《高等数学》课程教学资源（习题选解）第九章 曲线积分与曲面积分

解(3)圆x2+y2=2ar的参数方程为x=a(1+cos),y=asint(0≤t≤2π) "asint(-asin dtsind 2.利用格林公式，计算下列曲线积分： (1)(2x-y+4)dr+(5y+3x-6)dy,其中L为三顶点分别为(0,0(3,0)和(3,2)的三 角形正向边界： 解(1)记L围成的闭区域为D,P=2x-y+4,Q=5y+3x-6, 识=-1,0=3,0-即=4，由格林公式得 f(2x-y+4)dr+(5y+3x-6)dy=4kd=12。 (2)f(x2 ycoSx+-2 ysin x-ye)dr+(x2sinx-2e)y，其中L为正向星形线 +y- (a>0)i 解(2)f(ycosx+-2 sin x-y广e)d+sinx-2e)dy =∬nI【2 xsinx+-cOSx--2e)-(2 xsinx+-COSx-2e*lird=n0ddy=0。 (3)∫(2xy2-ycosx)dr+(-2 ysin x-+3x2y2),其中L为在抛物线2x=πy上由点 0,0)到的一段弧： (3)P=2xy3-y2cosx,O=1-2ysinx+3x2y2, P(cos)ycox(1-2ysinx+-yco dy oy →P- 2，积分与路径无关，令A0,0),B(π/2,0)，C(π/2,1)，则 ∫(2y2-ycosx))dr+I-2 ysin x+-3xyy=∫。+∫c (xcosx)dx+(1-2ysinx+3y)dy=[Od=0 (2x-y'cosx)dx+(1-2ysinx+3x2y)dy -a-2m受+rw-(-

11 解（3）圆 2 2 x y ax   2 的参数方程为 x a t y a t t       (1 cos ), sin (0 2 ) 2 2 2 2 2 0 0 d sin ( sin )d sin d L A y x a t a t t a t t a              。 2．利用格林公式，计算下列曲线积分： （1） (2 4)d (5 3 6)d L x y x y x y       ，其中 L 为三顶点分别为 (0,0) (3,0) 、 和 (3, 2) 的三 角形正向边界； 解（1）记 L 围成的闭区域为 D ， P x y Q y x       2 4 , 5 3 6 ， 1 , 3 P Q y x        ， 4 Q P x y       ，由格林公式得 (2 4)d (5 3 6)d 4 12 L D x y x y x y dxdy          。 （ 2 ） 2 2 2 ( cos 2 sin )d ( sin 2 )d x x L x y x xy x y e x x x ye y      ， 其 中 L 为 正 向 星 形 线 2 2 2 3 3 3 x y a   ( 0); a  解（2） 2 2 2 ( cos 2 sin )d ( sin 2 )d x x L x y x xy x y e x x x ye y      2 2 [(2 sin cos 2 ) (2 sin cos 2 )]d d 0d d 0 x x D D         x x x x ye x x x x ye x y x y   。 （3） 3 2 2 2 (2 cos )d (1 2 sin 3 )d L xy y x x y x x y y      ，其中 L 为在抛物线 2 2x y   上由点 (0,0) 到 ,1 2        的一段弧； 解（3） 3 2 2 2 P xy y x Q y x x y      2 cos , 1 2 sin 3 ， 3 2 2 (2 cos ) 6 2 cos , P xy y x xy y x y y         2 2 2 (1 2 sin 3 ) 6 2 cos , Q y x x y xy y x x x          P Q y x       ， 积 分 与 路 径 无 关 ， 令 A B C (0,0), ( / 2,0), ( / 2,1)   ， 则 3 2 2 2 (2 cos )d (1 2 sin 3 )d L AB BC xy y x x y x x y y          / 2 3 2 2 2 0 (2 cos )d (1 2 sin 3 )d 0d 0 AB xy y x x y x x y y x          3 2 2 2 (2 cos )d (1 2 sin 3 )d BC xy y x x y x x y y      2 2 1 2 2 0 1 (1 2 sin 3 )d 2 2 2 4 y y y                      

所队-。+=0+好女- (4)∫[cos(x+y2)+2y2]dr+2ycos(x+y),，其中L是从O(0,0)沿y=sinx到点 A(π，0)的一段弧， 解(4)原式=∫cos(x+ydr+2ycos(x+ydy+∫2ydk 取P=c0sx+r),Q=2y0osx+y),因为P=-2yc0sx+r=0 ,所以上述第 一个积分与路径无关，取点O(0,0)到点A(π，0)的直线积分得 fcos(x+dx+2ycos(x+dy=[cosxdx=sinx=0, 又L的参数方程为y=sinx,x=xx从O变到π，所以 j2y=2sm=0-os2=g-2= 于是，原式=∫cos(x+y)dr+2ycos(x+y)dy+∫2ydk=π。 3计第自线积分12德湾共市L为烟网K-护+广=23.L角方的为道时方 解取P y -x dex2-y2 Op 20+y7,0=2r+yy'x=2+y7-0 ,x2+y2≠0，由于 P巴在L围成的区域D内除原点O0,O)连续 P.C.a 且巴=P,为了使用格林公式，不妨取圆周L,: Ox dy x2+y2=ε2(8>0)，使得L包含在L内，且L取顺时 针方向（图9-2），在以L和L为边界的区域D上应用格 林公式，有 图9-2 兽-器咖+安地- 12

12 所以 1 1 2 2 0 L AB BC 4 4           。 （4） 2 2 2 [cos( )+2 ]d 2 cos( )d L x y y x y x y y     ，其中 L 是从 O(0,0) 沿 y x  sin 到点 A( ,0).  的一段弧． 解（4）原式 2 2 2 cos( )d 2 cos( )d 2 L L      x y x y x y y y dx   取 2 2 P x y y x y    cos( ) , Q=2 cos( ) ，因为 2 Q 2 cos( = P y x y y x        ，所以上述第 一个积分与路径无关，取点 O(0,0) 到点 A( ,0)  的直线积分得 2 2 0 0 cos( )d 2 cos( )d cos d sin 0 L x y x y x y y x x x           ， 又 L 的参数方程为 y x x x   sin , x 从 0 变到  ，所以   2 2 0 0 0 sin 2 2 2sin 1 cos 2 L 2 x y dx xdx x dx               ， 于是 ， 原式 2 2 2 cos( )d 2 cos( )d 2 L L      x y x y x y y y dx   = 。 3．计算曲线积分 2 2 2 d d 2( ) L y x x y x y    。其中 L 为圆周 2 2 ( 1) 2 x y  ，L 的方向为逆时针方向． 解 取 2 2 2 2 2 2 , 2( ) 2( ) y x P Q x y x y      ， 2 2 2 2 2 2( ) Q x y P x x y y         ， 2 2 x y   0 ，由于 , , , P Q P Q y x     在 L 围成的区域 D 内除原点 O(0,0) 连续 且 Q P x y      ，为了使用格林公式， 不妨取圆周 L1 ： 2 2 2 x y      ( 0) ，使得 L1 包含在 L 内，且 L1 取顺时 针方向（图 9-2），在以 L 和 L1 为边界的区域 D 上应用格 林公式，有 2 2 2 d d 2( ) L y x x y x y    1 1 2 2 2 2 2 2 d d d d 2( ) 2( ) L L L y x x y y x x y x y x y          1 2 1 d d 2 D L Q P dxdy y x x y x y                   D O L L1 图 9-2