新东方在线[www.koolearn.com/www.o24com]网络课堂电子教材系列 考研数学冲刺·概率论与数理统计 欢迎使用新东方在线电子教材 / 9 新东方在线 东 Www. KoolearN. Con 基本概念总结 概念网络图 随机事件P(A)-数化,一维随机变量X(o)→F(x)=P(X≤x) →八大分布(0-1、二项、泊松、超几何、几何、均匀、指数、正态) →数字特征(期望、方差) →两大分布(均匀、正态) o303 随机事件P(AB)-数化→二维随机变量(X,Y)→F(x,y)=P(X≤x,Y →数字特征(期望、方差、协方差、相关系数) 大数定律和中心极限定理 四大统计分布(正态,x2,1,F)(多维随机变量的函数分布) 数理统计{ 参数估计 假设检验 2、最重要的5个概念 (1)古典概型(由比例引入概率) 例1:3男生,3女生,从中挑出4个,问男女相等的概率? 例2:有5个白色珠子和4个黑色珠子,从中任取3个,问其中至少有1个是黑色的概 率?
新东方在线 [www.koolearn.com / www.TOL24.com] 网络课堂电子教材系列 - 1 - 考研数学冲刺·概率论与数理统计 欢迎使用新东方在线电子教材 一、基本概念总结 1、概念网络图 → → ⎯⎯⎯→ → = → → − ⎯⎯⎯→ → = 数字特征（期望、方差、协方差、相关系数） 两大分布（均匀、正态） 随机事件 二维随机变量 数字特征（期望、方差） 八大分布（ 、二项、泊松、超几何、几何、均匀、指数、正态） 随机事件 一维随机变量 数字化 数字化 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) P AB X Y F x y P X x Y y P A X F x P X x → 假设检验 参数估计 四大统计分布（正态 ）（多维随机变量的函数分布） 数理统计 大数定律和中心极限定理 , ,t, F 2 2、最重要的 5 个概念 （1）古典概型（由比例引入概率） 例 1：3 男生，3 女生，从中挑出 4 个，问男女相等的概率？ 例 2：有 5 个白色珠子和 4 个黑色珠子，从中任取 3 个，问其中至少有 1 个是黑色的概 率？
新东方在线[www.koolearn.com/www.o24com]网络课堂电子教材系列 (2)随机变量与随机事件的等价(将事件数字化 P(X=x)=P(A) P(X=x,r=y)=P(AB) 例3:已知甲、乙两箱中装有两种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱 中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求 (1)乙箱中次品件数H的数学期望 (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率 例4:将一枚均匀硬币连掷三次,以X表示三次试验中出现正面的次数,Y表示出 现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值,求(X,Y)的联合分布律。 (3)分布函数(将概率与函数联系起来) 东 F(x)=P(X≤x) (4)高散与连续的关系 P(X=x)=f(x) P(X=x,r=y)=f(x, y)dxdy 例5:见“数字特征”的公式 s<天00Q (5)简单随机样本(将概率和统计联系在一起) 样本是由n个同总体分布的个体组成的,相当于n个同分布的随机变量的组合(n维随 机变量)。 例6样本的x=∑x,是已知的,个体(总体)的=E(x)未知,矩估计:x=, 完成了一个从样本到总体的推断过程。 二、做题的18个口诀(概率15个,统计3个) 概率 (1)题干中出现“如果”、“当”、“已知”的,是条件概率。 例7:5把钥匙,只有一把能打开,如果某次打不开就扔掉,问第二次打开的概率? (2)时间上分两个阶段的,用“全概公式”或者“贝叶斯公式”。 例8:玻璃杯成箱出售,每箱20只,设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1 和0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯,由售货员任取一箱,而顾客开箱随机地察看4只;若无 残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回。试求 (1)顾客买此箱玻璃杯的概率;
