常微分方程教案这里所有不定积分符号都表示一个原函数的意思。由于方程(2.2)与(2.3)的唯一区别是g(x)±0与g(x)=0，所以它们的解之间会有相似的地方，或者说将(2.3)的通解(2.4)变得复杂一些就是(2.2)的解。而(2.4)中任意常数c是变化的，因此可以猜想将c变成x的函数可能就是(2.2)的解。于是有了下面的(2.2)的第二种解法。首先将(2.2)中g(x)换为0得到(2.3)，求出(2.3)的通解y=ce-[p()，将其中的任意常数c换为x的函数u(x)得到J= u(x)e' /p()(2.6)其实也就是假设(2.2)有(2.6)形式的解，如果将(2.6)带入到(2.2)能求出u(x)，则(2.2)就有这种形式的解，否则没有。将(2.6)代入到(2.2)中得到u(x)e-p()=g(x)，所以u(x)=c+Jg(x)e/)dx，所以(2.2)的通解为y=)(+Jg(l da)(2.5)这与前面得到的通解一样。注：1.在第一种方法中，关键步骤是在方程(2.2)两边同乘μ(x)=eJp()，称为积分因子，这种方法称为积分因子法。2.在第二种方法中，关键步骤是将(2.4)中任意常数c换为x的函数u(x)，这种方法称为常数变易法。3.求解线性非齐次方程(2.2)可以直接使用结果(2.6)，也可以用积分因子法或常数变易法。思政：“大旧辅妞小心求证”是科学研究的基本要求。如果墨守成规，科学就永远不可能进步，每一个科学上的重大突破，都是以惊人的清想为序曲。但是，科科学如此，生活如此，事事如此。学需要证据，如果没有证据，请想永远只能是空中楼阁。大胆猜想需要勇气和智慧，小心求证需要耐心和汗水-11-
常微分方程教案 这里所有不定积分符号都表示一个原函数的意思。 由于方程(2.2)与(2.3)的唯一区别是 g(x) ≠ 0与 g(x) = 0，所以它们的解之间会有相似 的地方，或者说将(2.3)的通解(2.4)变得复杂一些就是(2.2)的解。而(2.4)中任意常数 c 是 变化的，因此可以猜想将 c 变成 x 的函数可能就是(2.2)的解。于是有了下面的(2.2)的第 二种解法。 首先将(2.2)中 g(x)换为 0 得到(2.3)，求出(2.3)的通解 p x dx ( ) y ce−∫ = ，将其中的任意常 数 c 换为 x 的函数 u(x)得到 ∫ = − p x dx y u x e ( ) ( ) (2.6) 其实也就是假设(2.2)有(2.6)形式的解，如果将(2.6)带入到(2.2)能求出 u(x)，则(2.2)就有 这种形式的解，否则没有。 将(2.6)代入到(2.2)中得到 ( ) () () p x dx u xe gx −∫ ′ = ，所以 ( ) () () p x dx u x c g x e dx ∫ = + ∫ ，所以(2.2) 的通解为 ( ( ) ) ( ) ( ) y e c g x e dx p x dx p x dx ∫ + ∫ = ∫ − (2.5) 这与前面得到的通解一样。 注：1.在第一种方法中，关键步骤是在方程(2.2)两边同乘 ∫ = p x dx x e ( ) µ( ) ，称为积分因 子，这种方法称为积分因子法。 2. 在第二种方法中，关键步骤是将(2.4)中任意常数 c 换为 x 的函数 u(x)，这种方法 称为常数变易法。 3. 求解线性非齐次方程(2.2)可以直接使用结果(2.6)，也可以用积分因子法或常数变 易法。 思政： 科学如此，生活如此，事事如此。 - 11 -
