ( cos sin y x y y x x dx dy = + ，所以 x x x y dx dy x y cos sin cos cos = sin sin + ， 所以 x x x y dx d y x cos sin sin sin sin cos − = ，即 x x dx d x y cos (cos sin ) sin = 。令 z = cosxsiny，则方程转化 为 x dx dz = tan ，其解为 z = −ln cos x + c ，所以 cos x sin y = −ln cos x + c 。 - 28 -
常微分方程教案y例8：求解方程y)dx +(x-1)dy= 0 。12的存在使得直接求解方程有困难，因此可以考虑做变量代换z解：因为有Vx或≥=x2dz_dx-其解为1-则方程转化为=c(z-1)2，所以解法一：令Zz-1x(x-1) Vxx[2-1X2dzdx解法二：令：=兰，则方程转化为，其解为1-=c(V=-1)，所以z-Nz x(x-1)=c(区-1)°。Vxx例9：求解方程崇+x=x?+yG解：因为有/x+y的存在使得直接求解方程有困难，因此可以考虑做变量代换z=/x?+y或z=x?+y。解法一：令=V/P+y，则方程转化为齐次方程会-禁，其解为(2z+x)(x-2)=dx2zc, 所以(2/x2+y+x)(x-x?+y)=。解法二：令z=x?+y，则方程转化为崇=+x，不能直接求解，需要再进行变量dx代换u=E，这样的两次变量代换和解法一中的变换是一样的。注：例1~7中，把出现次数较多的式子用新的变量来代替，例8~9中，把给求解带来困难的式子用新的变量来代替。最后，简单了解一下黎卡提方程。形如=p()+q(x)y+ (x)dx的方程称为黎卡提方程。它看似简单，但求解困难，只在一些特殊情况下可以求解。- 29 -
常微分方程教案 例 8：求解方程 ( − y)dx + (x −1)dy = 0 x y 。 解：因为有 x y 的存在使得直接求解方程有困难，因此可以考虑做变量代换 x y z = 或 x y z = 。 解法一：令 x y z = ，则方程转化为 1 ( 1) 2 − = − x x dx z dz ，其解为 2 ( 1) 1 1− = c z − x ，所以 2 ( 1) 1 1− = − x y c x 。 解法二：令 x y z = ，则方程转化为 ( −1) = − x x dx z z dz ，其解为 2 ( 1) 1 1− = c z − x ，所以 2 ( 1) 1 1− = − x y c x 。 例 9：求解方程 x x y dx dy + = +2 。 解：因为有 2 x y + 的存在使得直接求解方程有困难，因此可以考虑做变量代换 z = x + y 2 或 z = x2 + y。 解法一：令 z = x + y 2 ，则方程转化为齐次方程 z x z dx dz 2 + = ，其解为(2z + x)(x – z)2 = c，所以 (2 x + y + x)(x − 2 x + y = c 2 2 ) 。 解法二：令 z = x2 + y，则方程转化为 z x dx dz = + ,，不能直接求解，需要再进行变量 代换 u z = ，这样的两次变量代换和解法一中的变换是一样的。 注：例 1~7 中，把出现次数较多的式子用新的变量来代替，例 8~9 中，把给求解带 来困难的式子用新的变量来代替。 最后，简单了解一下黎卡提方程。 形如 2 () () () dy pxy qxy f x dx = ++ 的方程称为黎卡提方程。它看似简单，但求解困难，只在一些特殊情况下可以求解。 - 29 -
常微分方程教案1.当p(x)、q(x)、f(x)都是常数时，黎卡提方程是变量分离方程。2.当p(x)=0时，黎卡提方程是线性方程。3.当f(x)=0时，黎卡提方程是伯努利方程。dyb1+a-y+4.当黎卡提方程具有形式时，通过变量代换z=xy可转化为变量dxx+dz分离方程x=-az2 +z+b。dx5.当知道黎卡提方程的一个特解y=o(x)时，通过变量代换y=z+p(x)可转化为伯dz努利方程=[2 p(x)p(x) + q(x)]z + p(x)=2 。dx- 30 -
常微分方程教案 1. 当 p(x)、q(x)、f(x)都是常数时，黎卡提方程是变量分离方程。 2. 当 p(x)=0 时，黎卡提方程是线性方程。 3. 当 f(x)=0 时，黎卡提方程是伯努利方程。 4. 当黎卡提方程具有形式 2 2 1 x b y x ay dx dy + = + 时，通过变量代换 z=xy 可转化为变量 分离方程 dz 2 x az z b dx =− + + 。 5. 当知道黎卡提方程的一个特解 y = φ(x)时，通过变量代换 y = z + φ(x)可转化为伯 努利方程 2 [2 p(x) (x) q(x)]z p(x)z dx dz = ϕ + + 。 - 30 -