Chap8线性代数初步 §81行列式 §8.2矩阵 §8.3逆矩阵 §8.4矩阵的初等变换 §8.5线性方程组 §8.1行列式 行列式的概念 D 简记为D=(,j=1,2,…,n) 其中an(i,j=1,2,…,n)称为D的元素 注:行列式是一个数值
1 Chap8 线性代数初步 §8.1 行列式 §8.2 矩阵 §8.3 逆矩阵 §8.4 矩阵的初等变换 §8.5 线性方程组 §8.1 行列式 一、行列式的概念 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn aa a aa a D aa a = " " ## # " 其中 （ ， ，， ， ）称为 的元素 简记为 （ ， ，， ， ） a i j n D D a i j n ij ij " " 1 2 1 2 = = = 注：行列式是一个数值
行列式的性质 性质1:行列式中行列互换,行列式不变, 昌性质2:行列式中某一行(列)的公因子可以提出 去,或者说以一数乘行列式的一行(列) 就相当于用这个数乘此行列式 如果行列式中一行(列)为零,那么行列式为零 性质3:如果行列式某一行(列)是两组数的和 那么这个行列式就等于两个行列式的和, 性质4如果行列式中有两行(列)相同,那么 行列式为零 性质5:如果行列式中两行(列)成比例,那么行 列式为零 性质6:把一行(列)的倍数加到另一行(列), 行列式不变 性质7:对换行列式中两行(列)的位置,行列式 反号
2 二、行列式的性质 性质1：行列式中行列互换，行列式不变， 性质2：行列式中某一行（列）的公因子可以提出 去，或者说以一数乘行列式的一行（列） 就相当于用这个数乘此行列式 如果行列式中一行（列）为零，那么行列式为零 性质3：如果行列式某一行（列）是两组数的和， 那么这个行列式就等于两个行列式的和， 性质4：如果行列式中有两行（列）相同，那么 行列式为零 性质5：如果行列式中两行（列）成比例，那么行 列式为零 性质6：把一行（列）的倍数加到另一行（列）， 行列式不变 性质7：对换行列式中两行（列）的位置，行列式 反号
三、行列式的计算 定义: 在行列式吗r…分…中划去元素a所在的第行 与第列,剩下的(-1)个元紊按原来的排法构成一个n-阶 的行列式,称为元素an的余子式,记为M,而(-1)M 称为a的代数余子式,记为4即4=(-1)+M 728 例如:D= 4-22-5 78 元素a2的余子式M32=3 42 78 代数余子式A2=(-1y+2M2=-3-3 42
3 三、行列式的计算 11 1 1 1 1 2 ( 1) 1 ( 1) ( 1) j n i ij in n nj ij i j ij ij ij i j ij n ij j ij n i a aaa a aa aaa i jn n a MM a AA M + + − − − = − " " ### " " ### " " 在行列式 中划去元素 所在的第 行 与第 列，剩下的 个元素按原来的排法构成一个 阶 的行列式，称为元素 的余子式，记为 ，而 称为 的代数余子式，记为 ，即 定义： 例如： 7284 3136 3140 4225 D − = −−− − − 元素a32的余子式 M32 784 336 425 = − − 代数余子式 A32 784 336 425 − − − = 32 3 2 ( 1) M+ = −
定理1:n阶行列式D等于任一行(列)的各元素与其 对应的代数余子式乘积的和 定理2n阶行列式中,某一行(列)的各元素与另 行(列)相应元素的代数余子式乘积之和 为零 §8.2矩阵 矩阵的概念 注:矩阵与行列式从表面上看很相似,但实质上 它们是两个不同的概念,行列式最终表示一个数 值,而矩阵不是一个数,是由一组数据按一定顺 序排成的矩形表
4 定理1： 对应的代数余子式乘积的和 n阶行列式D等于任一行（列）的各元素与其 为零 一行（列）相应元素的代数余子式乘积之和 定理2：n阶行列式中，某一行（列）的各元素与另 §8.2 矩阵 一、矩阵的概念 注：矩阵与行列式从表面上看很相似，但实质上 它们是两个不同的概念，行列式最终表示一个数 值，而矩阵不是一个数，是由一组数据按一定顺 序排成的矩形表
矩阵的运算 1矩阵的相等 2矩阵的加法 3矩阵的数乘 例1:已知34 78 B ,求4A-3B 解 44-3B=4 3 56 2 12162124 2024 9-8 1421
5 二、矩阵的运算 1.矩阵的相等 2.矩阵的加法 3.矩阵的数乘 例1： 解： 34 78 43 56 21 A B AB ⎡⎤ ⎡⎤ == − ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎣⎦ 已知 ， ，求 4A− 3B ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − × ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = × 2 1 7 8 3 5 6 3 4 4 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 6 3 21 24 20 24 12 16 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− − = 14 21 9 8