第六讲随机变量定义和离散型随机变量 重点:随机变量、分布函数的概念,离散型随机变量分布律、常见的离散型随机变量的分布律, 难点:随机变量、离散型随机变量分布律。 随机变量和分布函数 随机变量的概念 基本事件有的是数量性质的,有的不是数量性质,为了更全面,更深入地研究随机现象,需把 试验结果数量化,即在基本事件与数之间建立一种对应关系,我们称这种对应关系为随机变量。 定义1设E是随机试验,9是其样本空间,如果对于每一个o∈9,有一个确定的实数X(o= 与之对应,则称X(o)为随机变量。 rX(O) R 图1 用大写字母X,z等表示随机变量,它们的取值用相应的小写字母xy表示。随机变量的对应 关系见图1。 例1将一枚硬币连抛两次,用HT分别表示正面朝上、反面朝上,其样本空间为 9={HH,HT,TH,7}, 用X表示出现正面的次数,则X(TT)=0,XH)=X(TH=1,Y(HH=2.显然X为一随机变量。我们可 以通过随机变量来描述Ω中的随机事件,如{X=2}表示“出现两次正面”这一事件,{X≤1}表示“出 现了一次或没有出现正面”这一事件,显然有{K≤1}={X=0}+{￥=1} 注1随机变量与普通随机变量不同。它是定义在样本空间上的实单值函数,它是由随机试验的 结果所决定的量,试验前无法预知取何值,但取值的可能性大小有确定的统计规律性。 注2{K≤x}={ωμ(ω)≤x}表示使得随机变量的取值小于或等于x的那些基本事所组成的随机 事件,从而有相应的概率,如例1中
第六讲 随机变量定义和离散型随机变量 重点：随机变量、分布函数的概念，离散型随机变量分布律、常见的离散型随机变量的分布律。 难点：随机变量、离散型随机变量分布律。 一、随机变量和分布函数 1．随机变量的概念 基本事件有的是数量性质的，有的不是数量性质，为了更全面，更深入地研究随机现象，需把 试验结果数量化，即在基本事件与数之间建立一种对应关系，我们称这种对应关系为随机变量。 定义 1 设 E 是随机试验，Ω是其样本空间，如果对于每一个ω∈Ω，有一个确定的实数 X(ω)=x 与之对应，则称 X(ω)为随机变量。 图 1 用大写字母 X,Y,Z 等表示随机变量，它们的取值用相应的小写字母 x,y,z 表示。随机变量的对应 关系见图 1。 例 1 将一枚硬币连抛两次，用 H,T 分别表示正面朝上、反面朝上，其样本空间为 ＝{HH, HT,TH,TT}, 用 X 表示出现正面的次数，则 X(TT)=0，X(HT)=X(TH)=1，X(HH)=2.显然 X 为一随机变量。我们可 以通过随机变量来描述Ω中的随机事件，如{X=2}表示“出现两次正面”这一事件，{X≤1}表示“出 现了一次或没有出现正面”这一事件，显然有{X≤1}={X=0}+{X=1} 注 1 随机变量与普通随机变量不同。它是定义在样本空间上的实单值函数，它是由随机试验的 结果所决定的量，试验前无法预知取何值，但取值的可能性大小有确定的统计规律性。 注 2{X≤x}={ω|X(ω)≤x}表示使得随机变量的取值小于或等于 x 的那些基本事所组成的随机 事件，从而有相应的概率，如例 1 中
P{X≤}=P{X=0}+{X=1}= 进一步{X∈S}表示所有使得X(ω)∈S的ω所组成的事件,有确定的概率。 2.分布函数 由于随机变量的所有可能取值不一定能一一列举出来,如用随机变量X表示电视机的寿命时, X的取值为全体正实数,因此,为了研究随机变量取值的概率规律,需硏究随机变量的取值落在 某个区间(x1x]的概率。由 P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x} 可知,对任意给定的实数x,事件{X≤x}的概率确定了,概率P{x1<X≤x}也就确定了,而概率P{X ≤x}随着x的变化而变化,它是x的函数,我们称之为随机变量X的分布函数。 定义2设X是一个随机变量,对任意的x∈R,称函数 (x)=P{X≤x} 为随机变量X的分布函数。 分布函数是一普通函数,它的定义域是整个实数轴,如将X看成是实数轴上随机点的坐标 F(x)在点x处的函数值就表示随机点落在的区间(-∞,x]上的概率。 对于任意实数x1x2(x<x2) P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1) 因此,若已知随机变量X的分布函数,就知道落在区间(x1x2]上的概率,这样,分布函数就能完整 地描述随机变量地统计规律。 分布函数性质 (1)0≤F(X)≤1,-∞<x<+o (2)F(x)是x的不减函数,即若x1<x,则F(x1)≤F(x2 (3)F(+∞)=limF(x)=1,F(-∞)=limF(x)=0 (4)F(x)关于x是右连续的。 反之具有上述性质的实函数,必是某一随机变量的分布函数,所以上述性质称为分布函数的充 分必要性质。 注若定义F(x)P{K<x},则F(x)是关于x是左连续的,对于连续型随机变量二者相同,对离散型 随机变量二者区别很大。 高散型随机变量