新东方在线 [www.koolearn.com / www.TOL24.com] 网络课堂电子教材系列 - 2 - （2）随机变量与随机事件的等价（将事件数字化） P(X = x) = P(A) P(X = x,Y = y) = P(AB) 例 3：已知甲、乙两箱中装有两种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱 中仅装有 3 件合格品。从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求： （1） 乙箱中次品件数 X 的数学期望。 （2） 从乙箱中任取一件产品是次品的概率。 例 4：将一枚均匀硬币连掷三次，以 X 表示三次试验中出现正面的次数，Y 表示出 现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值，求（X，Y）的联合分布律。 （3）分布函数（将概率与函数联系起来） F(x) = P(X x) （4）离散与连续的关系 P(X = x) = f (x)dx P(X = x,Y = y) = f (x, y)dxdy 例 5：见“数字特征”的公式。 （5）简单随机样本（将概率和统计联系在一起） 样本是由 n 个同总体分布的个体组成的，相当于 n 个同分布的随机变量的组合（n 维随 机变量）。 例 6：样本的 = = n i Xi n X 1 1 是已知的，个体（总体）的 ( ) = E Xi 未知，矩估计： X = ， 完成了一个从样本到总体的推断过程。 二、做题的 18 个口诀（概率 15 个，统计 3 个） 1、概率 （1）题干中出现“如果”、“当”、“已知”的，是条件概率。 例 7：5 把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问第二次打开的概率？ （2）时间上分两个阶段的，用“全概公式”或者“贝叶斯公式”。 例 8：玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，设各箱含 0，1，2 只残次品的概率分别为 0.8, 0.1 和 0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看 4 只；若无 残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求： （1）顾客买此箱玻璃杯的概率；
新东方在线[www.koolearn.com/www.o24com]网络课堂电子教材系列 (2)在顾客买的此箱玻璃杯中,确实没有残次品的概率 (3)“只知次数,不知位置”是“二项分布” 例9:抛5次硬币,其中有3次正面朝上的概率? C3()3() 例10:1对夫妇生4个孩子,2男2女的概率? (4)“先后不放回取”≡“任取”,是“超几何分布” 例115个球,3红2白,先后不放回取2个,2红的概率? 例12:5个球,3红2白,任取2个,2红的概率?C 东 (5)“先后放回取”是“二项分布” 例13:5个球,3红2白,先后放回取5个,2红的概率? C2(32)2(2)3 (6)求随机变量函数的分布密度,从分布函数的定义入手。 例14:设X的分布函数F(x)是连续函数,证明随机变量Y=F(X)在区间(0,1)上服 从均匀分布 (7)二维随机变量的概率分布从两个事件相交的本质入手。 P(AB)_P(A)P(B/A) f(x)f(/x) P(AP(B)·(x fx(x)f1(y)° (8)二维连续型随机变量的边缘分布由画线决定积分的上下限。 例15:设二维连续型随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,其 D=(x,)x+yksl,lx-yks1, 求X的边缘密度fx(x) (9)求二维连续型随机变量的函数分布或者某个区域内的概率,由画图计算相交部分(正 概率区间和所求区域的交集)的积分。 例16:设随机变量(X,Y)的分布密度为 0<x<1,0<y<x, p(x, y) 0,其他
