第二十八讲 Green函数(一) §28.1点源的数学表示函数 ★介绍一种新的“函数”,函数 ★函数是由物理学家P.A.. Dirac首先引进的,在近代物理学中有着广泛的应用.它可以 用于描写物理学中的一切点量,例如点质量点电荷、瞬时源等,物理图象清晰 ★在数学上,函数可以当作普通函数一样进行运算,如进行微分和积分变换,甚至应用于 求解微分方程,而且得到的结果和物理结论是一致的 ★运用函数,可以为我们处理有关的数学物理问题,带来极大的便利 ★函数是一类“奇怪”的函数,按照“古典的数学概念是无法理解的它的严格数学理 论,要涉及泛函分析的知识 ★本节将从物理学的直观出发,引进δ函数的概念,介绍它的最基本的知识及其初步应用 作为函数的物理背景,先讨论点源、例如点电荷的电荷分布密度函数的数学表示.为 简单起见,主要讨论一维情形 如图28.1,设在无穷直线上0<x<1区间内有均匀的电 1() 荷分布,总电量为1个单位,在区间外无电荷,则电荷密度函 1 数为 0,当x< ()=当-<x< 0.当x>2 -202 对于任意一个在-1/2<x<1/2内连续的函数f(x),根据中 图28.1单位点电荷的电荷密度 值定理,有 f()i()dx=f(l),-1/2≤0≤1/2. 实际上,积分限不一定是士∞.只要a<-1/2,b>1/2,就有 f()()dx=f(),-1/2≤0≤1/2
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ Green ✆✝ (✞) §28.1 ✟✠✡☛☞✌✍ δ ✎☛ F ✏✑✒✓✔✕ ✖ ✗✘✙✚ δ ✗✘✛ F δ ✗✘✜ ✢✣✤ ✥✦ P. A. M. Dirac ✧★ ✩✪✕✚✫✬✭✣✤ ✥✮✯✰ ✱✲✕✳✴✛✵✶ ✷ ✴✸✹ ✺✣✤ ✥✮✕✒✻✼✽✚✾✿✼❀✽❁✼ ❂❃❁❄❅❆❇✚✣✤ ❈❉❊❋✛ F ✫✘ ✥●✚ δ ✗✘✶ ✷❍■❏❑✗✘✒▲✪▼◆❖✚✿✪▼P◗❘❙◗❚❯✚❱❲✳✴✸ ❳❨P◗❩❬✚❭❪❫❴✕❵❛❘✣✤❵❜✜ ✒❝✕✛ F ◆✴ δ ✗✘✚✶ ✷❞❡❢❣✤✯ ❤✕ ✘ ✥✣✤ ✐❥✚❦❧♠♥✕♦♣✛ F δ ✗✘✜✒ q ✖ rs✙ ✕ ✗✘✚t✉ ✖✈✇✙ ✕ ✘ ✥①②✜③④✤❨ ✕ ✛✵ ✕⑤⑥✘ ✥✤ ❜✚⑦ ⑧⑨✲✗◗⑩✕❶❷✛ F ❸ ❹❺❻✣✤ ✥✕❼❽ ❾❿✚✩✪ δ ✗✘✕ ①②✚✏✑✵ ✕➀➁❸✕❶❷⑨➂➃ ➄✳✴✛ ■❞ δ ✗✘✕ ✣✤➅➆✚★➇❜✼❆❁✾✿✼ ❂❃✕ ❂❃◗➈ ➉➊✗✘✕ ✘ ✥➋➌✛❞ ➍➎➏➐✚➑⑦➇❜✒➒➓➔✛ →➣ 28.1 ✚↔↕➙➛➜➝➞ 0 < x < l ➟➠ ➡➢➤➥➦ ➧ ➨➩➫✚➭ ➧➯➲ 1 ➳➵➸✚↕ ➟➠➺➙ ➧ ➨ ✚➻ ➧ ➨➼➽➾ ➚ ➲ δl(x) = 0, ➪ x < − l 2 ; 1 l , ➪ − l 2 < x < l 2 ; 0, ➪ x > l 2 . ➶➹➘➴➷➳ ↕ −l/2 < x < l/2 ➡➬➮➦➾➚ f(x) ✚➱✃ ❐ ❒❮❰✚➢ Ï 28.1 ÐÑÒÓÔÕÓÔÖ× Z ∞ −∞ f(x)δl(x)dx = f(θl), −1/2 ≤ θ ≤ 1/2. ØÙ➞✚Ú➩ÛÜ➷❮Ý ±∞ ✛Þß a < −l/2, b > l/2 ✚à➢ Z b a f(x)δ(x)dx = f(θl), −1/2 ≤ θ ≤ 1/2