4 3 } { 0} { 1} 2 3 P{X = P X = + X = = 进一步{X∈S}表示所有使得 X(ω)∈S 的ω所组成的事件，有确定的概率。 2．分布函数 由于随机变量的所有可能取值不一定能一一列举出来，如用随机变量 X 表示电视机的寿命时， X 的取值为全体正实数，因此， 为了研究随机变量取值的概率规律，需研究随机变量的取值落在 某个区间 (x1,x2]的概率。由 { } { } { } 1 2 2 1 P x X x = P X x − P X x 可知，对任意给定的实数 x，事件{X≤x}的概率确定了，概率 P{x1<X≤x2}也就确定了，而概率 P{X ≤x}随着 x 的变化而变化，它是 x 的函数，我们称之为随机变量 X 的分布函数。 定义 2 设 X 是一个随机变量，对任意的 x∈R，称函数 F(x) = P{X x} 为随机变量 X 的分布函数。 分布函数是一普通函数，它的定义域是整个实数轴，如将 X 看成是实数轴上随机点的坐标， F(x)在点 x 处的函数值就表示随机点落在的区间 (−, x] 上的概率。 对于任意实数 x1,x2( x1< x2) { } { } { } ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 P x X x = P X x − P X x = F x − F x 因此，若已知随机变量 X 的分布函数，就知道落在区间(x1,x2]上的概率，这样，分布函数就能完整 地描述随机变量地统计规律。 分布函数性质: （1）0 F(X ) 1, − x +; (2) F(x)是 x 的不减函数，即若 x1< x2，则 F(x1)≤ F(x2)； 3 ( ) ( ) 1, ( ) ( ) 0; + = lim = − = lim = →+ →− F F x F F x n n （ ） (4) F(x)关于 x 是右连续的。 反之具有上述性质的实函数，必是某一随机变量的分布函数，所以上述性质称为分布函数的充 分必要性质。 注 若定义 F(x)= P{X<x}，则 F(x)是关于 x 是左连续的，对于连续型随机变量二者相同，对离散型 随机变量二者区别很大。 二、离散型随机变量
1.离散型随机变量及其分布律 定义3若随机变量ⅹ可能取值的数目是有限个或可列无限个,则称X是离散型随机变量。X 的可能值可写成xx2,…,xk,…在有限的情形,这个序列至某一项结束 对于离散型随机变量,我们感兴趣的是它的可能取值是什么和X以多大概率取每一个值。为此, 我们定义 定义4若离散型随机变量X的取值为xk(k=1,2,…)的概率为 P(X=xx=Pk, k=l, 则称{pk,k=1,2…}为离散型随机变量X的概率分布或分布律。分布律也可写成下列的表格形式: PI 由概率的定义,{pk,k=1,2,…}必须满足下列两个条件: (1)p4≥0,k=1,2, (2)∑P4=1 由概率的可加性知,X的分布函数为 F(x)=PX≤x=>P(X pk xk≤x 因此离散型随机变量X的分布函数F(x)为右连续单调不减的阶梯函数,并且在x=x,k=1,2,…处 发生跳跃,跳跃值为p 例2设随机变量所有可能的取值为1,2,…n,且已知概率P{X=k}与k成正比,即P{X=k}=ak, k=1,2,…n,求常数a的值。 解:由分布律的性质∑P{X=k=1,并且∑P{X=k}=∑ak=a n(n+1) 可得到am(n+1)=1,所以a=-2 n(n+1) 例3设某射手的命中率为pO<p<1),现令其对目标进行射击直到射中目标为止,求射击次数 X的分布律 解题思路:要求随杋变量的分布律,首先确定随机变量可能取值,然后再确定取这些值的概率 解:由题意可知X可能取到1,2,…,所有的正整数,并且事件{X=k}表示前k-1次均未击中