常微分方程教案3y+4x2+1例3：求解初值问题[y(1) =13解：这里p(x)=，g(x)=4x2+1，首先用三种方法求方程的通解。X方法1：由(2.5)得到y=e/(c+[(4x*+1)e/-dx)= cx +4xInx-2[--d方法2：在方程-y=4x2+1等号两侧同乘μ(x)=e=+-3得到44即(xy)=+x-3+x-3，所以x-y=4lnx-x2+c，2V:所以x-3y'-3x-2x1x+cx3y=4x3lnx24方法3：先求出=3y的通解y=cx，令y=u(x)x并代入到方程y=v+4x2 +1x14.111得到u(x)=所以u(x)=4lnx+c，所以y=4x3lnx--x+cx32x2xx33将初始条件y(1)=1 代入到通解得到c=所以特解为y=4xlnx-x+2°2dy例4：求方程+ay=f(x)的2元周期解，其中a是正的常数，f(x)是已知的2元周期dx函数。解：这里p(x)=a，所以μ(x)=eJa=e，方程可以写为ey+aye=ef(x)，即(ye"）=ef(x)，等号两边同时从0到x积分得y= ce-ar + f'e-a(x-s) f(s)ds由解的周期性得常数c满足I"e-a(x-) (s)ds = ce-a(x+2x) +" e-a(2++) f(s)dsce-ax+1e"f(x)dx.，所以y=-a(x-) f(s)ds 。从而c=1-e-2mJe2m_1.dyy例5：解方程dx"2x-y2。提示：这不是关于未知函数y的线性方程，但是可将方程写为会_2x-即dyydx_2(2.7)X-dyy-12 -
常微分方程教案 例 3：求解初值问题 = ′ = + + (1) 1 4 1 3 2 y y x x y 。 解：这里 x p x 3 ( ) = − ，g(x) = 4x2 + 1，首先用三种方法求方程的通解。 方法 1：由(2.5)得到 y e c x e dx cx x x x dx x dx x 2 1 ( (4 1) ) 4 ln 3 3 3 2 3 = + − ∫ + + ∫ = − − − ∫ 。 方 法 2 ： 在方程 4 1 3 2 ′ − y = x + x y 等号两侧同乘 3 3 ( ) − − = ∫ x = e x dx x µ 得 到 3 2 4 3 3 − − − ′ − = + x x x y x y ， 即 3 4 3 ( ) − − ′ = + x x x y ，所以 x y = x − x + c −3 −2 2 1 4ln ，所以 3 3 2 1 y = 4x ln x − x + cx 。 方法 3：先求出 y x y 3 ′ = 的通解 y = cx3 ，令 y = u(x)x3 并代入到方程 4 1 3 2 ′ = y + x + x y ， 得到 3 4 1 ( ) x x u x ′ = + 所以 c x u x = x − +2 2 1 ( ) 4ln ，所以 3 3 2 1 y = 4x ln x − x + cx 。 将初始条件 y(1)=1 代入到通解得到 2 3 c = ，所以特解为 3 3 2 3 2 1 y = 4x ln x − x + x 。 例 4：求方程 ay f (x) dx dy + = 的 2π 周期解，其中 a 是正的常数，f(x)是已知的 2π 周期 函数。 解：这里 p(x)=a，所以 ax adx x e = e ∫ µ( ) = ，方程可以写为 e y aye e f (x) ax ax ax ′ + = ，即 ( ye ) e f (x) ax ax ′ = ，等号两边同时从 0 到 x 积分得 y ce e f s ds x ax a x s ∫ − − − = + 0 ( ) ( ) 由解的周期性得常数 c 满足 ∫ ∫ + − − − − + − + − + = + π π π 2 0 ( 2 ) (2 ) 0 ( ) ( ) ( ) x a x a x s x ax a x s ce e f s ds ce e f s ds 从而 ∫− − − = 0 2 2 ( ) 1 1 π π e f x dx e c ax a .，所以 ∫ + − − − = π π 2 ( ) 2 ( ) 1 1 x x a x s a e f s ds e y 。 例 5：解方程 2 2x y y dx dy − = 。 提示：这不是关于未知函数 y 的线性方程，但是可将方程写为 y x y dy dx 2 2 − = ，即 x y dy y dx = − 2 (2.7) - 12 -
