广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望

4.1数学期望引例2射击问题设某射击手在同样的条件下，瞄准靶子相继射击90次(命中的环数是一个随机变量)射中次数记录如下0４45123命中环数k20213151030命中次数nk21315102030nk频率909090909090n试问：该射手每次射击平均命中靶多少环？

设某射击手在同样的条 引例2 射击问题 试问: 0 1 2 3 4 5 2 10 30 90 2 90 10 90 30 命中环数 k 命中次数 nk n 频率 nk 射中次数记录如下 (命中的环数是一个随机变量). 件下, 瞄准靶子相继射击90次 该射手每次射击平均命中靶多少环? 13 15 90 15 90 13 90 2020

4.1数学期望射中靶的总环数解：平均射中环数射击次数0×2+1×13+2×15+3×10+4×20+5×3090152132010+2x=0×+3x+4x+1x909090909030+5x905nkZ=3.37.k=nk=0设射手命中的环数为随机变量Y大

解 平均射中环数 射击次数 射中靶的总环数 = 90 0 2 + 113 + 215 + 310 + 4 20 + 5 30 = 90 30 5 90 20 4 90 10 3 90 15 2 90 13 1 90 2 0 +  =  +  +  +  +   = 3.37. = =  5 k 0 k n n k 设射手命中的环数为随机变量 Y

4.1数学期望5NkZk平均射中环数nk=0频率随机波动一随机波动“平均射中环数”的稳定值一？55k.nkZn8Zk·Pknk=0k=0随机波动稳定值“平均射中环数”等于射中环数的可能值与其概率之积的累加

= =  5 k 0 k n n 平均射中环数 k 频率随机波动 随机波动 =  5 k 0 k n n k n → =  5 k 0 k pk 随机波动 稳定值 “平均射中环数”的稳定值 = ? “平均射中环数”等于 射中环数的可能值与其概率之积的累加

4.1数学期望1.离散型随机变量的数学期望定义设离散型随机变量X的分布律为P[X = xr} = Pk, k =1,2,....82若级数XkPkk=18xPs的和为随机变量X 的绝对收敛,则称级数k-18数学期望,记为 E(X).即 E(X)=XkPkk-1大

1. 离散型随机变量的数学期望 ( ) . 1   = = k E X xk pk 设离散型随机变量X 的分布律为 { } , P X = xk = pk 则称级数 x p 的和为随机变量X 的 k  k k  =1 记为E(X). 定义 k = 1,2,  . 若级数   k=1 xk pk 绝对收敛, 数学期望, 即

4.1数学期望分赌本问题A期望所得的赌金即为X的数学期望3E(X) = 200×= + 0×= =150(元)射击问题“平均射中环数”应为随机变量Y的数学期望E(Y)=0×po+1×Pi+2×P2+3×p3+4×P4+5×ps

分赌本问题 A 期望所得的赌金即为 X 的数学期望 射击问题 “平均射中环数”应为随机变量Y 的数学期望 E(Y ) = E(X) 0 1 2 3 4 5 .  p0 +  p1 +  p2 +  p3 +  p4 +  p5 4 1 0 4 3 = 200 +  = 150(元)