证:(用加边法) 01 等式左端=011+a21…1 111 (-1) -1………… =(1+1+1+…+1)a1a2…a-童a(1+∑)=等式右端。 x+y xy 0 000 0 0 (4)Dn= 其中 0 0 0 证:当n=1时,D1=x+y=(x2-y2)/x-y,等式成立。 假设对于阶数小于n的行列式都成立,将D按一列展开,得
x+y x +y1(a-1)阶 y 1·(-1)2+101 000…1x+y(1 =(x+y)D-xyD*(x+y=-r-xyr-r=r-r 由归纳法原理等式对一切n阶行列式都成立。 14.设f(x)是一个次数不大于n-1的一元多项式如果存在n个互不相同的数a1, 使∫(a1)=0,讠=1,2 试证:f(x)=0 证:八(x)=a(x-a1)(x-a2)…(x-an)=a(x-a1),a是实数 若a≠0,则f(x)=ax+…是n阶多项式不合题意,所以a=0得证f(x)=0 设f八(x)=kn1x21+kn2x-2+…+k1x+ko,依题意有 1-2l k, a,+ko=0 ,,,,,,,来,,,, (1) k, a, +ko=0 因a1,a2,…,an互不相同,故(1)的系数行列式不为0,关于k,k1,…,k,的线性方 程组(1)只有零解所以k=k1=…=k1=0,f(x)=0
习题二 1.设A B 13-1 计算:(1)A+B;(2)A-B;(3)2A+3C+B 解:(1)A+B= 30 (2)A-B= 72 12/1818 (3)2A+3C+B= 13 43/3710 2设A1=2,A2-0,A=1,求A+A2+A3, 计算 (1)1-2321=6 570八1)(49 1321 1284 (2)(1321)= (3)(1321),=(16
(4)01-1‖123 120八31 k k k1 (5) a2 az= k2a2k2a2 k3 k k k k3 k2 a2.a2 k, a2 kan k3 au+ an x2+ anx (7) a2 an a‖x a2 #1 t an x2 t az x3 aa八x a3 x1 t an x2 t a3 3 (8)(*1*2x,)a2 an a3* a·aaa3八x an #i t an x2 a1 xy (x1 x2 x,) a2*,+a2<2+a2*, a31 x1+ an 2 t an x3 〓x1(a1x1+anx2+aBx3)十x2(ax1+anx2+a2x)+x(ax1+ax1+a3x) 〓a1x+anx2+anx+(an+a2)x1x+(aB+a3)x1x+(a2+an)x2x 4.设A,B都是n阶方阵,证明: (1)当且仅当AB=BA时,(A±B)2=A2±2AB+B2 证:(A±B)2=(A±B)(A±B)=A2±AB±BA+B2 当且仅当AB=BA时,(A±B)2=A2±2AB+B成立 2)当且仅当AB=BA时,A2-B2=(A+B)(A-B iE: (A+B)(A-B)=A-AB+BA-B2 当且仅当(A+B)(A-B)=A2-B成立。 (3)如果AB=BA,则(A+B)”=∑CAB4(m≥1),其中c表示从m个不同的 元素中,取出k个不同元素的组合数。 1°m=1时∑CA·B=CA°B+CA'BP=A+B结论成立。 2假设当m=n时,结论(A+B)”=∑cAB(n>1)成立,则当m=n+1时有:
(A+B)“1=(A+B)(A+B)=(∑cA'B4)(A+B) =(cB”+CAB"1+CA2B"2+…+C1A“B+CA")·(A+B) =CBA+CAB"1A+CA2B2A+…+C-ABA+CA“+CB +C AB+CAB++C8-A-B+CAB (由AB=BA)=CBA+CA2B1+CAB2+…+C-A"B+CA+cB+CAB CAB C-1A…1B2A+CAB =c,B→+(C+C)AB”+(C+C)A2B"1+…+(C+C)A"B +C+A…(由C,1=C+C:) CA AB+C.. C. A"B+Ca+ A 2c. a 由数学归纳法,对一切自然数m,结论都成立。 5.计算(n为自然数): k (1)k2 k k1 解用数学归纳法证明k2 k2 k3 n=1时,显然归纳假设n=m时,命题成立, 1时,k2 k 0 解:用数学归纳法证明 n=1时,显然归纳假设n=k时成立,n=k+1时