1．离散型随机变量及其分布律 定义 3 若随机变量 X 可能取值的数目是有限个或可列无限个，则称 X 是离散型随机变量。X 的可能值可写成 x1,x2，…，xk，…在有限的情形，这个序列至某一项结束。 对于离散型随机变量，我们感兴趣的是它的可能取值是什么和 X 以多大概率取每一个值。为此， 我们定义 定义 4 若离散型随机变量 X 的取值为 xk (k=1,2,…)的概率为 P{X =xk } = pk , k =1,2, 则称{pk , k=1,2,…}为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。分布律也可写成下列的表格形式： X 1 x 2 x … k x … P 1 p 2 p … k p … 由概率的定义，{pk , k=1,2,…}必须满足下列两个条件： （1） p 0, k =1,2, ; k （2） 1. 1 = = k pk 由概率的可加性知，X 的分布函数为 = = = x x x x k k k k F(x) P{X x}＝ P(X x } p 。 因此离散型随机变量 X 的分布函数 F(x)为右连续单调不减的阶梯函数，并且在 , k x = x k = 1, 2, 处 发生跳跃，跳跃值为 pk. 例 2 设随机变量所有可能的取值为 1,2,…,n，且已知概率 P{X=k}与 k 成正比，即 P{X=k}=ak, k=1,2,…n，求常数 a 的值。 2 ( 1) { } 1, { } 1 1 1 + = = = = = = = = n n P X k P X k ak a n k n k n k 解：由分布律的性质， 并且 ( 1) 2 1 2 ( 1) + = = + n n a n n 可得到 a ，所以 。 例 3 设某射手的命中率为 p(0<p<1)，现令其对目标进行射击直到射中目标为止，求射击次数 X 的分布律。 解题思路：要求随机变量的分布律，首先确定随机变量可能取值，然后再确定取这些值的概率。 解：由题意可知 X 可能取到 1,2, …，所有的正整数，并且事件{X=k}表示前 k-1 次均未击中
第k次才击中目标,故 P{X=k}=(1-p)p,k=12, 从而X的分布律为 X P (1-p)p 例4设一个口袋中装有标号为1,2,2,33,3数字的六个球,从这口袋中任取一个球,用随机变 量X表示取得的球上标有的数字,求X的分布律和分布函数,并求P{K≤72}、P{0.5≤X≤2} 解随机变量X的可能取值为1,2,3,由古典概率知识可得 P{X=}=,P{X=2}=,PX=3=言 所以X的分布律为 P 1/6 3/6 当x<1时,{X≤x}为不可能事件,所以F(x)=0 当1≤x<2时,{K≤x}等价于{X=1},所以F(x)=1/6 当2≤x<3时,{K≤x}={X=1}+{X=2},所以F(x)=1/6+2/6=3/6; 当x≥3时,{X≤x}是必然事件,F(x)=1。 /6当1≤x<2 3/6当2≤x<3 1当x≥3 分布函数F(x)的图像如图2所示。 图2 P{X≤3}=F(3-)=1, P{0.5≤X≤2}=P{0.5<X≤2}+P(X=0.5}=F(2)-F(0.5)+0=0.5
第 k 次才击中目标，故 P{X＝k} = (1− p) k−1 p, k =1,2, 从而 X 的分布律为 X 1 2 … k … P p (1− p)p … p p k 1 (1 ) − − … 例 4 设一个口袋中装有标号为 1,2,2,3,3,3 数字的六个球，从这口袋中任取一个球，用随机变 量 X 表示取得的球上标有的数字，求 X 的分布律和分布函数，并求 P{X≤7/2}、P{0.5≤X≤2}. 解 随机变量 X 的可能取值为 1,2,3，由古典概率知识可得 6 1 P{X =1} = ， 6 2 P{X = 2} = ， 6 3 P{X = 3} = 。 所以 X 的分布律为 X 1 2 3 P 1/6 2/6 3/6 当 x <1 时，{X≤x}为不可能事件，所以 F(x)=0； 当 1≤x <2 时，{X≤x}等价于 {X = 1} ，所以 F(x)=1/6； 当 2≤x <3 时，{X≤x}={X=1}+{X=2 }，所以 F(x)=1/6+2/6=3/6； 当 x ≥3 时，{X≤x}是必然事件，F(x)=1。 = 1 3 3/ 6 2 3 1/ 6 1 2 0 1 ( ) x x x x F x 当 当 当 当 分布函数 F(x)的图像如图 2 所示。 图 2 ) 1; 2 1 } (3 2 1 P{X 3 = F = P{0.5 X 2} = P{0.5 X 2}+ P(X = 0.5} = F(2) − F(0.5) + 0 = 0.5 1 2 3 1 O