新东方在线 [www.koolearn.com / www.TOL24.com] 网络课堂电子教材系列 - 3 - （2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。 （3）“只知次数，不知位置”是“二项分布”。 例 9：抛 5 次硬币，其中有 3 次正面朝上的概率？ 3 3 2 5 ) 2 1 ) ( 2 1 C ( 例 10：1 对夫妇生 4 个孩子，2 男 2 女的概率？ （4）“先后不放回取”≡“任取”，是“超几何分布”。 例 11：5 个球，3 红 2 白，先后不放回取 2 个，2 红的概率？ 2 5 2 3 P P 例 12：5 个球，3 红 2 白，任取 2 个，2 红的概率？ 2 5 2 3 C C （5）“先后放回取”是“二项分布”。 例 13：5 个球，3 红 2 白，先后放回取 5 个，2 红的概率？ 2 2 3 5 ) 5 2 ) ( 5 3 C ( （6）求随机变量函数的分布密度，从分布函数的定义入手。 例 14：设 X 的分布函数 F(x)是连续函数，证明随机变量 Y=F（X）在区间（0，1）上服 从均匀分布。 （7）二维随机变量的概率分布从两个事件相交的本质入手。 = ( ) ( ) ( ) ( / ) ( ) P A P B P A P B A P AB ， = ( ) ( ) ( ) ( / ) ( , ) f x f y f x f y x f x y X Y X 。 （8）二维连续型随机变量的边缘分布由画线决定积分的上下限。 例 15：设二维连续型随机变量（X，Y）在区域 D 上服从均匀分布，其中 D ={( x, y):| x + y |1,| x − y |1}, 求 X 的边缘密度 f (x) X 。 （9）求二维连续型随机变量的函数分布或者某个区域内的概率，由画图计算相交部分（正 概率区间和所求区域的交集）的积分。 例 16：设随机变量（X，Y）的分布密度为 = 0, . 3 0 1,0 , ( , ) 其他 x x y x x y
新东方在线[www.koolearn.com/www.o24com]网络课堂电子教材系列 试求U=X-Y的分布密度。 (10)均匀分布用“几何概型”计算 例17:设随机变量(X,Y)的分布密度为 20<x<10<y<x p(x,y) 0,其他 试求P(X+Y>1)。 (11)关于独立性:对于离散型随机变量,有零不独立;对于连续型随机变量,密度函数 可分离变量并且正概率密度区间为矩形。 东 (12)二维随机变量的期望F(X)、E(Y和方差D(X)、D(Y),由边缘分布来求 例19:设A,B为两个随机事件,且P(4) 4,P1=3,P(42)2,令 ∫1A发生 B发生, 0,A不发生, 0,B不发生 求 (I)二维随机变量(X,Y)的概率分布 (Ⅱ)X与Y的相关系数pxy; (Ⅲ)Z=X2+Y2的概率分布 (13)相关系数中的E(XY,对于离散型随机变量,根据XY的一维分布来求;对于连续 型随机变量,按照函数的期望来求 例20:连续型随机变量:E(XY)=xy(x,y)rdh (14)应用题:设Y为题干中要求期望的随机变量,a为最后题目所求,然后找Y与X的 函数关系,再求E(Y) 例21:市场上对商品需求量为X~U(2000,4000),每售出1吨可得3万元,若售不 出而囤积在仓库中则每吨需保养费1万元,问需要组织多少货源,才能使收益的期望 最大? (15)切比雪夫大数定律要求“方差有界”辛钦大数定律要求“同分布”。 2、统计 (1)似然函数是联合密度或者联合分布律
新东方在线 [www.koolearn.com / www.TOL24.com] 网络课堂电子教材系列 - 4 - 试求 U=X-Y 的分布密度。 （10）均匀分布用“几何概型”计算。 例 17：设随机变量（X，Y）的分布密度为 = 0, . 2 0 1,0 , ( , ) 其他 x y x x y 试求 P(X+Y>1)。 （11）关于独立性：对于离散型随机变量，有零不独立；对于连续型随机变量，密度函数 可分离变量并且正概率密度区间为矩形。 （12）二维随机变量的期望 E(X)、E(Y)和方差 D(X)、D(Y)，由边缘分布来求。 例 19：设 A ， B 为两个随机事件,且 4 1 P(A) = , 3 1 P(B | A) = , 2 1 P(A | B) = , 令 = ， 不发生， 发生， A A X 0 1, = 0 . 