b Lf(x)=L, (x) dx=2f(k)4(x)dx 记4=Jm(x)1(x)x(k=0…,n) (5.5 I(刀)=f(x)k≈∑4f(x)=n()…(5.4) k=0 这就是插值型数值求积公式 注:求积系数A这仅与节点x就的选取有关, 不依赖被积函数
b a f (x)dx b a Ln (x)dx = = b a n k f xk l k x dx 0 ( ) ( ) 这就是插值型数值求积公式. = b a I( f ) f (x)dx = n k k k A f x 0 ( ) I ( f ) = n 记 = b a Ak (x)l k (x)dx (k = 0,1,..., n) ……(5.5) ……(5.4) 注:求积系数Ak这仅与节点xk就的选取有关, 不依赖被积函数
数值积分公式的余项刚门=x)k-∑4(x) k=0 定理5.1设∫(x)∈C"[anb],则插值型求积公式(54)的,余项为 风/门=f(x)bx-L2(x)dx ft(so,(xdx (56) (n+1) 其中On1(x)=(x-x,),5∈(ab) 0≤i<n
数值积分公式的余项 R[ f ] = 0 ( ) ( ) n b k k a k f x dx A f x = − 定理 5.1 设 ( ) [ , ] 1 f x C a b n+ ,则插值型求积公式（5.4）的，余项为 = − b a n b a R[ f ] f (x)dx L (x)dx + + + = b a n n f x dx n ( ) ( ) ( 1)! 1 1 ( 1) （5.6） 其中 + = − i n n i x x x 0 1 ( ) ( )， (a,b)
定理52具有n+1个求积节点的求积公式(53) 至少有n次代数精度的充分必要条件是,它是插值型的 证P103 推论对于插值型求积公式54具有 ∑4=J(x)d=b-若m(x)=1 k=0
定理 5.2 具有 n+1 个求积节点的求积公式(5.3) 至少有n次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的. 证 P.103 推论 对于插值型求积公式(5.4),具有 = n k Ak 0 = ( ) = − , ( ) =1. x dx b a x b a 若
定义5.2对任给E>0,若存在δ>0,只要 (x)-f(x)≤6(=01…,n) 就有式(57)成立,则称求积公式(54)是稳定的 定理5.3若插值型求积公式(54)的所有求积系数 A≥0(k=0,1…,n),则它是数值稳定的; 若A有正有负,则计算可能不稳定, 证P103
定义 5.2 对任给 0,若存在 0 ,只要 f (xi ) − f (xi ) (i = 0,1, ,n) 就有式（5.7）成立，则称求积公式（5.4）是稳定的. 定理 5.3 若插值型求积公式(5.4)的所有求积系数 Ak 0 (k = 0,1,..., n),则它是数值稳定的； 若 Ak 有正有负，则计算可能不稳定. 证 P.103
52牛顿科特斯求积公式 、牛顿-科特斯公式的导出 积分区间的等分点作为求积节点→牛顿—科特斯公式 即 Newton-Cotes公式是指等距节点下使用 Lagrange插值多 项式建立的数值求积公式 1.求积公式推导 在积分区间{ab]上取n+1个等距节点x=a+kh(k=01…,n), 其中h=b=,作n次拉格朗日插值多项式L(x) Ln(x)=∑f(x)(x) k=0
积分区间的等分点作为求积节点 牛顿—科特斯公式 即 Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值多 项式建立的数值求积公式. 在积分区间[a,b]上取 n+1个等距节点 xk = a + kh (k = 0,1, ,n)， 其中 n b a h − = ，作n次拉格朗日插值多项式 L (x) n . = = n k n k k L x f x l x 0 ( ) ( ) ( ) 1. 求积公式推导 5.2 牛顿-科特斯求积公式 一、牛顿-科特斯公式的导出