银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第六章 空间解析几何与向量代数

银川能源学院《高签数学》救案 第六章空间解析几何 由向量的数量积的定义可推得： (1)a.a=la (2)对于两个非零向量a,b,如果ab=0,那么a⊥b,反之如果a⊥b, 那么a·b=0。 由于零向量的方向可以看作是任意的，故可认为零向量与任何向量都垂 直，因此上述结论可叙述为：向量a⊥b的充分必要条件为ab=0。 (3)la.blalbl 向量的数量积满足下列运算规律： (1)交换律ab=ba; (2)结合律(1a)·b=(a·b): (3)分配律a(b+c)=ab+a·c。 三、常用结论 (1)设=(a,a,a)0,b=(b,b,b),向量b1la→b=a,即bl/a-(b,b, b:上(a,a,a,于是点-_点 ax ay a. (2)向量a与b垂直(aLb)一ab=0一ab.+a,b,+a.b.=0 (3)两个非零向量a和b,它们之间夹角余弦的计算公式为 a b,+a,b,+a.b. cos= a.b abVg+a+aVb:+b+b好 (4)向量a,b,c共面台存在实数u和1，使c=a+b (5)空间中两点A(x,1,2)和B2,2,2),则 AB=0B-0A=(x2,2,22-(x1,1,21）=(x2-x1,2-y1,22-2 于是点A与点B间的距离公式为 14BHAB昨6s2-x2+02-h2+(-2. 四、举例 例1.在平行四边形ABCD中，设AB=4,AD=b. 试用a和b表示向量M、MB、MC、MD,其中M是平行四边形对角线的 交点 第6页

银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 6 页 由向量的数量积的定义可推得： （1） 2 a  a  a （2）对于两个非零向量 a，b ，如果 a b  0 ，那么 a  b ，反之如果 a  b， 那么 a b  0。 由于零向量的方向可以看作是任意的，故可认为零向量与任何向量都垂 直，因此上述结论可叙述为：向量 a  b 的充分必要条件为 a b  0。 （3） | | | | a b a b   向量的数量积满足下列运算规律： （1）交换律 a b  b a ； （2）结合律 (a)b  (a b) ； （3）分配律 a (b  c)  a b  a  c 。 三、常用结论 （1）设 a(ax ay az)0 b(bx by bz) 向量 b//aba  即 b//a(bx by bz)(ax ay az) 于是 z z y y x x a b a b a b   （2）向量 a 与 b 垂直（a⊥b） a b  0  0 x x y y z z a b a b a b    （3）两个非零向量 a 和 b ，它们之间夹角余弦的计算公式为 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b a b a b           （4）向量 a，b，c 共面  存在实数  和  ，使 c a b     （5）空间中两点 A (x1 y1 z1)和 B(x2 y2 z2) 则    ABOBOA(x2 y2 z2)(x1 y1 z1)(x2x1 y2y1 z2z1) 于是点 A 与点 B 间的距离公式为  2 2 1 2 2 1 2 2 1 |AB||AB| (x x ) (y  y ) (z z )  四、举例 例 1 在平行四边形 ABCD 中 设  AB a  AD b 试用 a 和 b 表示向量  MA 、  MB 、  MC 、  MD  其中 M 是平行四边形对角线的 交点

银川能源学院《高签激学》救朱 第六童空间解析几何 解由于平行四边形的对角线互相平分，所以 a+b=AC=2AM,-(a+b)=2 MA, 于是M=-(a+b, 因为MC=-M,所以MC=(a+b). 又因-+b=BD=2MD,所以MD=}(b-. 由于MB=-MD,所以MB=)(a-b), 例2设已知两点A(2,2,√2)和B(1,3,0),计算向量AB的模、方向余弦、 方向角以及与AB方向相同的单位向量e 解AB=1-2,3-2,0-2)=(-1,1,-V2); |AV-12+1P+-2P=2; caa=，cosB=,cowy=-9 2 a=,=号，y=平 4 e=4B=-l,1-2 2 IABI 例3求解以向量为未知元的线性方程组5x-3y=a 3x-2y=b' 其中=(2,1,2)，b=(-1,1,-2) 解如同解二元一次线性方程组，可得 =2a-3b,y=30-5b 以a、b的坐标表示式代入，即得 =2(2,1,2)-3(-1,1,-2)=(7,-1,10), y=3(2,1,2)-5(-1,1,-2)=(11,-2,16) 例4己知两点A(x1,1,)和Bx2,2,2)以及实数本-1， 在直线AB上求一点M,使AM=MB 解由于AM=OM-OA,MB=OB-OM, 第7页

