常微分方程教案兴-(x,)，在(1.4)中取x=xo得y(xo)-yo，所以(1.3)与(1.4)等价。对(1.4)求导得dx2.构造函数序列P(x)= yop(x)= y + " f(s, Po(s)dsP(x)= yo + " (s,g(s)ds,(x)= y + " f(s,Pn-1(s)ds函数序列(e,(x))称为Picard选代序列。3.证明(g,(x)一致收敛到p(x)。4.证明p(x)是(1.4)的解。5.证明(1.4)的解唯一。注：1.在定理1中验证Lipschitz条件成立比较困难，因此用较强但容易验证的条件来代替：f(x，y)在R上关于y有连续一阶偏导数。事实上，如果f(x，y)在R上连续，则f,(x,y)在R上有界，设f,(x,)≤L。则由中值定理得到[f(x,y)-f(x, y2)=f,(x, y2 +0(y-y2)yi-y2/<Ly-y2(a.)的几何意义。在R上有(s,川≤M，所以(1.3)的解曲线2. 定理1中h=mina,"MI的斜率介于-M与M之间。(1.3)的解过(xo,yo)，所以(1.3)的解曲线位于直线y=yo+M(t-to)和 y = yo - M(t - t)之间。当Ms即 h=a≤b时(图1.3左图)，解y=p(x)在M0bb=h时(图1.3右图)，不能保证解y=p(x)x-a≤x≤x+a范围内有定义。当M>即aMa在x-a≤x≤x。+α范围内有定义，因为在此范围内解可能跑出区域R，定理1的条件不bb再成立。此时，只有在x。范围内才能保证解y=(x)在区域R内。所以≤x≤x.MM解的存在范围为x-x<h。5
常微分方程教案 对(1.4)求导得 (, ) dy f xy dx = ，在(1.4)中取 x=x0 得 y(x0)=y0，所以(1.3)与(1.4)等价。 2. 构造函数序列 0 0 ϕ (x) = y x y f s s ds x x ( ) ( , ( )) 0 ϕ1 = 0 + ∫ ϕ0 x y f s s ds x x ( ) ( , ( )) 0 ϕ2 = 0 + ∫ ϕ1 . x y f s s ds x x n n ( ) ( , ( )) 0 ϕ = 0 + ∫ ϕ −1 . 函数序列{ϕn (x)}称为 Picard 迭代序列。 3. 证明{ϕn (x)}一致收敛到ϕ(x) 。 4. 证明ϕ(x) 是(1.4)的解。 5. 证明(1.4)的解唯一。 注：1. 在定理 1 中验证 Lipschitz 条件成立比较困难，因此用较强但容易验证的条 件来代替：f(x, y)在 R 上关于 y 有连续一阶偏导数。事实上，如果 fy(x, y)在 R 上连续， 则 fy(x, y)在 R 上有界，设 f y (x, y) ≤ L 。则由中值定理得到 1 2 2 12 12 12 ( , ) ( , ) ( , ( )) y f xy f xy f xy y y y y Ly y − = + − −≤ − θ 2. 定理 1 中 = M h h min a, 的几何意义。在 R 上有 f (x, y) ≤ M ，所以(1.3)的解曲线 的斜率介于-M 与 M 之间。(1.3)的解过(x0, y0)，所以(1.3)的解曲线位于直线 y = y0 + M(t – t0)和 y = y0 - M(t – t0)之间。当 a b M ≤ 即 M b h = a ≤ 时(图 1.3 左图)，解 y = ϕ(x) 在 x0 − a ≤ x ≤ x + a 范围内有定义。当 a b M > 即 b a h M > = 时(图 1.3 右图)，不能保证解 y = ϕ(x) 在 x − a ≤ x ≤ x + a 0 0 范围内有定义，因为在此范围内解可能跑出区域 R，定理 1 的条件不 再成立。此时，只有在 M b x x M b x0 − ≤ ≤ 0 + 范围内才能保证解 y = ϕ(x) 在区域 R 内。所以 解的存在范围为 x − x0 ≤ h。 - 6 -
常微分方程教案Yo+bYo+bYoYo+bYo+bXo+aXo+aXo+aXo+aXo图1.3定理1中h的几何意义3.定理1只是在很小的范围内给出了解的存在唯一性，很多时候可以反复使用定理1将解存在唯一的范围延拓到较大的区间。下面说明如何将解的存在区间向右侧延拓，向左侧延拓类似。初值问题(1.3)的解y=(p(x)的存在区间为[xo-h,Xo+h]。设解曲线y=p(x)的右端点为 P(x1, yl)，其中 xI=x0+h。考虑初值问题雲=(x,),(x)=，设其解为dxy=(x)且存在区间为[xi-hi,xi+hi]。因为解曲线y=(x)与=(x)都过点Pi(x1,yi)，即两个解满足同一初始条件(x)=(x)=，根据解的存在与唯一性定理，解y=(x)与y=(x)在区间[xo-h,xo+h]和区间[xi-hi,Xi+hi]的公共部分上相同。这样，解曲线y=(p(x)的右端点就由P,延拓到P2(x2,y2)了，其中X2=xi+h1，解的存在区间由原来的[xo-h,Xo+h]扩展到[xo-h,xi+hi]。如此继续进行下去可将解存在唯一的范围向右延拓到较大的区间。例1：求初值问题崇=2(+),(0)=0的解。dx解：初值问题等价于积分方程y(x)=2s(1+y(s)ds。所以Picard迭代序列为Jo(x)=0(x) = "2 sds = xa()=°2s(1+s)ds= x2 +21(n)=L,25(1+s+号)ds=x*+号+号212!3!=+++*(n)=2s(+s ++)2334!2!
