例1求∑ nx (|x|<1) 解由于an=n, lim nt lim n+I =1,即R=1 n→>+0a n→)+ 故∑nx”在(-1,1内可逐项积分 n=I 0 02 ∑nx)dx=∑∫ d x 首项为x, ∑ 公比为x n=1 xX 从而∑nx ∫∑nxn)dx doJo x<
, (| | 1). 1 1 += − n x x n 求 n a n , 由于 n = 1, 1 lim | | | | lim 1 = + = →+ + →+ nn aa n nn n ( 1, 1) . 1 故 1 在 − 内可逐项积分 += − n n n x ( )d d 0 1 0 1 1 1 += − += − = x n x n n n n x x n x x. 1 1 x x x n n − = = += 首项为 x , 公比为 x . 例 1解 ( )d dd 0 1 1 1 1 += − += − = x n n n n n x x x 从而 n x − = x x d x 1 d , (| | 1). (1 ) 1 2 − = x x 即 R =1
2 例 2 求 ∑ 之值 分析 2 21 X 2 2n-1 21 符合积分要求 2 2 2 2
1 1 1 2 2 1 2 2 1 = += + = − = − x n n n n n x n n 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 = += + = − = − x n n n n n x n n 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 = − += + = − = − x n n n n n x n n 符合积分要求了 . 2 2 1 1 求 之值 += − n n n 例 2
1求S2n-1 例 之值 解芝21n1x22的收敛区间为(2,√2) 等 在( 比 级 +0 2n-12 o rx 2n 数 d x 0 x23)dx=∑∫ 2 n-1 n ∑ 2 ∑ n= 故∑ 2n-1 2n-2 2+x 2 dx2-x 取x=1,得∑ 2n 2+ x=1
( 2, 2). 2 2 1 1 2 2 − − += − 的收敛区间为 n n n x n 在 (− 2, 2) 中, += − += − − = − 1 0 2 2 0 1 2 2 d 2 2 1 )d 2 2 1 ( n x n n x n n n x x n x x n += − = 1 2 1 n 2nn x += = 1 22 1 n n x x 2 2 xx− = 等比级数 . 2 2 1 1 求 之值 += − n n n 例 2解 − = − += − 2 1 2 2 d 2 d 2 2 1 xx x x n n n 故 n 2 2 2 (2 ) 2 xx −+ = 取 x =1, 得 3. (2 ) 2 22 1 1 2 2 2 1 = −+ = − = += x n n x n x
幂级数的解析运算 4 幂级数在其收敛区间内具有逐项可导性 +∞ d ∑anx”=∑(anx") dx 逐项求导得到的新幂级数与原幂级数具有 相同的收敛半径,但要注意:由于常数的导数 为零,故有些幂级数在求导后要改变下标的起 始值 例如 d ∑x)=∑2nx x
幂级数的解析运算 4 幂级数在其收敛区间内具有逐项可导性 ( ). d d d d 0 0 + = + = = n n n n n n a x x a x x 逐项求导得到的新幂级数与原幂级数具有 相同的收敛半径, 但要注意：由于常数的导数 为零, 故有些幂级数在求导后要改变下标的起 始值 . + = − + = = 1 2 1 0 2 ( ) 2 d d n n n n x nx x 例如
求2n- ,n- 例3 x+++…(x|<1)之和, 3 并由此求∑ 的值 2"(2n-1) 解】这是缺项的幂级数令n(=21,则由 x 2n-1 lim x =x n→)+ ln,(x)|n→+2n+1 得,|x|<1时,原级数绝对收敛 由幂级数在其收敛区间内的逐项可导性,得 ∑ 2n-1」aL2n-1 ∑ x-+x+
(| | 1) , 2 1 3 5 3 5 1 2 1 求 = + + + 之和 − + = − x x x x n x n n . 2 (2 1) 1 1 并由此求 的值 + n= − n n , 2 1 , ( ) 2 1 这是缺项的幂级数 令 则由 − = − n x u x n n , 2 1 2 1 lim | ( )| | ( )| lim 1 2 2 x x n n u x u x n n n n = + − = →+ + →+ 得, | x |1时, 原级数绝对收敛. 例3 解 由幂级数在其收敛区间内的逐项可导性, 得 + = + − = − − = − 1 2 1 1 2 1 2 1 n 2 1 n n n n x n x + = − = 0 2 2 n n x , 1 1 1 2 2 4 x x x − = + + +=