Chap4定积分 §41定积分的概念 §42定积分的计算 §43定积分的两个积分法则 §44定积分的应用 §4.6广义积分 841定积分的概念 定积分的定义 1定义 ∫,∫(x)d=im∑f(x)△x 其中f(x)称为被积函数,x称为积分变量,a,b 称为积分区间,a、b分别称为积分下限、上限
1 Chap4 定积分 §4.1 定积分的概念 §4.2 定积分的计算 §4.3 定积分的两个积分法则 §4.4 定积分的应用 §4.6 广义积分 ( ) [ , ] f x x ab a b 被积函数 积分变量 积分 其中 称为 ，称为 ， 称为 ， 、 分别 区间 积分下 称为 限、上限 一、定积分的定义 0 1 ( ) lim ( ) n i i i b a f xdx fx x λ → = = Δ ∫ ∑ 1.定义 §4.1 定积分的概念
2.注:定积分是一个数值 例:(∫上 arctan dr)=0 、定积分的性质 1若f()=1,则广/(xk∫a=b- 2/(x)d=/(xk+(x)(为任何实数 例如:「(x)d=J,/(x+(x) c可在a点的左边,也可在b点的右边 例如:(x)d=J(x)+n/(x)d 定积分对积分区间的可加性
2 2. 注：定积分是一个数值 1 1 2 ( arctan x dx)′ = 例： ∫ 0 三、定积分的性质 f x f x dx dx b a b a b a ≡ = = − ∫ ∫ 若 ( ) 1， 则 ( ) () () () b cb a ac f x dx f x d = + x f x dx c ∫∫∫ （ 为任何实数） ca b 可在 点的左边，也可在 点的右边 2 12 0 01 () () () f x dx f x dx f x dx = + 例如：∫∫∫ 2 02 1 10 () () f x dx f x dx f x dx = + ( ) 例如：∫∫∫ 定积分对积分区间的可加性 1. 2
3. f(x)dx=-. f(x)dx 例如:」2f(x)=」,(x)d 特别当a=b时,Jf(x)=0 4.定积分的值与被积函数以及积分区间有关, 而与积分变量的字母的选择无关 即:(x)=∫(-J(dk= 例如:「x2t=rt 6:f(x)±g(x)dx=f(x)dx±g(x)dh 可推广到任意有限个函数代数和的情况
3 ∫ ∫ = − a b b a f (x)dx f (x)dx 3 2 2 3 () () f x dx f x dx = − 例如：∫ ∫ () 0 a a a b = f x dx = 特别当 时，∫ 3. ( ) () ( ) b bb a aa f d fd f d xx tt = = = k k ∫ ∫∫ " 1 1 2 2 0 0 x dx t dt = = 例如：∫ ∫ " 4. 定积分的值与被积函数以及积分区间有关， 而与积分变量的字母的选择无关 即： () () b b a a kf x dx f = k x dx ∫ ∫ [ ( ) ( )] ( ) ( ) b bb a aa f x gx f x g ± dx d = x dx ± x ∫ ∫∫ 5. 6. 可推广到任意有限个函数代数和的情况
§4,2定积分的计算 p(x)=Jf(x)dx,x∈a,称为变上限积分 (1)(∫/(m=r(x 例:(r2sinh)=x2sinx (2)(f()d)x=-f(x) 例:rsmx=-xsix 定理 设f(x)在a,b上连续,若F(x)是f(x)在 1a,b上的一个原函数,则 f(x)dx= F(x)= F()-F(a) 牛顿-莱布尼兹公式
4 §4.2 定积分的计算 ( ) [ , ] ( ) x a px x b = ∈ f x dx a ∫ ， 称为变上限积分 （1） ( f (t)dt) f (x) x x a ′ = ∫ 2 0 ( sin ) x x t tdt ′ 例： ∫ ( () ) ( ) b x x f t dt f x ′ = − ∫ x sin x 2 = 0 2 ( sin )x x t tdt ′ 例： ∫ x sin x 2 = − （2） ( ) [ , ] ( ) ( ) [ , ] f x ab F x f x a b 设 在 上连续，若 是在 上的一个原函数，则 牛顿 莱布尼兹公式 − 定理： () () () ( ) b a b a f x dx F b F = =− F x a ∫
例(1)[x2ax=1x3 (2)2sin xdx =-cos xl =-(c0s cosO) 2 (3)Sre dx =J 2J d(x) Ce 2 (4)gnx-1=(1-x)dx+(x-1dk x--x)+(-x-x 22
5 例（1）∫ 1 0 2 x dx 1 0 1 3 3 = x 3 1 = ∫ 2 0 sin π xdx 2 0 cos x π = − 1 cos0) 2 (cos = = − − π （2） ∫ 1 0 2 xe dx x ∫ = ⋅ 1 0 2 e xdx x ∫ = 1 0 2 ( ) 2 1 2 e d x x 2 1 0 1 2 x = e ( 1) 2 1 = e − 2 0 x −1 dx ∫ ∫ ∫ = − + − 2 1 1 0 (1 x)dx (x 1)dx 1 2 0 2 2 1 1 1 ( )( ) 2 2 = + x x xx − − 1 2 1 2 1 = + = （3） （4）