银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 7 页 解 由于平行四边形的对角线互相平分 所以 ab    AC  2 AM  即 (ab)   2 MA  于是 2 1    MA (ab) 因为   MC   MA  所以 2 1   MC (ab) 又因ab    BD  2 MD  所以 2 1   MD (ba) 由于   MB   MD  所以 2 1   MB (ab) 例 2 设已知两点 A(2, 2, 2) )和 B (1, 3, 0) 计算向量  AB 的模、方向余弦、 方向角以及与  AB 方向相同的单位向量 e 解  AB(12, 32, 0 2)(1,1,  2)   | | ( 1) 1 ( 2) 2 2 2 2 AB       2 1 cos   2 1 cos   2 2 cos   3 2    3     4 3    1 ( 1, 1, 2) 2 | | AB AB   e      例 3 求解以向量为未知元的线性方程组        x y b x y a 3 2 5 3  其中 a(2 1 2) b(1 1 2). 解 如同解二元一次线性方程组 可得 x2a3b y3a5b  以 a、b 的坐标表示式代入 即得 x2(2 1 2)3(1 1 2)(7 1 10) y3(2 1 2)5(1 1 2)(11 2 16) 例 4 已知两点 A(x1 y1 z1)和 B(x2 y2 z2)以及实数 1 在直线 AB 上求一点 M 使   AM MB  解 由于    AM OMOA     MBOBOM 

银川能源学院《高签激学》救朱 第六童空间解析几何 因此 OM-OA=X(OB-OM), 从而 0i200丽=（投授2）. 这就是点M的坐标. 另解 设所求点为Mx,y,),则AM=(x-,y--), MB=(k,-x为-y2-).依题意有AM=元MB,即 (x-x1,-y1,-31=2(x2-x,2-y,22-z) (x,y,-(x1,y1,=(2,2,222x,,), 化男归克6+++。 种授，授 1+元 点M叫做有向线段AB的定比分点.当=1，点M的有向线段AB的中点， 其坐标为 x”,势， 2 例5求证以M(4,3,1)M(7,1,2)八、M(5,2,3)三点为顶点的三角形是 一个等腰三角形 解因为1MM=(7-4)2+1-3)2+(2-1)2=14, 1M4=-(5-7)2+2-1)2+(3-22=6, 1M1M=(5-4)2+2-3)2+(3-1)2=6, 所以MMMM,即△MMM为等腰三角形. 例6在z轴上求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点. 解设所求的点为M0,O,),依题意有MA=MB, 即 (0+4)2+(0-1)2+-7)}2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2 解之得：=号，所以，所求的点为M0,0当. 例7己知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2),求∠AMB. 解从M到A的向量记为a,从M到B的向量记为b,则∠AMB就是向 量a与b的夹角. ={1,1,0},b={1,0,1}: 因为 a-b=1×1+1×0+0x1=1, la2+12+02=√2， 1b作√12+02+12=√2」 所以 e∠4wB=放万万F号 第8页

银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 8 页 因此     OMOA(OBOM)  从而    ( ) 1 1 OM OA OB     ) 1 , 1 , 1 ( 1 2 1 2 1 2              x x x x x x  这就是点 M 的坐标 另 解 设 所 求 点 为 M (x y z) 则  ( , , ) 1 1 1 AM  xx y y zz   ( , , ) 2 2 2 MB x x y  y z z  依题意有   AM  MB  即 (xx1 yy1 zz1)(x2x y2y z2z) (x y z)(x1 y1 z1)(x2 y2 z2)(x y z) ( , , ) 1 1 ( , , ) 1 2 1 2 1 2 x y z x x y y z z             1 1 2 x x x       1 1 2 y y y       1 1 2 z z z  点 M 叫做有向线段  AB 的定比分点 当 1 点 M 的有向线段  AB 的中点 其坐标为 2 1 2 x x x    2 1 2 y y y    2 1 2 z z z    例 5 求证以 M1(4 3 1)、M2 (7 1 2)、M3 (5 2 3)三点为顶点的三角形是 一个等腰三角形 解 因为 | M1M2| 2 (74)2 (13)2 (21)2 14 | M2M3| 2 (57)2 (21)2 (32)2 6 | M1M3| 2 (54)2 (23)2 (31)2 6 所以|M2 M3||M1M3| 即 M1 M2 M3 为等腰三角形 例 6 在 z 轴上求与两点 A(4 1 7)和 B(3 5 2)等距离的点 解 设所求的点为 M(0 0 z) 依题意有|MA| 2 |MB| 2  即 (04)2 (01)2 (z7)2 (30)2 (50)2 (2z)2  解之得 9 14 z  所以 所求的点为 ) 9 14 M(0, 0,  例 7 已知三点 M (1 1 1)、A (2 2 1)和 B (2 1 2) 求 AMB  解 从 M 到 A 的向量记为 a 从 M 到 B 的向量记为 b 则 AMB 就是向 量 a 与 b 的夹角 a{1 1 0} b{1 0 1} 因为 ab1110011 | | 1 1 0 2 2 2 2 a      | | 1 0 1 2 2 2 2 b      所以 2 1 2 2 1 | || | cos       a b a b AMB 