8.1点源的数学表示—6函数 作为极限情形,当l→0时,就得到点电荷的密度函数,记为 0,当x<0 6(x)=(x)=1∞,当x=0 当x>0. 而且,对于任意一个在x=0点连续的函数f(x),有 ∫(x)6(x)dx=f(0) 实际上,积分限不一定是±∞.只要a<0,b>0,就有 f(x)6(x)dx=f(0) 显然,还可以把区间内的电荷分布函数修改为其他任意连续函数,再重复上面的讨论 作为它们的极限情形,我们总会得到同样的结果. ★δ函数,并不是通常意义下的函数:它并没有给出函数与自变量之间的对应关系,或者说, 它给出的对应关系 ()=0 当x≠0 当x=0 在通常意义下是没有意义的 ★6函数表示的是(任意阶可微)函数序列的极限.它所给出的“函数值”只是在积分运算中 才有意义 f(x)6(x)dx=f(0),特别是 ★这个积分应该理解为 f( rd()dr im/f(r)(z)dr 从计算的角度来看,引进δ函数的目的,即在于简化对函数序列进行微积分计算、而后取极 限的过程.由于函数序列是由具有足够好的连续性质的函数组成的,所以,在计算中可以把6 数当作(任意阶)连续可微的函数处理,甚至可以定义6函数的导数矿(x):对于在x=0点连续并 有连续导数的任意函数f(x),有 //(e(2)dr=f(a6(2-1 f(x)6(x)dx=-f'(0) 这里,就把δ函数当作普通的连续函数一样进行分部积分 ★δ函数并不是给出普通的数值之间的对应关系,也并不像普通函数那样具有唯一、确定的 表达式
Wu Chong-shi §28.1 áâãäåæç δ èä é 2 ê ë ➲ìÛíî✚➪ l → 0 ï✚àðñò ➧ ➨ ➦ ➼➽➾➚ ✚ó➲ δ(x) = lim l→0 δl(x) = 0, ➪ x < 0; ∞, ➪ x = 0; 0, ➪ x > 0. ôõ✚➶➹➘➴➷➳ ↕ x = 0 ò➬➮➦➾➚ f(x) ✚➢ Z ∞ −∞ f(x)δ(x)dx = f(0). ØÙ➞✚Ú➩ÛÜ➷❮Ý ±∞ ✛Þß a < 0, b > 0 ✚à➢ Z b a f(x)δ(x)dx = f(0). ö÷✚ø✶ ✷ù úûü✕ ❂❃◗➈✗✘ýþ❞ ➂ÿ✁✂✄✗✘✚☎✆✝● ✞ ✕➇❜✛ ■❞✵❢✕♠✟➓➔✚❡❢✠✡❫❴ ☛▲✕❵❛✛ F δ ➾➚ ✚☞ÜÝ✌✍➴✎✏➦ ➾➚✑✒☞✓➢✔✕➾➚✖ ✗✘ ➯✙➠➦➶✚✛✜✚✢✣✤✚ ✒ ✔✕➦ ➶✚✛✜ δ(x) = ( 0, ➪ x 6= 0; ∞, ➪ x = 0 ↕✌✍➴✎✏Ý✓ ➢ ➴✎ ➦ ✛ F δ ➾➚✥✦➦ Ý (➘➴✧★✩) ➾➚✪✫➦ìÛ✛✒✬✔✕➦ ✖ ➾➚❒✙ÞÝ↕ Ú➩✭✮ ❐ ✯ ➢ ➴✎✛ Z ∞ −∞ f(x)δ(x)dx = f(0), ✰✱Ý Z ∞ −∞ δ(x)dx = 1. F ✲➳Ú➩✚✳❰✴ ➲ Z ∞ −∞ f(x)δ(x)dx = lim l→0 Z ∞ −∞ f(x)δl(x)dx. ✵✶✮ ➦✷ ➽✸✹✚✺✻ δ ➾➚ ➦ ✼➦✚✽↕➹✾✿➶➾➚✪✫✻❀✩ Ú➩✶✮ ❁ ô❁❂ì Û ➦❃❄✛❅➹➾➚✪✫Ý ❅❆➢❇❈❉➦➬➮❊❋➦ ➾➚●❍➦✚✬■✚↕✶✮ ❐★■❏ δ ➾ ➚ ➪ ë (➘➴✧ ) ➬➮★✩➦ ➾➚❑❰ ✚▲▼★■❮✎ δ ➾➚ ➦◆ ➚ δ 0 (x) ✑➶➹↕ x = 0 ò➬➮☞ ➢➬➮◆ ➚ ➦ ➘➴➾➚ f(x) ✚➢ Z ∞ −∞ f(x)δ 0 (x)dx = f(x)δ(x) ∞ −∞ − Z ∞ −∞ f 0 (x)δ(x)dx = −f 0 (0). ✲❖✚à❏ δ ➾➚ ➪ ëP✌➦➬➮➾➚➷◗ ✻❀➩❘ Ú➩✛ F δ ➾➚☞ÜÝ ✔✕P✌➦ ➚❒✙➠➦➶✚✛✜✚❙☞Ü❚P✌➾➚❯◗❆ ➢❱ ➷ ❁ ❲❮ ➦ ✥❳❨✛
第二十八讲 Green函数( 第3页 ★凡是具有 f(x)6(x)dx=f(0) 性质的函数序列6(x),或是具有 m/ f(a)5n(a)dr=f(O) 性质的函数序列n(x),它们的极限都是δ函数 di (ar) n=7 第=3 (a)=exp -n2r2 图28.26函数的逼近序列举例 ★同样,有关δ函数的等式,也应当从积分意义下去理解.如 r6(x)=0 应理解为 f(r)rd(ar)dr=0, 6(-x)=6(x) 应理解为 f(a)8(-ad =/ f(r)8(r)dr 6(_x)=-6(x)应理解为 f(x)6(-x) f(x)6'(x)d 6(a)=6(x)应理解为 f(a)b(ar)dz f(a)t8()dr 9(x)(x)=90)(x)应理解为/f(x)g(l()d=/fx)[o(o)(x)]dr ★6函数还可以表示成初等函数的微商.由于 6()dx=n(x) 一 因此 o(x)=(x)
Wu Chong-shi ❩❬❭❪❫ Green èä (❴) é 3 ê F ❵ Ý❆ ➢ lim l→0 Z ∞ −∞ f(x)δl(x)dx = f(0) ❊❋➦ ➾➚✪✫ δl(x) ✚✢Ý❆ ➢ limn→∞ Z ∞ −∞ f(x)δn(x)dx = f(0) ❊❋➦ ➾➚✪✫ δn(x) ✚✒❛➦ìÛ❜Ý δ ➾➚✛ (a) n √ π exp −n 2x 2 (b) n π 1 1 + n2x2 (c) sin nx πx Ï 28.2 δ ❝❞Õ❡❢❣❤✐❥ F ❦ ◗ ✚➢ ✛ δ ➾➚ ➦❧ ❨ ✚❙✚ ➪ ✵ Ú➩➴✎✏♠❰✴✛→ xδ(x)= 0 ✚❰✴ ➲ Z ∞ −∞ f(x)xδ(x)dx= 0, δ(−x)=δ(x) ✚❰✴ ➲ Z ∞ −∞ f(x)δ(−x)dx= Z ∞ −∞ f(x)δ(x)dx, δ 0 (−x)=−δ 0 (x) ✚❰✴ ➲ Z ∞ −∞ f(x)δ 0 (−x)dx=− Z ∞ −∞ f(x)δ 0 (x)dx, δ(ax)= 1 |a| δ(x) ✚❰✴ ➲ Z ∞ −∞ f(x)δ(ax)dx= Z ∞ −∞ f(x) 1 |a| δ(x) dx, g(x)δ(x)=g(0)δ(x) ✚❰✴ ➲ Z ∞ −∞ f(x)g(x)δ(x)dx= Z ∞ −∞ f(x) g(0)δ(x) dx. F δ ➾➚♥★■✥✦❍♦❧ ➾➚ ➦ ✩♣✛❅➹ Z x −∞ δ(x)dx = η(x), qr✚ δ(x) = dη(x) dx .
