解 0 0 0 0 00 00 0 1 00 9.求下列等式中的矩阵X (1) X= 3-514-6 解:X= (2)x210= 32 1-1 解: 吉0 (3 3 解:X 24
3-3 (4)AX=A-1+2X,其中A=-111 解:由AX=A1+2X得 AA X=E+2AX IAIX-2AX=E (IAIE-2A)X= E 2-22 A=4,|A|E-2A=22-2可逆 222 40 x=(A|E-2A)-01 10.设A=120满足AB=A+B,求B。 112 解:由AB=A+B,得(A-E)B=A 「100 A-E=110 (A-E) 110 B=(A-E)A=-110120 1.已知:AP=PB,B=000,P-2-10求A及A°
解由AP=PB及|P=2-10=-1≠0得A=P'。 A=2-100002-10|=200 依题设酽=B,A=(P+)y=PFP1=PBP1=A=200 12.求下列矩阵的秩: 12-10 A=1111;B=1211;c 46;D 解:由A 0-121得R(A)=3 1212. 「13211「1321「13211 由B=1211 0-1-10 0-1-10 532 得R(B)=2。 123 由C 9 2且y=6时 得R(C) 2x≠2且y=6时 2x=2且y≠6时 3x≠2且y≠6时 由D=01-1b 01-1 000a+b
2当a+b+c=0时 得R(D)= 3当a+b+c≠0时 3.设A(E-CB)"C′=E。其中 0213 B C 求A 001-10021 0001 0002 解:由A(E-C1B)C=E得A=(C-B) 1000 1000 1-210 10 A=(C-B)=/-2100 01-21 14.试证:若对某正整数k方阵A=0则 E+A 证:(E-A)(E+A+…+A1)=E+A+A2+…+A1-A-…-A1-A=E,同理 (E+A+…+A-1)(E-A)=E,所以 (E-A)-1=E+A 100 15.设A=020,C=020,B为3阶可逆阵, 001 100 求:(1)(A+3E)(A2-9E); (2)(BC-E)(AB1)+[(BA)]。 解:(1)(A+3E)(A2-9E)=(A+3E)(A+3E)(A-3E)=A-3E 020 0-3010 1」Loo1 (2)(BC-E)(AB-)+[(BA)]=(CB'-E)(B')A+(B)A 27
=CB'(B')A’-(B)A+(B")A'=CA 100「100 0201020=040 16.设A为n阶方阵,八(x)=x"+an-1x1+…+a1x+a,0≠0且∫(A)=0试证 A可逆,并求出A1的表达式。 证:由f(A)=0,得 E=0,A"+anA"1+…+a1A aE。又a0≠0,所以 2(A“+a;A2+…+a1BA=A|-4(A+an,A2+…+aE)]=E 由定义可知A可逆,且 A-=(A+am-1A-2+"+aE)A=E 17.设A是mxn矩阵,若对任意nx1矩阵X都有AK=0x1试证A=0 证:反证若A=(a)70设a,≠0取x=(Q0-0,0·0),则Ax。 0 j-1个 与题设矛盾,故A=0。 18.设A是n阶实对称阵,且A2=0证明A=0 证明:由A=A知A'=(∑a4q)=0。考查AA的第i行第i列处的元素得: ∑a=0,;=1,2, 由a为实数知a4=0,k,=1,2,…,n,故A=0 19.设A2=E,证明R(A+E)+R(A-En)=n 方法 证:由A2=En知A可逆,所以R(A)=n,由(A+E)+(A-E)=2A知,R(A+E)+ R(A-E)≥R(2A)=R(A)=n由(A+E)(A-E)=A2-E=0,知R(A+E)+R(A-E)≤n 从而R(A+E)+R(A-E)