L1()=∑(x)()余项R()=/man1() k=0 (n+1) 其中l(x)=II E∈[a,b]m1(x)=(x-x) 0≤j≤n*k i=0 j≠k 而f(x)L(x)+Rx) 因此对于定积分1()=/(x) 有()=/(xx=L(x)+R(x)
= = n k n k k L x f x l x 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) 1 ( 1) x n f R x n n + + + = [a,b] = + = − n i n i x x x 0 1 其中 ( ) ( ) − − = j k j n k j j k x x x x l x 0 ( ) 而 f (x) L (x) R(x) = n + 因此对于定积分 = b a I( f ) f (x)dx = + b a 有 [Ln (x) R(x)]dx = b a I( f ) f (x)dx 余项
I()=f()dx=2f(x)(x)dx+R(x)dx ∑4/(x)+R(x)d 其中4=4(x)d= 0≤/5nxk=x 10)=>4/(x) nBrNewton-Cotes求积公式 R(n)=R(x)x| Newton-Cotes公式的余项(误差) 即有/()=ln()+R(n) (f)≈ln()
= = b a n k f xk l k x dx 0 ( ) ( ) + b a R(x)dx = = n k k k A f x 0 ( ) + b a R(x)dx 令 = = n k n k k I f A f x 0 ( ) ( ) = b a R(In ) R(x)dx = b a I( f ) f (x)dx ( ) ( ) ( ) n n 即有 I f = I f + R I = b a 其中 Ak l k (x)dx dx x x b x x a j k j n k j j − − = 0 n阶Newton-Cotes求积公式 Newton-Cotes公式的余项(误差) I( f ) I ( f ) n
4的计算:4=4(x)=Ⅱ_d 0≤j≤nk j≠k (5.9) 注意是等距节点 假设x=a+th由x∈[a,b]可知t∈[0,n] X-x 4=∏ 0 0≤j≤nMk y(k .h dt 0≤j (k-)h k h n-k kl (n-k) ∏(-/)ht 0≤j≤n ≠k
= b a Ak l k (x)dx dx x x b x x a j k j n k j j − − = 0 的计算: Ak 注意是等距节点 假设x = a + th 由x[a,b] 可知t [0,n] Ak dx x x b x x a j k j n k j j − − = 0 h dt k j h n t j h j k j n − − = 0 0 ( ) ( ) t j dt k n k h n j k j n n k − − − − = 0 0 ( ) !( )! ( 1) ……(5.9)
k ≠k (b k C(称为 Cotes系数 所以 Newton- Cotes公式化为 = k=0 n(八)=∑Af(xk)=(b-a)∑Cof(x) k=0 k=0 (5.10)
t j dt n k n k b a n j k j n n k − − − − = − 0 0 ( ) !( )! ( 1) ( ) ( ) ˆ ( ) n Ak b a Ck = − = = n k n k k I f A f x 0 ( ) ( ) = = − n k k n k b a C f x 0 ( ) ( ) ( ) 所以Newton-Cotes公式 化为 Ck (n) 称为Cotes系数 ……(5.10) ( ) 0 1 n n k k C =
几个低阶的牛顿科特斯求积公式 当n=1,2,4时的公式是最常用的低阶公式 (1)梯形公式 取n=1,则x0=a,x1=b,h=b-a Cotes系数为 求积公式为 2
当n=1,2,4时的公式是最常用的低阶公式. 取n = 1,则x0 = a , x1 = b ,h = b − a t dt = − − 1 0 ( 1) (1) C0 Cotes系数为 2 1 = tdt = 1 0 (1) C1 2 1 = 求积公式为 (1)梯形公式 几个低阶的牛顿-科特斯求积公式