常微分方程教案 图 1.3 定理 1 中 h 的几何意义 3. 定理 1 只是在很小的范围内给出了解的存在唯一性，很多时候可以反复使用定理 1 将解存在唯一的范围延拓到较大的区间。下面说明如何将解的存在区间向右侧延拓， 向左侧延拓类似。初值问题(1.3)的解 y = ϕ(x) 的存在区间为[x0-h, x0+h]。设解曲线 y = ϕ(x) 的右端点为 P1(x1, y1)，其中 x1=x0+h。考虑初值问题 1 1 ( , ), ( ) dy f xy yx y dx = = ，设其解为 1 y x =ϕ ( )且存在区间为[x1-h1, x1+h1]。因为解曲线 y = ϕ(x) 与 1 y x =ϕ ( )都过点 P1(x1, y1)，即 两个解满足同一初始条件 11 1 ϕ ϕ ( ) () x xy = = ，根据解的存在与唯一性定理，解 y = ϕ(x) 与 1 y x =ϕ ( )在区间[x0-h, x0+h]和区间[x1-h1, x1+h1]的公共部分上相同。这样，解曲线 y = ϕ(x) 的右端点就由 P1 延拓到 P2(x2, y2)了，其中 x2=x1+h1，解的存在区间由原来的[x0-h, x0+h] 扩展到[x0-h, x1+h1]。如此继续进行下去可将解存在唯一的范围向右延拓到较大的区间。 例 1：求初值问题 2 (1 ), (0) 0 dy x yy dx =+ = 的解。 解：初值问题等价于积分方程 y x s y s ds x ( ) 2 (1 ( )) ∫0 = + 。所以 Picard 迭代序列为 y0 (x) = 0 ∫ = = x y x sds x 0 2 1 ( ) 2 2! ( ) 2 (1 ) 4 0 2 2 2 x y x s s ds x x = + = + ∫ 2! 3! ) 2! ( ) 2 (1 4 6 0 2 4 2 3 x x ds x s y x s s x = + + = + + ∫ 2! 3! 4! ) 2! 3! ( ) 2 (1 4 6 8 0 2 4 6 2 4 x x x ds x s s y x s s x = + + + = + + + ∫ . y0+b y0 y0+b x0+a x0 x0+a y0+b y0 y0+b x0+a x0 x0+a - 7 -
常微分方程教案+2(x)=x+共+兰+...+213!n!+++..所以limy,(x)=e-1，初值问题的解为y=e-1。-8-
常微分方程教案 2! 3! ! ( ) 4 6 2 2 n x x x y x x n n = + + ++ . 所以 lim ( ) 1 2 = − →∞ x n n y x e ，初值问题的解为 1 2 = − x y e 。 - 8 -
常微分方程教案第二章一阶微分方程2.1线性方程教学目的：了解线性方程、伯努利方程的定义能熟练求解线性方程、伯努利方程教学重点：线性方程、伯努利方程的解法教学难点：常数变易法实际上，能求解的微分方程很少，这一章介绍几种可以求解的一阶微分方程类型及其解法。最简单的微分方程为dy = g(x)(2.1)dx求解(2.1)就是寻找g(x)的原函数y，由不定积分的定义有y=[g(x)dx+c这里c是任意常数，「g(x)dx表示g(x)的一个原函数。形如+p(t)y=g()(2.2)dx的方程称为一阶线性方程，其中未知函数y及其导数y都是线性的。当g(x)=0时，(2.2)变为+p(x)y=0(2.3)dx称为线性齐次方程。相应地，当g(x)#0时，(2.2)称为线性非齐次方程。1.线性齐次方程线性齐次方程(2.3)等号左侧类似于两个函数乘积的导数，但一般不是。如果在(2.3)两侧同乘J)(为什么？），则(2.3)变为ye/()+yp(x)e/)=0，即(ve/a)=0，所 p()=c,即以 v-9
常微分方程教案 第二章 一阶微分方程 §2.1 线性方程 教学目的： 了解线性方程、伯努利方程的定义 能熟练求解线性方程、伯努利方程 教学重点： 线性方程、伯努利方程的解法 教学难点： 常数变易法 - 实际上，能求解的微分方程很少，这一章介绍几种可以求解的一阶微分方程类型及 其解法。最简单的微分方程为 g(x) dx dy = (2.1) 求解(2.1)就是寻找 g(x)的原函数 y，由不定积分的定义有 ∫ y = g(x)dx + c 这里 c 是任意常数， ∫ g(x)dx 表示 g(x)的一个原函数。 形如 ( ) ( ) dy pxy gx dx + = (2.2) 的方程称为一阶线性方程，其中未知函数 y 及其导数 y′都是线性的。当 g(x)=0 时，(2.2) 变为 () 0 dy pxy dx + = (2.3) 称为线性齐次方程。相应地，当 g(x)≠0 时，(2.2)称为线性非齐次方程。 1. 线性齐次方程 线性齐次方程(2.3)等号左侧类似于两个函数乘积的导数，但一般不是。如果在(2.3) 两侧同乘 ∫ p x dx e ( ) (为什么？)，则(2.3)变为 ( ) 0 ( ) ( ) = ∫ + ∫ ′ p x dx p x dx y e yp x e ，即 ( ) ( )0 p x dx ye∫ ′ = ，所 以 p x dx ( ) ye c ∫ = ，即 - 9 -
