《数学物理方法》课程教学资源（PPT课件）第五章 傅立叶变换

傅立叶级数 ■傅立叶展开的意义: 理论意义:把复杂的周期函数用简单的三角级数表示; 应用意义:用三角函数之和近似表示复杂的周期函数 例如:对称方波的傅立叶展开 f(x) =+x/4,0<X+z -丌/4.-丌<x<0 ∑ sin(2n-1)x 2n-1 lim Sm(x)=f(x) n→)0

傅立叶级数 ◼ 傅立叶展开的意义： • 理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示； • 应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。 • 例如：对称方波的傅立叶展开    − −   +   + = / 4, 0 / 4, 0 ( ) x x f x     = − − = m n m n n x S x 1 2 1 sin(2 1) ( ) lim S m (x) f (x) m = →

0.75 0.5 -0.25 0.25 S3 0.5 0.25 -0.25

-3 -2 -1 1 2 3 -1 -0.5 0.5 1 S1 -3 -2 -1 1 2 3 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 S2 -3 -2 -1 1 2 3 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 S3 -3 -2 -1 1 2 3 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 f

0.25 0.25 0.25 -0.5 0.75 0.5 0.25 0.25 -0.5 -0.5 OAA

-3 -2 -1 1 2 3 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 S6 -3 -2 -1 1 2 3 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 S12 -3 -2 -1 1 2 3 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 S24 -3 -2 -1 1 2 3 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 f

傅立叶级数 ■重要推广 推广1 问题:把周期为T=2L的函数f(t)的展开: 方法:对基本公式作变换x→nt/L, f(t=3ao+>(an cos" +bnsin n丌t f(t)cost L」L n丌t n f(tsin L

傅立叶级数 ◼ 重要推广 • 推广1： • 问题：把周期为T=2L的函数f(t)的展开： • 方法：对基本公式作变换x→πt/L，   = = + + 1 2 0 1 ( ) ( cos sin ) n L n t L n n t f t a an b   ( )cos , 1 − = L L L n t n f t dt L a  − = L L L n t n f t dt L b  ( )sin 1

傅立叶级数 ●推广2 °问题:把定义在[L,L]上的函数f(t)展开 方法:先把它延拓为周期函数(即把它当成是一个周期 为2L的函数的一部分), 再按推广1展开; 注意:所得到的级数仅在原定义范围中与f(t)一致。 延拓前 延拓后 人心八

傅立叶级数 • 推广2 • 问题：把定义在 [-L, L] 上的函数 f(t)展开； • 方法：先把它延拓为周期函数(即把它当成是一个周期 为2L的函数的一部分)， 再按推广1展开； • 注意：所得到的级数仅在原定义范围中与f(t)一致。 • 延拓前 • • 延拓后