§86多元函数微分学的几何应用 、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 自
一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 §86 多元函数微分学的几何应用 首页 上页 返回 下页 结束 铃
、空间曲线的切线与法平面 设空间曲线r的参数方程为 A2 x=((),y=v(),=0(1) 这里假定(1),v(1,()都在[a,B上可导 设=t和1=(+△分别对应于曲线上的 点Mx0,y0,=0)和Mx0+Ax,y0+△y,=0+△) 作曲线的割线MM,其方程为 x x=y0==-20,或x=10==0 △x △1 △t △t M>M,即△→>0时,得曲线在点M处的切线方程为 x-x0_y-y0_2-20 (0)v(0)o() 上页 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、空间曲线的切线与法平面 下页 设空间曲线的参数方程为 x=(t), y=(t),z=(t), 这里假定(t),(t), (t)都在[, ]上可导 设t=t 0和t=t 0+t分别对应于曲线上的 点M0 (x0 , y0 , z0 )和M(x0+x, y0+y, z0+z) 当M→M0 , 即t→0时, ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 t z z t y y t x x − = − = − z z z y y y x x x − = − = − 0 0 0 , 或 t z z z t y y y t x x x − = − = − 0 0 0 作曲线的割线MM0 , 其方程为 得曲线在点M0处的切线方程为 z z z y y y x x x − = − = − 0 0 0 , 或 t z z z t y y y t x x x − = − = − 0 0 0
、空间曲线的切线与法平面 设空间曲线r的参数方程为 A2 x=((),y=v(),=0(1) 这里假定(1),v(1,O()都在[a,B上可导 过曲线I上tt0所对应的点M切线方 程为 x-xo y-yo 2- x q(0)v(0)o(0) 向量7=((t,v(t,o(t)称为曲线I在点M的切向量 通过点M而与切线垂直的平面称为曲线厂在点M处的法 平面,其法平面方程为 (t)(x-x)+v(t0)0-y0)+o(t0)(2-20)=0 首页上页返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 设空间曲线的参数方程为 x=(t), y=(t),z=(t), 这里假定(t),(t), (t)都在[, ]上可导 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 t z z t y y t x x − = − = − 过曲线上t=t 0所对应的点M0切线方 程为 向量T=((t 0 ), (t 0 ), (t 0 ))称为曲线在点M0的切向量 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0处的法 平面, 其法平面方程为 (t 0 )(x−x0 )+(t 0 )(y−y0 )+(t 0 )(z−z0 )=0 下页 一、空间曲线的切线与法平面
曲线x=0(t)2y=v(),z=0(1)在t=t6所对应的点M的切向量 为T=((t),v(to),O(t0) 例1求曲线x=,y=P2,z=3在点(1,1,1)处的切线及法平面 方程. 解点(1,1,1)所对应的参数=1 因为x}=1,y′=21,x1′=32,所以切向量为T=(1,2,3) 于是,切线方程为 法平面方程为 (x-1)+2(y-1)+3(2-1)=0,即x+2y+3z=6 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 3 1 2 1 1 1 − = − = x− y z , 解 xt =1, 点(1, 1, 1)所对应的参数t=1 因为 zt =3t 2 y , t =2t, 于是, 切线方程为 所以切向量为T=(1, 2, 3) 法平面方程为 (x−1)+2(y−1)+3(z−1)=0, 即x+2y+3z=6 下页 例1 求曲线x=t, y=t 2 , z=t 3在点(1, 1, 1)处的切线及法平面 方程 曲线x=(t), y=(t), z=(t)在t=t 0所对应的点M0的切向量 为T=((t 0 ), (t 0 ), (t 0 ))
曲线x=0(t)2y=v(),z=0(1)在t=t6所对应的点M的切向量 为T=((t),v(to),O(t0) 讨论: 1.若曲线的方程为y=0x),z=V(x),则切向量T? 2.若曲线的方程为F(x,y,2z)=0,G(x,y,z)=0,则切向量T? 提示 1.曲线的参数方程可视为:x=x,y=0(x),z=(x) 切向量为T=(1,q(x),v(x) 2.两方程可确定两个隐函数:y=0(x),z=1(x) 切向量为T=(1,q(x),v(x),而y(x),v(x)要通过解方程组得 到.>> 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 讨论: 1 若曲线的方程为y=(x), z=(x), 则切向量T=? 提示: 1 曲线的参数方程可视为: x=x, y=(x), z=(x), 切向量为T =(1, (x), (x)) 下页 曲线x=(t), y=(t), z=(t)在t=t 0所对应的点M0的切向量 为T=((t 0 ), (t 0 ), (t 0 )) 2 若曲线的方程为F(x, y, z)=0, G(x, y, z)=0, 则切向量T=? 2 两方程可确定两个隐函数: y=(x), z=(x) 切向量为T =(1, (x), (x)), 而(x), (x)要通过解方程组得 到 >>>