《线性代数》第五章 矩阵的对角化问题（5.2）相似矩阵的定义及性质

例1:判断下列实矩阵能否化为对角阵? 2-12 (1)A=-2-24(2)A=5-33 10-2 解 1--2 (1)4-E=-2-2-24 -2-2 =-(-2)(+7)=0 得=2=2,3=-7

6 例1: 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 1 2 2 (1) 2 2 4 2 4 2 A   −   = − −       − 2 1 2 (2) 5 3 3 1 0 2 A   −   = −       − − 解: ( 2) ( 7) 2 = −  −  + = 0 1 2 2 (1) 2 2 4 2 4 2 A E     − − − = − − − − − 得 1 2 3    = = = − 2, 7

当41=12=2时,齐次线性方程组为(A-2E)X=0 1-22 (4-2E)=2-4|→000 2x,+2. 得基础解系n2=1|,P2=0 当=-7时,齐次线性方程组为(4+7E)X=0 8-22 (4+7E)=-254→0, 000

7 得基础解系 1 2 2 2 1 , 0 . 0 1 p p     −     = =             当   1 2 = = 2 时，齐次线性方程组为 ( A E X − = 2 0 ) ( ) 1 2 2 2 2 4 4 2 4 4 A E   − −   − = − −       − 1 2 2 0 0 0 0 0 0   − →         1 2 3 x x x = − + 2 2 当 时，齐次线性方程组为 ( A E X + = 7 0 ) 3  = −7 ( ) 8 2 2 7 2 5 4 2 4 5 A E   −   + = −      1 1 0 2 0 1 1 0 0 0     →          

2得基础解系P3=2 2 221 102|≠0 0 P1,2,P3线性无关 即A有3个线性无关的特征向量,所以A可以对角化

8 得基础解系 3 1 2 2 p     =       − 1 3 2 3 1 2 x x x x   = −   = −  2 2 1 1 0 2 0 0 1 2 −  − 1 2 3  p p p , , 线性无关 即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化

2 A=5-33 (2)A-E=5 3-3 2- (+1)=0:4=42=2 当1=42=A3=-1时,齐次线性方程组为(4+E)X=0 3-12 (4+E)=5-23→0 10 000 得基础解系5=-1|,所以A不能化为对角矩阵

9 2 1 2 (2) 5 3 3 1 0 2 A E     − − − = − − − − − ( ) 3 = − + =  1 0 2 1 2 5 3 3 1 0 2 A   −   = −       − − 得基础解系 1 1 , 1    −   = −      所以 A 不能化为对角矩阵. 1 2 3  = = = −    1. 当 时，齐次线性方程组为 ( A E X + = ) 0 1 2 3    = = = −1 ( ) 3 1 2 5 2 3 1 0 1 A E   −   + = −       − − 1 0 1 0 1 1 000   →        