Chap9模糊数学 §9.1普通集合 §92模糊集合 §9.3模糊关系 蜜§9.4综合评判 §9.5模糊聚类分析 §92模糊集合 模糊集合与隶属函数 目1模糊集合的定义 定义: 如果对论域X中的每一个元素x,都规定了0,1中 的一个实数(x),则得到x上的一个模糊集合 A (x) r∈X 其中H1(x)表示x对的隶属度,称为A的隶属函数
1 Chap9 模糊数学 §9.1 普通集合 §9.2 模糊集合 §9.3 模糊关系 §9.4 综合评判 §9.5 模糊聚类分析 §9.2 模糊集合 一、模糊集合与隶属函数 1.模糊集合的定义 [0,1] ( ) ( ) ( ) A A A x x x xA X x xX A A xX μ A μ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ μ = ∈ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 如果对论域 中的每一个元素 ，都规定了 中 的一个实 表示 对 的隶属度， 数 ，则得到 上的一个模糊集合 ， 称为 的 ， 其中 隶属函数 定义：
2模糊集合的表示法 )单点表示法 A: H4(x1),H4(x2) 十 其中隶属度为0的可省略不写) 例如:A=- 10.80.2010.80.2 =- b c d b c (2)向量表示法 A=(H4(x1),P4(x2)…,H4(xn)) 例如:A=(1,0.8,0.2,0) 二、模糊集合的运算 1模糊集的并 设A、B是论域x上的两个模糊集,那么A和E的 并集AUB也是X上的模糊集,其隶属函数定义为: 对X中的所有x,有 PAUB(x)=max(HA(r),AB(rD)=H(r)vAB(x) 其中“”为取大运算符号
2 2.模糊集合的表示法 1 2 1 2 () () ( ) A A A n n x x x xx x A μ μ μ = + ++ " 单点表示法 1 0.8 0.2 0 A a b c d = + + + 1 0.8 0.2 ab c =+ + （1） （其中隶属度为0的可省略不写） 例如： 1 2 ( ( ) ( ) ( )) A A An A = μ x x ， ，， μ μ " x 向量表示法 A = (1，0.8，0.2，0) （2） 例如： 二、模糊集合的运算 1.模糊集的并 max () () () ( ( ) ( )) AB A B A B AB X X X x x A B A B μ x x = μ μ x = μ μ ∨ x ∨ ∪ ∪ 设 、 是论域 上的两个模糊集，那么 也是 上的模糊集，其隶属函数定义为： 对 中的所有 ，有 ， 其中“ ”为取大 和 的 并集 运算符号
2模糊集的交 设A、B是论域X上的两个模糊集,那么A和B的 交集A∩B也是X上的模糊集,其隶属函数定义为: 对X中的所有x,有 HnB(x)=min(p1(x)H2(x)=HA(x)AP2(x) 其中“”为取小运算符号 3模糊集的补 设A是论域X上的模糊集,那么A的补集A也 是X上的模糊集,其隶属函数定义为:对X中的 目所有x,有 H1(x)=1-4(x) 例:设论域X={x1,x2x3,xx5}上的两个模糊集为 0.30.50.8 A 十 0.60.80.7 B= 则 CAUB 03v0.60.5V00v0.80.8V00V0.7 十 十 x 0.60.50.80.80.7 十 十—+—十
3 2.模糊集的交 () ( ) () min( ( ) ( )) A B AB A B AB X X X x x A B A B μ x x = μ μ x = μ μ ∧ x ∧ ∩ ∩ 设 、 是论域 上的两个模糊集，那么 也是 上的模糊集，其隶属函数定义为： 对 中的所有 ，有 ， 其中“ ”为取小 和 的 交集 运算符号 3.模糊集的补 () 1 () A A A A x X X x A X x μ μ = − 设 是论域 上的模糊集，那么 也 是 上的模糊集，其隶属函数定义为：对 中的 所有 ，有 的补集 例： 12345 124 135 0.3 0.5 0.8 0.6 0.8 { } 0.7 X xxxxx xxx xxx A B =++ = + = + 设论域 上的两个模 ， ， ， ， 糊集为 则 1 2345 0.3 0.5 0 0.6 0 0.8 0 0.7 0.8 0 x B xx x A x ∨ ∨∨ ∨∨ ∪ = ++++ 1 2 3 4 5 0.6 0.5 0.8 0.8 0.7 x x x x x = + + + +
