《高等数学》课程教学资源（习题选解）第九章 曲线积分与曲面积分

(④)重，任+-任-沙，其中L为圆周+少=心（按逆时针方向绕行》 x2+y2 x=acose 解(4)L的参数方程为 0从0变到2π，则 y=asine 重红+体-x- x2+y2 (aco+asi0)-(-asin)-(aco0-i)(acodo =0(-1）d0=-2π。 2.计算下列对坐标的曲线积分： (1)∫xdr+dy-止，其中T为曲线x=k0,y=acos0,2=asin0上对应0从0 到π的一段弧： 解(1)∫rdr+zdy-d=∫[(kθ)'(k)'+asin(acos0)'-acosθasinθ)]d8 =kg-a210=5k-a。 (2)∫xdr+dy+(x+y-1)d,其中T是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线： x=1+t 解(2)T的参数方程为{y=1+21(0≤1≤1) z=1+31 pxdr++(x+y-l)d=[+01+y+(1+21)1+20'+(1+301+3)门d =06+141d=13。 (3)重d-dy+d止，其中T为有向闭折线ABCA,这里的A、B、C依次为点(1,0， 0),(0,1,0),(0,0,1): 解(3)已知「=AB+BC+CD,注意到 AB:x+y=1,2=0,=-d,x从1变到0， BC:x=0,y+z=1,d=-y,y从1变到0， CA:x+z=1,y=0,d=-正，二从1变到0 6

6 （4） 2 2 ( ) ( ) L x y dx x y dy x y      ，其中 L 为圆周 2 2 2 x y a   （按逆时针方向绕行）． 解（4） L 的参数方程为 cos sin x a y a        ， 从 0 变到 2 ，则 2 2 ( ) ( ) L x y dx x y dy x y              2 2 0 1 a a a a a a d cos sin sin cos sin cos a                       2 0 1 2 d         。 2．计算下列对坐标的曲线积分： （1） 2 x x z y y z d d d    ，其中  为曲线 x k   ， y a  cos ， z a  sin 上对应  从 0 到  的一段弧； 解（1） 2 2 0 x x z y y z k k a a a a d d d [( ) ( ) sin ( cos ) cos ( sin ) ]d                    3 2 2 3 3 2 0 1 [ ]d 3 k a k a           。 （2） x x y y x y z d d ( 1)d      ，其中  是从点(1，1，1)到点(2，3，4)的一段直线； 解（2）  的参数方程为 1 1 2 (0 1) 1 3 x t y t t z t              x x y y x y z d d ( 1)d      1 0          [(1 )(1 ) (1 2 )(1 2 ) (1 3 )(1 3 ) ]d t t t t t t t     1 0    [6 14 ]d 13 t t  。 （3） dx dy ydz    ，其中  为有向闭折线 ABCA ，这里的 A 、 B 、C 依次为点(1，0， 0)，(0，1，0)，(0，0，1)； 解（3）已知     AB BC CD ,注意到 AB ： x y z dy dx      1 , 0 , ， x 从 1 变到 0， BC ： x y z dz dy      0 , 1 , ， y 从 1 变到 0， CA ： x z y dx dz      1 , 0 , ， z 从 1 变到 0

则c-dy+dt=∫dk-d+t+∫cdk-dy+ydt+ad-dy+yd证 =∫[k-(-)d]+f[-y-y(-1)dy]+(-1)d正 =2-0+-在=-2+1 (4)∫(x2-2xy)d+y2-2xy)y,其中L是抛物线y=x2上从点(-1,1)到点 (1,1)的一段弧 解：(4)化为对x的定积分.L:y=x2,x=x,x从-1变到1.所以 ∫(x2-2xy)k+y2-2y)=∫[(x2-2xx2)+(x-2xx2）2x4 =-2r-r+2x=2c-4s-后普 3.计算∫(x+y)dr+0y-x)y,其中L是： (1)抛物线y2=x上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧： 解(1)∫(x+y)dr+0y-x)y=∫2[0y2+yy2y+(1-y2y)门dy -2++州-兰 (2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段： 解(2)J(x+y)r+(y-x)dy=[(3y-2+y3y-2y'+(y-3y+2d =∫[10y-4]y=11。 (3)先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线： 解(3)令A1,1),B(1,2),C(4,2),则L=AB+BC jx++0-=j广0-号 ke+t+0-=x+2w=9 所以，e+t+0-=+k++0-博-+ =14。 (4)曲线x=22+1+1,y=2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧. 解(4)∫(x+y)dr+y-x)y=6[(32+1+2(22+1+1y+(-2-)t2+1门d 7