银川能源学院《高签数学》救朱 第六童空间解析几何 从而 ∠AMB= 31 例8.设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处 的流速均为（常 向量)加.设n为垂直于S的单位向量（图7-25(a))，计算单位时间内经过这区 域流向n所指一方的液体的质量P(液体的密度为p). 解单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、斜高为ⅴ的斜 柱体（图7-25(b). 这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v与的夹角O,所以这柱体的高为刿v cos6,体积为 Alv cos 0=A v'n. 从而，单位时间内经过这区域流向所指一方的液体的质量为 P=pAv 'n. 第9页

银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 9 页 从而 3  AMB  例 8．设液体流过平面 S 上面积为 A 的一个区域液体在这区域上各点处 的流速均为（常 向量v 设 n 为垂直于 S 的单位向量（图 7-25(a)） 计算单位时间内经过这区 域流向 n 所指一方的液体的质量 P(液体的密度为ρ ) 解单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为 A、斜高为| v |的斜 柱体(图 7-25(b)) 这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v 与n 的夹角 所以这柱体的高为| v | cos 体积为 A| v | cos   A v ·n 从而 单位时间内经过这区域流向 n 所指一方的液体的质量为 PAv ·n

银川能源学院《高签激学》救未 第六章空间解析几何 第二节向量的向量积 一、两向量的向量积 在研究物体转动问题时，不但要考虑这物体所受的力，还要分析这些力所 产生的力矩 引例：设O为一根杠杆L的支点有一个力F作用于这杠杆上P点处.F 与oP的夹角为8 由力学规定，力F对支点O的力矩是一向量M,它的模 IMHOPIIFIsin0, 而M的方向垂直于OP与F所决定的平面，M的指向是的按右手规则从OP以 不超过π的角转向F来确定的 向量积：设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出： (1)c的模lc=ablsin0,其中0为a与b间的夹角； (2)c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手规则从a转向 b来确定， 那么，向量c叫做向量a与b的向量积，记作xb,即 c=axb 根据向量积的定义，力矩M等于OP与F的向量积，即 M=OPxF. 向量积的性质： (1)axa=0; (2)对于两个非零向量a、b,如果a×b=0,则al/b;反之，如果a/b,则xb= 0. 如果认为零向量与任何向量都平行，则alb一xb=0. 数量积的运算律 (I)反交换律：axb=-b×c (2)分配律：(a+b)xc=axc+bxc. (3)结合律：(a)xb=ax0.b)=(axb)(为数). 数量积的坐标表示：设a-axi+aj+ak,b-bri+bj+bk.按向量积的 运算规律可得 axb=(axi+ayj+a:k)x (bxi+byj+bzk) ax bx ixi+ax by ixj ax b=ixk +ay bx jxi+ay by jxj+ay b-jxk +a:bx kxi+a:by kxj+a:b:kxk 由于ixi=ji=kxk=0,ix对i=k,jxk=i,kxi=j,所以 axb=(ay b:-a=by)i+(a:bx-ax b=)j+ax by-ay bx)k. 为了邦助记忆，利用三阶行列式符号，上式可写成 第10页

银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 10 页 第二节 向量的向量积 一、两向量的向量积 在研究物体转动问题时 不但要考虑这物体所受的力 还要分析这些力所 产生的力矩 引例：设 O 为一根杠杆 L 的支点有一个力 F 作用于这杠杆上 P 点处 F 与  OP 的夹角为   由力学规定 力 F 对支点 O 的力矩是一向量 M 它的模  | | | || |sin M  OP F  而 M 的方向垂直于  OP 与 F 所决定的平面 M 的指向是的按右手规则从  OP 以 不超过  的角转向 F 来确定的 向量积 设向量 c 是由两个向量 a 与 b 按下列方式定出 （1） c 的模 |c||a||b|sin   其中  为 a 与 b 间的夹角; （2）c 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平面 c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定 那么 向量 c 叫做向量 a 与 b 的向量积 记作 ab 即 c ab 根据向量积的定义 力矩 M 等于  OP 与 F 的向量积即  M OPF  向量积的性质 (1) aa 0  (2) 对于两个非零向量 a、b 如果 ab 0 则 a//b反之 如果 a//b 则 ab 0 如果认为零向量与任何向量都平行 则 a//b ab 0 数量积的运算律 (1) 反交换律：ab ba (2) 分配律 (ab)c ac bc (3) 结合律：(a)b a(b)  (ab) ( 为数) 数量积的坐标表示 设 a ax i  ay j  az kb bx i  by j  bz k 按向量积的 运算规律可得 ab ( ax i  ay j  az k)  ( bx i  by j  bz k)  ax bx ii  ax by ij  ax bz ik ay bx ji  ay by jj  ay bz jk az bx ki  az by kj  az bz kk 由于 ii jj kk 0ij kjk iki j 所以 ab ( ay bz  az by) i  ( az bx  ax bz) j  ( ax by  ay bx) k 为了邦助记忆 利用三阶行列式符号 上式可写成