4∩B=0.3A0.605A00A0.80.80,0~0.7 ￥x? 0.3 0000.3 计-+—+— r I xs -0.3 0.51-01-0.8 0 0.70.5 0.2 十 三、模糊集的λ-截集 定义:4是一个普通集合 设模糊集,∈0,取记A2={xH(x)≥,x∈X 称A1为A的-截集 例:设X={x,x,x,x,x} 0.30.50.80.50.9 A 十 十 x x A0s={x3,x3}As={x2,x3,x4,x3
4 1 2345 0.3 0.5 0 0.6 0 0.8 0 0.7 0.8 0 x B xx x A x ∧ ∧∧ ∧∧ ∩ = ++++ 1 2345 0.3 0 0 0 0 x x xxx = ++++ 1 0.3 x = 1 2345 111 0.3 0.5 0 0.8 0 1 1 x xxxx A − − −− − = + ++ + 1 2 3 4 5 0.7 0.5 1 0.2 1 x x x x x = + + + + 三、模糊集的λ − 截集 [0,1] { ( ) } Axx x A A A A λ X λ λ μ λ λ ≥ − 设模糊集 ∈ = ∈ ， ， 为 的 ， ，记 称 截集 定义： Aλ是一个普通集合 例： 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 0.3 0.5 0.8 0.5 0.9 { } x x x x x A X x x x x x = + + + + 设 = ， ， ， ， A0.8 3 5 = { } x x ， A0.5 2345 = { } xxxx
§93模糊关系 、模糊关系的概念 定义: 设X和Y是两个普通集合,以X×Y为论域的模糊 ‖集合凤,称为X到y的一个模糊关系,表示为 R=HR(, y) x∈X,y∈Y x,y 其中隶属度H2(x,y)表示x和具有关系R的程度, 把X到X的模糊关系称为X上的模糊关系 二、模糊矩阵及其运算 1模糊矩阵 设X={x,x2…xm},Y={1y2…y}都是 有限集,X到Y的一个模糊关系R可表示为: y1)Ag(x1,y2)…A(xy 2(x2,y1)p2(x2,y2) R: uR(2,J FR(,) uR(m,y2).. FR(rm,yu) 其中每个元素A(xy)都是0,1中的数,这样的 矩阵称为模糊矩阵
5 §9.3 模糊关系 一、模糊关系的概念 (,) , (,) ( , ( , ) ) [0 1] R R R X Y x y R x Xy Y X Y XY R x y x x x R y y y μ μ μ ⎧ ⎫ = × ⎨ ⎬ ∈ ∈ ⎩ ⎭ ∈ 设 和 是两个普通集合，以 为论域的模糊 集合 ，称为 其中 表示 和 具有关系 的程 到 的一个模糊关系，表示为 隶属 度 ， 度 ， 把 到 的模糊关系称为 上的模糊关系 XX X 定义： 二、模糊矩阵及其运算 11 12 1 21 2 12 12 2 2 1 2 { } { } ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 1] ) , R R Rn R R Rn Rm Rm R m n Ri j m n xy xy xy xy xy xy R xy xy xy X xx x Y yy y XY R x y μμ μ μ μ μ μ μ μ μ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ = ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = " " " " ## # " 设 ， ， ， ， ， ， ， 都是 有限集， 到 的一个模糊关系 可表示为： 其中 ，， ， ，， ， 每 ，， ， 个元素 ， 都是 中的数，这样的 矩阵称为模糊矩阵。 1.模糊矩阵