7 则 AB BC CA dx dy ydz dx dy ydz dx dy ydz dx dy ydz                    0 0 0 1 1 1           dx dx dy y dy dz ( 1) ( 1) ( 1)    0 0 0 1 1 1 3 1 2 (1 ) 2 1 2 2          dx y dy dz    。 （4） 2 2 ( 2 ) ( 2 ) L x xy dx y xy dy    ，其中 L 是抛物线 2 y x  上从点(－1，1)到点 (1，1)的一段弧． 解：（4）化为对 x 的定积分． L ： 2 y x  ， x x  ， x 从 1 变到 1．所以     1 2 2 2 2 4 2 1 ( 2 ) ( 2 ) 2 2 2 L x xy dx y xy dy x x x x x x x dx                      1 3 5 1 1 2 3 4 5 2 4 1 0 0 4 14 2 4 2 2 4 2 3 5 15 x x x x x x dx x x dx                    。 3．计算 ( )d ( )d L x y x y x y    ，其中 L 是： （1） 抛物线 2 y x  上从点(1，1)到点(4，2)的一段弧； 解（1） 2 2 2 2 1 ( )d ( )d [( )( ) (1 )( ) ]d L x y x y x y y y y y y y            2 3 2 1 34 [2 ]d 3     y y y y  。 （2） 从点(1，1)到点(4，2)的直线段； 解（2） 2 1 ( )d ( )d [(3 2 )(3 2) ( 3 2)]d L x y x y x y y y y y y y              2 1    [10 4]d 11 y y  。 （3） 先沿直线从点(1，1)到点(1，2)，然后再沿直线到点(4，2)的折线； 解（3）令 A B C (1,1), (1, 2), (4, 2) ，则 L AB BC   2 1 1 ( )d ( )d ( 1)d 2 AB   x y x y x y y y       4 1 27 ( )d ( )d ( 2)d 2 BC   x y x y x y x x       所以 ( )d ( )d L x y x y x y    1 27 ( )d ( )d 14 2 2 AB BC         x y x y x y   。 （4） 曲线 2 x t t    2 1， 2 y t  1 上从点(1，1)到点(4，2)的一段弧． 解（4） 1 2 2 2 2 0 ( )d ( )d [(3 2)(2 1) ( )( 1) ]d L x y x y x y t t t t t t t t                

=610r2+5r+91+21H=32 。 4.设力的方向指向坐标原点，大小与质点跟坐标原点的距离成正比，设此质点按逆时针方 向描绘出曲线？+ +存=1(x之0，y≥0，试求力所作的功. 解设质点为M(x,y),则MMiy j,Od=√2+y。由题意知下=-kxi+y), x=acost 其中k>0为比例常数。又积分曲线L的参数方程为 1从0变到区，则力所作 y=bsint 的功为 w=j-ad-d=-kd+=-k[[（(acos）-(←asin)+(bsin）-(bcos)]h 2 5.设：轴与重力的方向一致，求质量为m的质点从位置(x%二)沿直线移到 (x2y2二2)时重力所作的功. 解F={0,0,nmg},W=0dk+0d+mgt=mgd正=mg(a-)。 6.把对坐标的曲线积分，P(x,y)d+Qy,x)y化成对弧长的曲线积分，其中L为： (1)沿抛物线y=x2从点(0,0)到点(1,1)： (2)沿上半圆周x2+y2=2x从点(0,0)到点(1,1). 解(1)因为d6=V)2+(d)'=V1+4xdk, 1 2x L的方向余弦为cosa= ds4x cosB=sina=-cosa= 1+4x2 所以 JP(x.d+(.dy= Px,》+2xx,2dk。 V1+4x2 (2)因为y=V2x-x, 8

