极限的四则运算法则 定理:设函数f(x)和g(x)在自变量x的同一变化 过程中x→x或x→),极限分别为A、B, 即imf(x)=A,limg(x)=B 则(1)im∫(x)±g(x)=A±B (2)lim[f(x)·g(x)l=A·B im(x)=k4(k为常数) (3)lim f(r) A ==(B≠0) g(r) B 例1:Iim(3x2+2x-5) r→-1 =lim 3x+lim 2x-lim 5 x→-1 x→-1 =3(-1)2+2(-1)-5 例2:Iim( x tanx-1) lim r. lim tan r-lim l 1-1 4
11 三、极限的四则运算法则 0 lim ( ) l () () ( ) ) f x im ( f x gx x xxx A gx B B A → → = ∞ = 设函数 和 在自变量 的同一变化 过程中 或 ，极限分别为 、 ， 即 ， lim[ ( ) ( )] f x gx ⋅ = A⋅ B lim[ ( ) kx k f ]( ) = kA 为常数 ( ) lim ( 0) ( ) f x B g x B A = ≠ 则（1） 定理： （2） （3） lim[ ( ) ( )] f x gx ± = A B± 例1： lim(3 2 5) 2 1 + − →− x x x lim 3 lim 2 lim 5 1 1 2 →−1 →− →− = + − x x x x x 3 ( 1) 2 ( 1) 5 2 = ⋅ − + ⋅ − − = −4 lim( tan 1) 4 − → x x x π lim lim tan lim 1 4 4 4 π π π → → → = ⋅ − x x x x x 1 1 4 = ⋅ − π 1 4 = − π 例2：
例3:im x→1x-1 li x-1)(x+1) x→1 x-1 lim(x+1) x→1 =2 x+1-2 例4:im x→3 3 li (√x+1-2)(√x+1+2) (x-3)(√x+1+2) 分子有理化 x→ 3 li m x-3 (x-3√x+1+2) x→3√x+1+2 4
12 例3： 1 2 1 lim x 1 x → x − − 1 ( 1)( 1) lim 1 − − + = → x x x x lim( 1) 1 = + → x x = 2 例4： 3 1 2 lim x 3 x → x + − − 3 ( 12)( lim ( 3) 1 2) ( 1 2) x x x x → x + − + + = + + − ( 3)( 1 2) 3 lim 3 − + + − = → x x x x 1 2 1 lim 3 + + = → x x 4 1 = 分 子 有 理 化