1, ， 不发生 发生， B B Y 求 (Ⅰ) 二维随机变量 (X,Y) 的概率分布; (Ⅱ) X 与 Y 的相关系数 XY ρ ; (Ⅲ) 2 2 Z = X +Y 的概率分布. （13）相关系数中的 E(XY)，对于离散型随机变量，根据 XY 的一维分布来求；对于连续 型随机变量，按照函数的期望来求。 例 20： 连续型随机变量：E(XY)＝ + − xyf (x, y)dxdy （14）应用题：设 Y 为题干中要求期望的随机变量，a 为最后题目所求，然后找 Y 与 X 的 函数关系，再求 E(Y)。 例 21：市场上对商品需求量为 X～U（2000，4000），每售出 1 吨可得 3 万元，若售不 出而囤积在仓库中则每吨需保养费 1 万元，问需要组织多少货源，才能使收益的期望 最大？ （15）切比雪夫大数定律要求“方差有界”，辛钦大数定律要求“同分布”。 2、统计 （1）似然函数是联合密度或者联合分布律
新东方在线[www.koolearn.com/www.o24com]网络课堂电子教材系列 连续型:D(1,O2,…,Omn)=∏f(x;01,03,…,On) 离散型:L(O1,O2…,Omn)=∏P(x;O1,O2,…On) 例22:设总体X的概率分别为 p626(1-0)0 其中0(0<6<)是未知参数,利用总体X的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3 东 求θ的矩估计值和最大似然估计值 (2)“无偏”求期望,“有效”求方差,“一致”不管它 例23:设x12x2,…,xn是总体的一个样本,试证 (1)H=5x+10x+ (2)2-34 (3) 12 都是总体均值u的无偏估计,并比较有效性 (3)标准正态、分布区间估计和假设检验取关于y轴对称的分位数 z、F分布取面积对称的分位数。 三、选择题常考的5个混淆概念 l、乘法公式和条件概率 例24:100个学生,60个男生,40个女生,棕色头发30个,棕色头发的男生10个, 任取一个学生,是棕色头发的男生的概率?已知取了一个男生,是棕色头发的概率? P(AB)= P(A)P(B/A) 2、独立和互斥 设A≠,B≠,则A和B相互独立与A和B互斥矛 例25:对于任意二事件A和B, (A)若AB=φ,则A,B一定不独立 (B)若AB=φ,则A,B一定独立 (C)若AB≠φ,则A,B一定独立
新东方在线 [www.koolearn.com / www.TOL24.com] 网络课堂电子教材系列 - 5 - 连续型： ( , , , ) ( ; , , , ) 1 1 2 1 2 = = n i m i m L f x 离散型： ( , , , ) ( ; , , , ) 1 1 2 1 2 = = n i m i m L p x 例 22：设总体 X 的概率分别为 2 (1 ) 1 2 0 1 2 3 2 2 p − − X 其中 θ（0<θ< 2 1 ）是未知参数，利用总体 X 的如下样本值 3， 1， 3， 0， 3， 1， 2， 3 求 θ 的矩估计值和最大似然估计值。 （2）“无偏”求期望，“有效”求方差，“一致”不管它。 例 23：设 n x , x , , x 1 2 是总体的一个样本，试证 （1） ; 2 1 10 3 5 1 1 1 2 3 = x + x + x （2） ; 12 5 4 1 3 1 2 1 2 3 = x + x + x （3） . 12 1 4 3 3 1 3 1 2 3 = x + x − x 都是总体均值 u 的无偏估计，并比较有效性。 （3）标准正态、 t 分布区间估计和假设检验取关于 y 轴对称的分位数， 2 、 F 分布取面积对称的分位数。 三、选择题常考的 5 个混淆概念 1、乘法公式和条件概率 例 24：100 个学生，60 个男生，40 个女生，棕色头发 30 个，棕色头发的男生 10 个， 任取一个学生，是棕色头发的男生的概率？已知取了一个男生，是棕色头发的概率？ P(AB) = P(A)P(B / A) 2、独立和互斥 设 A≠ø, B≠ø，则 A 和 B 相互独立与 A 和 B 互斥矛盾。 例 25：对于任意二事件 A 和 B， （A） 若 AB=Φ，则 A，B 一定不独立。 （B） 若 AB=Φ，则 A，B 一定独立。 （C） 若 AB≠Φ，则 A，B 一定独立