常微分方程教案p(x)ds(2.4)这是(2.3)的通解。这里「p(x)dx只表示p(x)的一个原函数，不是不定积分。可以利用前面的过程或公式(2.4)求解线性齐次方程。例1：解方程+y=0。解1：这里p(x)=1，所以通解为v=ce-Jidce-解2：这里p(x)=1，所以。Jp()d=eJid=e，方程等号两边同乘e*得y'e*+ye=0，即(ye')'=0，所以ye*=c，所以y=cex。dy+ylnx=0dx例2：求解初值问题[y(1) = 1dy,InxV=0先将方程变成标准形式dxX[(y(1) =1解1:这里 p(x)=,所以通解为y=cn-dx-(nx，由初始条件y(1)=1得c=1,ceX(nx)2所以解2：这里p(t)=，所以 [e()2inx)，方程等号两侧同乘。(nx）得dInx.lnx(Inx)2Inx))=0，所以c，所以y，与前面一0，即ve=ce样得到 c=1。2.线性非齐次方程求解非齐次线性方程（2.2)有两种方法，第一种方法与求解(2.3)的方法类似。在(2.2)等号两边同乘 J)得到等价方程[y+p(x)yJela)=g(x)el a)，即(yel y=g()ele)，所以yele()=c+Jg(x)eJ)dx，所以通解为y=/)(+g()e da)(2.5)- 10 -
常微分方程教案 ∫ = − p x dx y ce ( ) (2.4) 这是(2.3)的通解。 这里 ∫ p(x)dx 只表示 p(x)的一个原函数，不是不定积分。可以利用前面的过程或公 式(2.4)求解线性齐次方程。 例 1：解方程 y′ + y = 0 。 解 1：这里 p(x)=1，所以通解为 x dx y ce ce− − = ∫ = 1 。 解 2：这里 p(x)=1，所以 x p x dx dx e e = e ∫ = ∫ ( ) 1 ，方程等号两边同乘 ex 得 ′ + = 0 x x y e ye ， 即 ( )0 x ye ′ = ，所以 yex = c，所以 y = ce-x 。 例 2：求解初值问题 = + = (1) 1 ln 0 y y x dx dy x 。 先将方程变成标准形式 ln 0 (1) 1 dy x y dx x y + = = 。 解 1：这里 x x p x ln ( ) = ，所以通解为 2 ln 1 (ln ) 2 x dx x x y ce ce − − ∫ = = ，由初始条件 y(1) = 1 得 c=1， 所以 2 (ln ) 2 1 x y e − = 。 解 2：这里 x x p x ln ( ) = ，所以 2 (ln ) 2 ln 1 ( ) dx x x x p x dx e e = e ∫ = ∫ ，方程等号两侧同乘 2 (ln ) 2 1 x e 得 2 (ln ) 2 1 x y′e + 0 ln 2 (ln ) 2 1 = x e x x y ，即 ( ) 0 2 (ln ) 2 1 ′ = x ye ，所以 ye c x = 2 (ln ) 2 1 ，所以 2 (ln ) 2 1 x y ce− = ，与前面一 样得到 c=1。 2. 线性非齐次方程 求解非齐次线性方程(2.2)有两种方法，第一种方法与求解(2.3)的方法类似。 在 (2.2) 等号两边同乘 ∫ p x dx e ( ) 得到等价方程 ∫ = ∫ ′ + p x dx p x dx y p x y e g x e ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ， 即 ∫ ′ = ∫ p x dx p x dx ye g x e ( ) ( ) ( ) ( ) ，所以 ye c g x e dx p x dx p x dx ∫ ∫ = + ∫ ( ) ( ) ( ) ，所以通解为 y= ( ( ) ) ( ) ( ) e c g x e dx p x dx p x dx ∫ ∫ + ∫ − (2.5) - 10 -