8 1 2 2 0 32 [10 5 9 2]d 3      t t t t  。 4．设力的方向指向坐标原点，大小与质点跟坐标原点的距离成正比，设此质点按逆时针方 向描绘出曲线 2 2 2 2 1( 0, 0), x y x y a b     试求力所作的功． 解 设质点为 M x y ( , ) ，则 OM x y  i j ， 2 2 OM x y   。由题意知 F i j    k x y ( ) ， 其中 k  0 为比例常数。又积分曲线 L 的参数方程为 cos sin x a t y b t      ，t 从 0 变到 2  ，则力所作 的功为         2 0 cos sin sin cos L L W kxdx kydy k xdx ydy k a t a t b t b t dt                     2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 sin ( ) ( ) cos sin ( ) 2 2 t k a b k a b t tdt k a b          5．设 z 轴与重力的方向一致，求质量为 m 的质点从位置 1 1 1 ( ) x y z ， ， 沿直线移到 2 2 2 ( ) x y z ， ， 时重力所作的功． 解 F  0,0,mg ， 2 1 2 1 0 0 ( ) z L z W dx dy mgdz mg dz mg z z         。 6．把对坐标的曲线积分 ( , ) ( , ) L P x y dx Q y x dy  化成对弧长的曲线积分，其中 L 为： （1）沿抛物线 2 y x  从点(0，0)到点(1，1)； （2）沿上半圆周 2 2 x y x   2 从点(0，0)到点(1，1)． 解（1）因为     2 2 2 ds dx dy x dx    1 4 ， L 的方向余弦为 2 1 cos 1 4 dx ds x     ， 2 2 2 cos sin 1 cos 1 4 x x         ， 所以 2 ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) 1 4 L L P x y xQ x y P x y dx Q x y dy ds x       。 （2）因为 2 y x x   2 ，     2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 x ds dx dy dx dx x x x x              

L的方向余弦为cosa=4=V2x-X,cosB=sina=V-cos2a=1-x, ds 所以JP(x,y+Ox,y=P(x,yW2x-+O(x,yI-)d 7.设厂为曲线x=ky=户、z=t上相应于1从0变到1的曲线弧.把坐标的曲线积分 ∫Pd+Qd+R正化成对弧长的曲线积分. 解由x=t,y=12,z=t得d=dl,dy=21dl=2xd,d止=31d=3vdh, ds=Vd)2+(d)}2+(d)}2=1+(2x2+(3y2d=V1+4x2+9yd L的方向余弦为c0sa=瓜- dscos 1 2x ds 1+4x+9 cosy=」 3y 二1 ds 1+4xr2+9y2 因此 S Pdx+Ody+Rd== P+2x0+3yR ds。 V1+4x2+9y2 y2.z2 .设质点从原点沿直线运动到椭球面怎+长+三=1上的点M(于，X,行多 (x>0,y>0,3,>0),求在此运动过程中力F=yzi+2y+k所做的功W,并确定M 使W取最大值， 解原点到点M(x,,)的直线方程为：x=x4,y=4,z=t,t从0变到1，力 F=yzi+zy+x)k沿直线T所做的功为 W=f ydx+zxdy+xyd=3xfdi=xy 求最大功的问题实为求w=2在条件+上。 +6+。=1下的极值问题。 作拉格朗日函数F(x,y,,)=灯z+ +小 9

