Chap5微分方程 §51微分方程的基本概念 §52一阶微分方程 1§5.3二阶微分方程 §5.1微分方程的基本概念 微分方程的定义 含有未知函数的导数(或微分)的方程, 称为微分方程 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个, 称这种微分方程为常微分方程
1 Chap5 微分方程 §5.1 微分方程的基本概念 §5.2 一阶微分方程 §5.3 二阶微分方程 §5.1 微分方程的基本概念 一、微分方程的定义 含有未知函数的导数（或微分）的方程， 称为微分方程 如果在微分方程中，自变量的个数只有一个， 称这种微分方程为常微分方程
微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数, 称为微分方程的阶数 例如 3yy+2y=e 三阶 (")+5y-4y=smx三阶 +5y-4y=(imx)7]二阶 §5.2一阶微分方程 一、可分离变量的徽分方程 形如 小y 队=f(x)0)的方程称为可分离变量的 微分方程这里f(x)g(y)分别是x、y的连续函数
2 例如： 3 2 x y yy y e ′′′ ′′ − += 2 ( ) 5 4 sin y yy x ′′′ ′ + −= 2 ( ) 5 4 (sin ) y yy x ′′ ′ ′′′ + −= 三阶 三阶 二阶 1. 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数， 称为微分方程的阶数 §5.2 一阶微分方程 ( ) ( ) ( ) ( ) f x gy xy dy f xgy dx 形如 的方程， = 称为 的 微分方程，这里 、 分别 可分离变 是 、 量 的连续函数 一、可分离变量的微分方程
例1:求微分方程+x=sinx的通解 解:移项 =SInx-u dx 分离变量=sinx-x)dx 两边积分∫=∫imx-x)de 得通解y=-cosx-1x2+c (c是任意常数) d 例2:求微分方程 的通解 d 解:分离变量y=-xt 两边积分1y2=-1x2+1c 2 2 得通解y2=-x2+c 即x2+y2=c或y=±√e
3 例1： sin dy x x dx 求微分方程 的通解 + = 移项 sin dy x x dx = − 分离变量 dy x x dx = (sin ) − 两边积分 dy x x dx = − (sin ) ∫ ∫ 得通解 1 2 cos 2 y x =− − x + c ( ) c是任意常数 解： 例2： x + y = c 2 2 dy x dx y 求微分方程 的通解 = − 分离变量 ydy xdx = − 两边积分 得通解 y = − x + c 2 2 即 2 或 y =± −c x 1 1 2 2 2 2 1 2 y x = − + c 解：
例3求微分方程女=2y的通解 解:分离变量小 =rdx 两边积分Iny=x2+lnc 得通解y=ce 注:因为不影响最后结果,所以约定,在解微分 方程的过程中 ∫ d形式可写成lnx+c 自例4求微分方程(1+y2x+yy=0的通解 解:移项 (+y)dr=-xydy 分离交量d≠1+y d J 1 d(1+y 21+y 两边积分Inx=-lm(1+y2)+lnc 2 点得通解 xvi+y
4 例3： 2 dy xy dx 求微分方程 的通解 = 分离变量 2 dy xdx y = 两边积分 2 ln y = + x c ln 2 x 得通解 y = ce 1 dx x c ln x + ∫ 注：因为不影响最后结果，所以约 形式可 定， 写成 在解微分 方程的过程中， 解： 例4： 2 求微分方程 的通解 (1 ) 0 + += y dx xydy 移项 2 (1 ) + =− y dx xydy 分离变量 2 1 dx ydy x y = − + 两边积分 1 2 ln ln(1 ) ln 2 x yc =− + + 得通解 x + y = c 2 1 2 2 1 (1 ) 2 1 y d y x dx + + = − ⋅ 解：
例5:求微分方程 y coSx的通解,并求 满足初始条件当x=0时,y=1的特解 解:分离变量0xt 两边积分 =sinx+c 得通解 J sinx+c 将x=0,y=1代入通解,得c=-1 ∴所求特解为y 1-sin x 二、齐次微分方程 形如=g(的方程称为齐次微分方程, 目这里q(u)是连续函数 作变量变换 d 令u=,即y=ux则 L =x一+L 代入方程求解最后用u=代回原来的变量
5 例5： 2 cos 0 1 dy y x dx x y = = = 求微分方程 的通解，并求 满足初始条件 的特解 当 时， 分离变量 2 cos dy xdx y = 两边积分 1 sin x c y − = + 得通解 1 sin y x c = − + 将 ， 代入通解，得 xy c = = =− 01 1 1 1 sin y x ∴ = − 所求特解为 解： 二、齐次微分方程 ( ) ( ) dy y dx x ϕ u u 形如 的方程， = ϕ 称为 微分方程， 齐次 这里 是 的连续函数 作变量变换 y u y ux x 令 ，即 = = dy du x u dx dx 则 = + 代入方程求解 y u x 最后用 代 = 回原来的变量