常微分方程教案如果将x看成未知函数，y看成自变量，则(2.7)是线性方程，它的通解为x=y(c-lnlsp。例5说明方程中两个变量谁是未知函数是可以变化的，视需要而定。例6：求解方程※=4esinx-1。dx提示：这不是线性方程，为了求解，方程两侧同乘e'得到e崇=4sinx-e"，即dxdey崇=4sinx-u，这是线性方程。方程的解..=4sinx-e"。做变量代换u=e'，方程变为dxdx为e"=2(sinx-cosx)+ce-"。后面会知道，常用变量代换的方法将不可求解的方程转化为可求解的方程。3.伯努利方程形如(2.8)J'+ p(x)y= g(x)ya的方程称为伯努利方程，其中α是常数。当α=0或1时，伯努利方程是线性方程，其它情况可通过变量代换化为线性方程。当α+0或1时，方程(2.8)等号两边同除y得到y-y+p(x)yl-a=g(x)，令z(x)=yl-“(x)=(1-α)y,从而则(2.8)化为dxdx"2' +(1-α)p(x)z=(1-α)g(x)这是关于z(x)的线性方程，解出z后便得到y==-α。注：方程两边同除y"时要求y"丰0，所以当α>0时，在做除法前要假设y≠0。对于y=0，直接验证可知它也是方程的解，要加上。例7：求解方程崇=6兰-x。dxx-2 dy1Idzldy解：这里α=2，方程两边同除y?得到）VZ:从而dxdx-ydxxyyx68±=-6三+x，1x+%所以原方程的解为则原方程化为c和y=0。解得Z8~68dxxydx-2x2y。例8：求解初值问题[(1) =1- 13 -
常微分方程教案 如果将 x 看成未知函数，y 看成自变量，则(2.7)是线性方程，它的通解为 ( ln ) 2 x = y c − y 。 例 5 说明方程中两个变量谁是未知函数是可以变化的，视需要而定。 例 6：求解方程 = 4 sin −1 − e x dx dy y 。 提示：这不是线性方程，为了求解，方程两侧同乘 ey 得到 y y x e dx dy e = 4sin − ，即 4sin y de y x e dx = − 。做变量代换 u = ey ，方程变为 x u dx du = 4sin − ，这是线性方程。方程的解 为 y x e x x ce− = 2(sin − cos ) + 。 后面会知道，常用变量代换的方法将不可求解的方程转化为可求解的方程。 3. 伯努利方程 形如 α y′ + p(x) y = g(x) y (2.8) 的方程称为伯努利方程，其中 α 是常数。 当 α = 0 或 1 时，伯努利方程是线性方程，其它情况可通过变量代换化为线性方程。 当 α≠0 或 1 时，方程(2.8)等号两边同除 yα得到 ( ) ( ) 1 y y′ + p x y = g x −α −α ，令 z(x) = y1 - α (x)， 从而 (1 ) dz dy y dx dx α α − = − ，则(2.8)化为 z′ + (1−α) p(x)z = (1−α)g(x) 这是关于 z(x)的线性方程，解出 z 后便得到 −α = 1 1 y z 。 注：方程两边同除 yα 时要求 yα ≠ 0，所以当 α> 0 时，在做除法前要假设 y ≠ 0。 对于 y=0，直接验证可知它也是方程的解，要加上。 例 7：求解方程 2 6 xy x y dx dy = − 。 解：这里 α = 2，方程两边同除 y2 得到 x dx xy dy y = − − 1 6 2 。令 y z 1 = 从而 dx dy dx y dz 2 1 = − ， 则原方程化为 x x z dx dz = − + 6 ，解得 6 2 8 1 x c z = x + ，所以原方程的解为 c x y x − = 8 6 8 和 y=0。 例 8：求解初值问题 = = + (1) 1 2 2 2 y y x x y dx dy 。 - 13 -