几种常见的离散型随机变量的概率分布 1)两点分布或(0-1)分布 若在一次随机试验中随机变量X只能取0或1两个值,且它的分布律为P{X=1}=p,P{K=0} P=q,则称随机变量X服从两点分布或(0-1)分布 两点分布可以作为描述试验只有两个基本事件的数学模型。如果一个试验只关心某事件A发 生或其对立事件A发生的情况,就可用服从(0-1)分布的随机变量来描述。 2)二项分布 在n重贝努利试验中,若事件A在每次试验中发生的概率均为p,即P()→P,则A恰好发生k 次(k=01n)的概率为Cp(1-p)y*。令X表示n重贝努利试验中事件A发生的次数,X是一 个随机变量,它的可能取值为0.,1,,n,其分布律为 P(X=k}=CnP(1-p)”,(k=0,.…,n) 称X服从参数为np的二项分布,记作XB(pD) 容易看出,当n=1时,二项分布就是(-1)分布,因而(0-1)分布是二项分布的特殊情况。 二项分布是一类非常重要的分布,它用于描述n重贝努利试验中,A恰好发生k次的概率这种 数学模型。 例5已知一批产品中的次品率为001。今从产品中任取10件,求取得的产品中至少有两件次 品的概率。 解:令X表示取出的10件产品中的次品数,据题意可知XB(10,0.01)且事件“取得的产品 中至少有2件次品”可表示为{X≥2},所以 P{X≥2}=1-PX=0}-P{X=1} 1-C0001)(0.99)0-C1(0.01)(099 ≈0.07 例6设飞机在飞行中每个引擎的故障概率为1-p,且各引擎是否发生故障是相互独立的。当 50%及50%以上引擎在正常工作时,飞机可以正常飞行,问对多大的p而言,4引擎飞机比2引擎 飞机更可靠? 解:令X表示4引擎飞机上正常运行的引擎个数,事件“4引擎飞机正常飞行”可表示为{X≥ 2},且P{X≥2}=6p2(1-p)2+4p3(1-p)p2 令Y表示2引擎飞机正常运行的引擎个数,则P(Y≥l}=1-P{F=0}=2pp2 要使4引擎飞机比2引擎飞机更可靠,则需要P{x≥2}>P{Y≥1},即 6p2(1-p)2+4p3(1-p)+p4>2p-p 由此可得:p>2/3
2．几种常见的离散型随机变量的概率分布 1）两点分布或(0-1)分布 若在一次随机试验中随机变量 X 只能取 0 或 1 两个值，且它的分布律为 P{X=1 }= p ，P{X=0 }= 1-p =q，则称随机变量 X 服从两点分布或 (0 −1) 分布。 两点分布可以作为描述试验只有两个基本事件的数学模型。如果一个试验只关心某事件 A 发 生或其对立事件 A 发生的情况，就可用服从(0-1)分布的随机变量来描述。 2）二项分布 在 n 重贝努利试验中，若事件 A 在每次试验中发生的概率均为 p，即 P(A)=p，则 A 恰好发生 k 次（k=0,1,…,n）的概率为 k n k k n C p p − (1− ) 。令 X 表示 n 重贝努利试验中事件 A 发生的次数，X 是一 个随机变量，它的可能取值为 0,1,…,n，其分布律为 P{X k} p (1 p) ,(k 0,1,...,n) k n k k Cn = = − = − 。 称 X 服从参数为 n,p 的二项分布，记作 X~B(n,p). 容易看出，当 n=1 时，二项分布就是(0-1)分布，因而(0-1)分布是二项分布的特殊情况。 二项分布是一类非常重要的分布，它用于描述 n 重贝努利试验中，A 恰好发生 k 次的概率这种 数学模型。 例 5 已知一批产品中的次品率为 0.01。今从产品中任取 10 件，求取得的产品中至少有两件次 品的概率。 解： 令 X 表示取出的 10 件产品中的次品数，据题意可知 X~B(10,0.01). 且事件“取得的产品 中至少有 2 件次品”可表示为{X≥2}，所以 0.07 1 (0.01) (0.99) (0.01) (0.99) { 2} 1 { 0} { 1} 1 1 9 10 0 0 10 10 = − − = − = − = C C P X P X P X 例 6 设飞机在飞行中每个引擎的故障概率为 1-p，且各引擎是否发生故障是相互独立的。当 50％及 50％以上引擎在正常工作时，飞机可以正常飞行，问对多大的 p 而言，4 引擎飞机比 2 引擎 飞机更可靠？ 解：令 X 表示 4 引擎飞机上正常运行的引擎个数，事件“4 引擎飞机正常飞行”可表示为{X≥ 2}，且 P{ X≥2}=6p 2 (1-p) 2+4p 3 (1-p)+p 4 . 令 Y 表示 2 引擎飞机正常运行的引擎个数，则 P{ Y≥1}= 1-P{ Y=0}=2p-p 2 . 要使 4 引擎飞机比 2 引擎飞机更可靠，则需要 P{ X≥2}> P{ Y≥1}，即 2 2 3 4 2 6p (1− p) + 4p (1− p) + p 2p − p 由此可得：p>2/3