28.1点源的数学表示 函数 第4页 ★也可以对δ函数作 Laplace变换, 8(t-to 8(t-to)e dt=e po, to>0 ★6函数也可以表示成初等函数的 Fourier积分.因为 8()e-Ikdz =1 所以,根据 Fourier变换的反演公式,有 维或三维δ函数 ★在平面上(x0,y)点处有一个单位点电荷,那么,密度分布函数就是6(x-xo)6(y-30) ★在三维空间(xo,v,2o)处有一个单位点电荷,密度分布函数就是6(x-xo)6(y-v0)6(z-20) ★从三维空间来看,所谓一维点电荷应该是三维空间内的面电荷;二维点电荷就是三维空间内 的线电荷 例281证明 V2=-4π6(r), 其中r=√2+y2+2,6(r)=6(x)6(y)(2) 证正像前面指出的,凡是涉及δ函数的等式都应该从积分意义下去理解,即应该去证明 当r=0gV drdy -4π当r=0∈V 当r≠0时,直接微商可得 0 +y2+2(x2+y2+2)y2 ax2yr2+y2+27(x2+y2+2)5 同理 a2 x2+2+2 (x2+y2 02ym+y2+2(x2+y2+2)5/2 三式相加,即得 ≠0. 这样就证得:当积分体积V内不包含原点r=0时,积分恒为0
Wu Chong-shi §28.1 áâãäåæç δ èä é 4 ê F ❙★■➶ δ ➾➚ë Laplace ✘s✚ δ(t − t0) ; Z ∞ 0 δ(t − t0)e−ptdt = e−pt0 , t0 > 0. F δ ➾➚❙★■✥✦❍♦❧ ➾➚ ➦ Fourier Ú➩✛q Z ➲ ∞ −∞ δ(x)e−ikxdx = 1, ✬■✚➱✃ Fourier ✘s➦t✉✈❨ ✚➢ δ(x) = 1 2π Z ∞ −∞ e ikxdk. ✇①②③① δ ④⑤ F ↕⑥⑦➞ (x0, y0) ò❑ ➢ ➷ ➳➵➸ò ➧ ➨ ✚❯⑧✚➼➽➩➫➾➚ àÝ δ(x − x0)δ(y − y0) ✛ F ↕⑨⑩❶➠ (x0, y0, z0) ❑ ➢ ➷ ➳➵➸ò ➧ ➨ ✚➼➽➩➫➾➚ àÝ δ(x−x0)δ(y −y0)δ(z −z0) ✛ F ✵⑨⑩❶➠ ✸✹✚✬❷➷⑩ ò ➧ ➨✚✳Ý⑨⑩❶➠ ➡➦⑦ ➧ ➨❸❹⑩ ò ➧ ➨ àÝ⑨⑩❶➠ ➡ ➦ ➝ ➧ ➨✛ ❺ 28.1 ❻ ❼ ∇2 1 r = −4πδ(r), ❽ ❐ r = p x 2 + y 2 + z 2, δ(r) = δ(x)δ(y)δ(z) ✛ ❾ ❿❚➀⑦➁✕➦✚❵ Ý➂➃ δ ➾➚ ➦❧ ❨❜✚✳✵Ú➩➴✎✏♠❰✴ ✚✽✚✳♠❻ ❼ ZZZ V ∇ 2 1 r dxdydz = ( 0, ➪ r = 0 6∈ V ; −4π, ➪ r = 0 ∈ V. ➪ r 6= 0 ï✚➜➄✩♣★ð ∂ ∂x 1 p x 2 + y 2 + z 2 = − x (x 2 + y 2 + z 2) 3/2 , ∂ 2 ∂x2 1 p x 2 + y 2 + z 2 = 3x 2 − x 2 + y 2 + z 2 (x 2 + y 2 + z 2) 5/2 . ❦ ❰ ✚ ∂ 2 ∂y2 1 p x 2 + y 2 + z 2 = 3y 2 − x 2 + y 2 + z 2 (x 2 + y 2 + z 2) 5/2 , ∂ 2 ∂z2 1 p x 2 + y 2 + z 2 = 3z 2 − x 2 + y 2 + z 2 (x 2 + y 2 + z 2) 5/2 . ⑨❨➅➆✚✽ð ∇2 1 r = 0, r 6= 0. ✲ ◗ à❻ð✑ ➪Ú➩➇ Ú V ➡ Ü➈➉➊ò r = 0 ï✚Ú➩➋ ➲ 0 ✛
第二十八讲 Green函数( 第5页 当积分体积V内包含原点r=0时,由于函数1/r在r=0点不可导,上面的结果不成立这 时不妨将V就取为整个(三维)空间.容易得到 / r2 sin eded 令r=atanθ,即可证明上面的积分与a无关,且 20 cos 0de 2 12m·sin3
Wu Chong-shi ❩❬❭❪❫ Green èä (❴) é 5 ê ➪Ú➩➇ Ú V ➡ ➈➉➊ò r = 0 ï✚❅➹➾➚ 1/r ↕ r = 0 òÜ★ ◆✚➞⑦ ➦➌➍Ü❍➎✛ ✲ ï Ü➏➐ V à❂ ➲➑➳ (⑨⑩) ❶ ➠ ✛➒➓ðñ ZZ Z ∇2 1 r dxdydz = lim a→0 Z ZZ ∇2 1 √ r 2 + a 2 dxdydz = − lim a→0 ZZ Z 3a 2 (r 2 + a 2) 5/2 r 2dr sin θdθdφ = − 12π lima→0 Z ∞ 0 a 2 (r 2 + a 2) 5/2 r 2dr, ➔ r = a tan θ ✚✽★ ❻ ❼➞⑦ ➦Ú➩✖ a ➙✛ ✚õ ZZ Z ∇ 2 1 r dxdydz = −12π Z π/2 0 tan2 θ 1 + tan2 θ 3/2 dθ = −12π Z π/2 0 sin2 θ cos θdθ = −12π · 1 3 sin3 θ π/2 0 = −4π.