9 L 的方向余弦为 2 cos 2 dx x x ds     ， 2 cos sin 1 cos 1         x ， 所以 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , )(1 ) L L P x y dx Q x y dy P x y x x Q x y x ds            7．设  为曲线 2 3 x t y t z t    、 、 上相应于 t 从 0 变到 1 的曲线弧．把坐标的曲线积分 Pdx Qdy Rdz    化成对弧长的曲线积分． 解 由 2 3 x t y t z t    , , 得 2 dx dt dy tdt xdt dz t dt ydt      , 2 2 3 3 , ，         2 2 2 2 2 2 2 ds dx dy dy x y dt x y dt          1 2 (3 ) 1 4 9 L 的 方 向 余 弦 为 2 2 1 cos 1 4 9 dx ds x y      ， 2 2 2 cos 1 4 9 dy x ds x y      ， 2 2 3 cos 1 4 9 dz y ds x y      ， 因此 2 2 2 3 1 4 9 P xQ yR Pdx Qdy Rdz ds x y            。 8 ． 设 质 点 从 原 点 沿 直 线 运 动 到 椭 球 面 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c    上的点 1 1 1 M x y z ( , , ) 处 1 1 1 ( 0, 0, 0), x y z    求在此运动过程中力 F i j k    yz zx xy 所做的功 W, 并确定 M 使 W 取最大值. 解 原点到点 1 1 1 M x y z ( , , ) 的直线方程为： 1 1 1 x x t y y t z z t    , , ， t 从 0 变到 1，力 F i j k    yz zx xy 沿直线  所做的功为 1 2 1 1 1 1 1 1 0 W yzdx zxdy xydz x y z t dt x y z 3         ， 求最大功的问题实为求 w xyz  在条件 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c    下的极值问题。 作拉格朗日函数 F x y z xyz ( , , , )    2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c          

F=2+ 2x1=0 F=x+2 60 由方程组 y2 z元 a?s C2 F=x+ F= 2,y2,22 ++1=0 将= 代入+ 2 2++之1=0中即得x=, b a b 由问题的实际意义知点( C 5'5' )即为所求最值点，且Wx= -abc。 9 9.试证曲线积分的估值公式：儿Pd+Qd≤M.其中1是光滑曲线L的长度， M=max√p2+Q,P与Q在L上任意点处连续。 证令F={P,Q},则有 JPt+Ot=JF·ds≤flF1ds=jVp2+g.dssMI ds=M 习题9一3 1.利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： (1)星形线x=acos3t,y=asin3t 解（①）A=-h =2心[acos'1-3asim21cos-(asin-3acos4(←sin）jh -号广eos1sh-sm2-c0-esh-a. (2)椭圆9x2+16y2=144; 解(2)椭圆的参数方程为x=4cost,y=3sint, A=[- =2[4cos1-3cos）-(6sin1-(←4sinh=6d=12x (3)圆x2+y2=2am ⊙

10 由方程组 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 2 0 1 0 x y x x F yz a y F xz b x y z z a b c F xy c x y z F a b c                                 将 2 2 2 2 2 2 x y z a b c   代入 2 2 2 2 2 2 1 0 x y z a b c     中即得 3 a x  ， 3 b y  ， 3 c z  。 由问题的实际意义知点（ 3 a ， 3 b ， 3 c ）即为所求最值点，且 max 3 9 W abc  。 9．试证曲线积分的估值公式： . L Pdx Qdy Ml    其中 l 是光滑曲线 L 的长度， 2 2 ( , ) max , x y L M P Q    P 与 Q 在 L 上任意点处连续． 证 令 F = { , } P Q ，则有 2 2 ds | | d d d . L L L L L Pdx Qdy s P Q s M s Ml                F F 习题 9－3 1．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： （1）星形线 3 3 x a t y a t   cos , sin ; 解（1） 1 2 L A xdy ydx         2 3 2 3 2 0 1 cos 3 sin cos sin 3 cos sin 2 a t a t t a t a t t dt            2 2 2 2 2 2 2 0 0 3 3 cos sin sin 2 2 8 a t tdt a tdt         2 2 2 0 3 3 1 cos 4 16 8 a t dt a       。 （2）椭圆 2 2 9 16 144; x y   解（2）椭圆的参数方程为 x t y t   4cos , 3sin ， 1 2 L A xdy ydx         2 2 0 0 1 4cos 3cos 3sin 4sin 6 12 2 t t t t dt dt                 （3）圆 2 2 x y ax   2