Chap6多元函数微积分 §61多元函数 』86,2偏导数与全微分 186.3多元复合函数的求导法则 蜜§6.4多元函数的极值 86.6二重积分 §6.2偏导数与全微分 偏导数 目z=f(x,y)对的偏导数,记作: f(x, y) a 日z=f(x,y)对的偏导数,记作: ∫(x,y)
1 Chap6 多元函数微积分 多元函数微积分 §6.1 多元函数 §6.2 偏导数与全微分 §6.3 多元复合函数的求导法则 §6.4 多元函数的极值 §6.6 二重积分 §6.2 偏导数与全微分 一、偏导数 z x ∂ ∂ x (,) z ′ x f xy ′ z y ∂ ∂ y (,) z ′ y f xy ′ z f xy = (,) : 对 的偏 数 x 导 ，记作 z f xy = (,)对 的偏导数 y ，记作：
由偏导数的定义可知,偏导数本质上是一元函数的 微分法问题。 求时,只要把x之外的其他自变量暂时看成 a 常量,对x求导数即可。 求时,只要把y之外的其他自变量暂时看成 常量,对y求导数即可。 其它情况类似 例求z=x2+3x+y2在点(1,2)处的偏导数 az 解=2x+3 把y看成常量 az 3x+2 ay 把x看成常量 az a/k1=2×1+3×2=8 az x=1=3×1+2×2=7 dy
2 由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的 微分法问题。 z x ∂ ∂ 求 时，只要把 x 之外的其他自变量暂时看成 常量，对 x 求导数即可。 z y ∂ ∂ 求 时，只要把 y 之外的其他自变量暂时看成 常量，对 y 求导数即可。 其它情况类似。 解 z x ∂ ∂ = 2x + 3 y z y ∂ ∂ = 3x + 2 y 1 2 x y z x = = ∂ ∂ = 2×1 + 3× 2 = 8 1 2 x y z y = = ∂ ∂ = 3×1 + 2× 2 = 7 把 y 看成常量 把 x 看成常量 2 2 例 求 在点 处的偏导数 3 (1,2) z x xy y =+ +
例1求z=x2sin2y的偏导数 az 解=2xsin2 把y看成常量 az 2x cos 2y 把x看成常量 例2求z=x的偏导数 az 解 arr - 把y看成常量 az r Inx 把x看成常量 二、高阶偏导数 函数z=f(x,y)的二阶偏导数为 0(ax)02z fr(,v)= a/ az a 时a=()= a( az az ay( ax) away ∫x(x,y) 二阶 a aza 混合偏导数 f(x, y)=z ax ay) ayax
3 z x ∂ ∂ = y−1 yx z y ∂ ∂ = x x y ln 解 z x ∂ ∂ = 2x sin 2 y z y ∂ ∂ = 2x cos 2 y 2 把 y 看成常量 把 x 看成常量 2 例 求 的偏导数 1 sin2 zx y = 解 2 y 例 求 的偏导数 z x = 把 y 看成常量 把 x 看成常量 2 2 xx xx z f (x, y) z x z x x ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ∂ ′′ ′ = ⎠ = = ′ ∂ 2 2 (,) yy yy z f xy z y z y y ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ∂ ′′ ′ = ⎠ = = ′ ∂ 2 (,) xy xy z f xy z x z y x y ∂ == = ′′ ′′ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠ 2 (,) yx yx z f xy z y z x y x ∂ == = ′′ ′′ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠ 二阶 混合偏导数 二、高阶偏导数 函数 的 z f xy = (,) 二阶偏导数为
出例1设z=x2y2-3xy3-x+1,求一阶偏导数 解 (x3y2-3xy3-xy+1)x=3 3y3 az ay 3xy'-xy+1)y=2x'y-9xy 02z 3y3-y)y=6 02z axa (3x2y2-3y3-y)y=6x2y-9 a'z (2x3y-9 9y2-1 aya 0 z (2xy-9xy'-x)=2x'-18xy 例2设u=e" cos by,求二阶偏导数 解 a cos by) =ae cos by au (e cos by)=-be sin by a u t÷=(ae" cos by)y=a2e“cosb 02u (be sin by) =-b'e cos by ay (ae“ cos by b aya (be sin by) =-abe sin
4 解 = x y − y − y 2 2 3 3 3 = x y − xy − x 3 2 2 9 2 2 z x ∂ = ∂ 2 = 6xy 2 z x y ∂ = ∂ ∂ 6 9 1 2 2 = x y − y − 2 2 z y ∂ = ∂ 2x 18xy 3 = − 2 z y x ∂ = ∂ ∂ 6 9 1 2 2 = x y − y − 例1 设z = x3 y 2 − 3xy 3 − xy + 1，求二阶偏导数 x x y xy xy x z ( 3 1) 3 2 3 = − − + ′ ∂ ∂ y x y xy xy y z ( 3 1) 3 2 3 = − − + ′ ∂ ∂ x (3x y 3 y y) 2 2 3 − − ′ xy x x (2x y 9 ) 3 2 − − ′ y (3x y 3 y y) 2 2 3 − − ′ xy x y (2x y 9 ) 3 2 − − ′ 解 be by ax = − sin 2 2 u x ∂ = ∂ 2 2 u y ∂ = ∂ 2 u x y ∂ = ∂ ∂ 2 u y x ∂ = ∂ ∂ ae by ax = cos a e by ax cos 2 = b e by ax cos 2 = − abe by ax = − sin abe by ax = − sin 例2 设u = e ax cosby，求二阶偏导数 x ax e by x u = ( cos )′ ∂ ∂ y ax e by y u = ( cos )′ ∂ ∂ y ax (−be sinby)′ x ax (ae cosby)′ x ax (−be sinby)′ y ax (ae cosby)′
三、全微分 函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分 az az dz dx dy 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 dx+dy+ 例1求函数z=e在点(2,1)处的全微分 解 aaa =(e )=ye =(e)y=xe 因此,t=+=ye"dx+reh O (2,1)处的全微分=et+2e2y
5 三、全微分 z z dz dx dy x y ∂ ∂ = + ∂ ∂ 函数 在点 的全微分 z f xy xy = (,) (,) 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 uuu du dx dy dz xyz ∂∂∂ =++ ∂∂∂ 解 xy = xe z d z dz x x y y d ∂ ∂ = + ∂ ∂ 因此， xy xy = + ye xe dx dy dz e dx e dy 2 2 (2, 1) 处的全微分 = + 2 xy = ye 1 (2 1) xy 例 求函数 在点 ，处的全微分 z e = ( ) xy x e z x ∂ = ′ ∂ ( ) xy y e z y ∂ = ′ ∂