常微分方程教案dz=2d解：这里α=-1，方程两边同乘2y得2y=-+x2。令z=y?从而原dxdxdxx±_三+x，解得z=x+1方程化为，所以原方程的通解为y?=cx+由初始条件dxx21-(x+x)。y(1)=1 得 c=所以特解为y2 24.线性方程的应用例9：胡泊污染问题设一个化工厂每立方米的废水含3.08kg盐酸，这些废水经过一条河流流入一个胡泊中，废水流入胡泊的速度为20m2/h。开始时湖中有水4000000m3，河流中流入湖泊的不含盐酸的水的流速为1000m/h，湖泊中混合均匀的水流出的速度为1000m/h，求该工厂开始排污1年后，胡泊水中盐酸的含量。工厂潮泊1000m/h20m/h71000m/h1020m/h解：工厂开始排污时开始计时，此时t=0，湖中含4000000m水，不含盐酸。用x(t)表示在t时刻湖中盐酸含量。考虑在时间段[tt+△t]中湖中盐酸含量的变化，变化是由流入和流出引起的，有x(t)x(t+△t)-(0)=20t×3.08-1000tx4000000+20t等式两边同除△t再让At-0得dx100x=61.6dt400000+2t注意到t=0时x=0，即x(O)=0，这是初始条件。所以x(t)满足初值问题(dx100x=61.6dt400000+2tx(0) = 0其解为- 14 -
常微分方程教案 解：这里 α = -1，方程两边同乘 2y 得 2 2 2 x x y dx dy y = + 。令 z = y2 从而 dx dy y dx dz = 2 ，原 方程化为 2 x x z dx dz = + ，解得 3 2 1 z = cx + x ，所以原方程的通解为 2 3 2 1 y = cx + x 。由初始条件 y(1)=1 得 c= 2 1 ，所以特解为 ( ) 2 2 1 3 y = x + x 。 4. 线性方程的应用 例 9：胡泊污染问题 设一个化工厂每立方米的废水含 3.08kg 盐酸，这些废水经过一条河流流入一个胡泊 中，废水流入胡泊的速度为 20m3 /h。开始时湖中有水 4000000m3 ，河流中流入湖泊的不 含盐酸的水的流速为 1000m3 /h，湖泊中混合均匀的水流出的速度为 1000m3 /h，求该工厂 开始排污 1 年后，胡泊水中盐酸的含量。 解：工厂开始排污时开始计时，此时 t=0，湖中含 4000000m3 水，不含盐酸。用 x(t) 表示在 t 时刻湖中盐酸含量。考虑在时间段[t, t + Δt]中湖中盐酸含量的变化，变化是由 流入和流出引起的，有 t x t x t t x t t t 4000000 20 ( ) ( ) ( ) 20 3.08 1000 + + ∆ − = ∆ × − ∆ × 等式两边同除 Δt 再让 Δt→0 得 61.6 400000 2 100 = + + t x dt dx 注意到 t=0 时 x=0，即 x(0)=0，这是初始条件。所以 x(t)满足初值问题 = = + + (0) 0 61.6 400000 2 100 x t x dt dx 其解为 工厂 湖泊 1000m3 /h 20m3 /h 1020m3 /h 1000m3 /h - 14 -
常微分方程教案30308040004000+0.021-4000x(0)=514000+0.02t所以1年后，即365×24=8760小时后，湖中盐酸含量为x(8760)~223824kg- 15 -
常微分方程教案 50 3080 4000 ( ) 4000 0.02 4000 51 4000 0.02 x t t t = +− + 所以 1 年后，即 365×24=8760 小时后，湖中盐酸含量为 x(8760)≈223824kg - 15 -