信号分解为正交函数 与矢量的m维空间分解类似,给定一个m个函数{f1(t),f2(t),…fn(t) 构在(t1,1)上一个完备正交函数集,则在由这个函数集构成的空间 内的任一个函数f()可以用这n个正交函数的线性组合来近似。 f(t)C1f1(t)+C2f2(t)+……+Cnfn(t) 问题:如何选择系数C才能得到最佳近似。 在均方误差准则下: /()-∑c/(O) 有 f(t)f (t)dt 「.2|()dt
三、信号分解为正交函数 与矢量的n维空间分解类似，给定一个n个函数{f1 (t)，f2 (t)，…fn (t) 构在(t1 ,t2 )上一个完备正交函数集，则在由这个函数集构成的空间 内的任一个函数f(t)可以用这n个正交函数的线性组合来近似。 f(t)≈C1 f1 (t)+C2 f2 (t)+….+Cn fn (t) 问题：如何选择系数Ci才能得到最佳近似。 在均方误差准则下： 2 2 1 1 2 [ ( ) ( )] 1 2 1 = − − = n i i i t t f t c f t t t 有： f t dt f t f t dt c t t i t t i i 2 2 1 2 1 | ( ) | ( ) ( ) =
§3.2周期信号的傅立叶级数分析 必须指出,并非任意周期信号都能进行 傅立叶级数展开,被展开的周期函数 f(t)=f(t+n7)n=0,+1,+2 应满足如下的充分条件狄义赫利条件: 1.在一周期内,如果有间断点存在,则间断点的数 目应是有限个 在一周期内,极大值和极小值的数目应是有限个 3.在一周期内,信号是绝对可积的,即 f(t)|dt等于有限值
§3.2 周期信号的傅立叶级数分析 必须指出，并非任意周期信号都能进行 傅立叶级数展开，被展开的周期函数 f (t) = f (t + nT) n = 0,1,2 应满足如下的充分条件——狄义赫利条件： | ( )| 等于有限值 0 0 t +T t f t dt 1.在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数 目应是有限个 2.在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个 3.在一周期内，信号是绝对可积的，即
角形式的傅立叶级数 f(=ao+2(a, cos noot+b, sin not 其中,Oo=-(基频)n=123 注意到三角函数的正交性: cosmo tsin no tdt=:0 cosnont cos mondi ∫r/2 0(m≠n sin no tsin mo:tdt /2(m=n ∫T 0(m≠n)
一、三角形式的傅立叶级数 ① 注意到三角函数的正交性： = = + + 1 0 0 0 ( ) ( cos sin ) n n n f t a a n t b n t ( ) 1,2,3 2 0 = n = T 其中， 基频 cos sin 0 0 0 0 0 = t +T t n t n tdt = = + 0 ( ) / 2 ( ) cos cos 0 0 0 0 m n T m n n t m tdt t T t = = + 0 ( ) / 2 ( ) sin sin 0 0 0 0 m n T m n n t m tdt t T t
容易求得: to+t 0 f(t)dt直流分量 T Jto +T f(t)cos noodt +T b T2—T f(tsin noodt 注意:an=a,是n的偶函数 b=-b是n的奇函数
容易求得： + + + = = = t T t n t T t n t T t f t n dt T b f t n dt T a f t dt T a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( )sin 2 ( ) cos 2 ( ) 1 直流分量② 注意： 是 的奇函数 是 的偶函数 b b n a a n n n n n − − = − =
为了更深刻理解信号正交分解的物理含义: 令 an=A, cos o bb bm=A sin Pn=tg 显然「An=An是m的偶函数 0n=0n是n的奇函数 b 则由①式可得 C f()=4+∑4,cos(not+,)…③
为了更深刻理解信号正交分解的物理含义： 则由 ① 式可得： = = + + 1 0 0 ( ) cos( ) n n n f t A A n t ③ An −bn n a n n n n n n n b A a A sin cos − = = 令 n n n n n n a b tg A a b − = = + −1 2 2 即 = = − − 是 的奇函数 是 的偶函数 显然 n A A n n n n n