2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 =cos alim -x-a cosa.lime-limet-e e"·cosa·e"=cosa 对其他型的未定式(00型、∞-∞型,0°型,1型和∞°型,必须通过适当 的恒等变型,化为一或一型后,才能使用洛必达法则进行试验。 例4.38求极限l 【解】(方法1) xInx x-1 Inx) I+1(x-1)Inx lim ln (方法2) xlnx-x+1 =m s lin xInx li =lim- (x-1) 2(x-1)x12(x-1) 4.6综合例题 例439设f(x)二阶可导,且x∫(≠0,已知1m(1+x+(m 求f(0),f(0),∫"(0)。答案:f(0)=f(0)=0,f"(0)=4 【解】(方法1)首先lm(x+(x)=0,Imf(x)=0 由连续性与导数定义得到f(0)=0且f(0)=0。 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutorcom电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 x a x x a e e e x a a − − = ⋅ → 1 cos lim x a e e a e x a x a x x a − − = ⋅ → − → cos lim lim e a e a a a = ⋅ cos ⋅ = cos − 。 对其他型的未定式（00 型、∞ − ∞ 型，00 型， 型和 ∞1 0 ∞ 型)，必须通过适当 的恒等变型，化为 0 0 或 ∞ ∞ 型后，才能使用洛必达法则进行试验。 例 4.38 求极限 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − → x − x x x ln 1 1 lim 1 。 【解】（方法 1） x x x x x x x x x x ( 1)ln ln 1 lim ln 1 1 lim 1 1 − − + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − → − → 2 1 1 1 1 lim 1 ln ln lim 2 1 1 = + = − + = → → x x x x x x x x x 。 （方法 2） ( 1)ln(1 1) ln 1 lim ln 1 1 lim 1 1 − + − − + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − → − → x x x x x x x x x x 2 1 ( 1) ln 1 lim − − + = → x x x x x 2 1 2( 1) 1 lim 2( 1) ln lim 1 1 = − − = − = → → x x x x x x 。 4．6 综合例题 例 4.39 设 f (x) 二阶可导，且 0 ( ) + ≠ x f x x ，已知 ) , ( ) lim(1 3 1 x 0 e x f x x x + + = → 求 f (0), f ′(0), f ′′(0)。 答案： f (0) = f ′(0) = 0, f ′′(0) = 4 【解】（方法 1）首先 ) 0 ( ) lim( 0 + = → x f x x x ， 0 ( ) lim 0 = → x f x x ， 由连续性与导数定义得到 f (0) = 0 且 f '(0) = 0 。 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 6 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 其次由im(1+x+0)x= limer+x;/) f(x) e得 x→0 In(+x f(x) lim 3,另外有 +x+/(x) f(x) 即lim imx+/(x)=1+1im(x)=3 所以m(x)=2,且Im/(x)=2,即有(0)=4 x→0 f(x) (方法2)由lim(1+x+) In(I+x+/(r) lIme 得: 1+x+(x f(x) x lim 3=lim 即Im 3.lin f(x x f(x) 所以=2+a(x),其中lima(x)=0,因此得到f(x)=2x2+o(x2) 再由泰勒公式可得f(0)=0,f(0)=0,f"(0)=4 例440设∫(x)在x=0某邻域内可导,且f(O)=1,f(0)=2, 求极限 lim nsin 【解】考虑极限im-sinr=m/ k sInx-x)mx-x-/(, 由符合极限 定理,只需求极限 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutorcom电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 其次由 3 ) ( ) ln(1 1 0 1 0 ) lim ( ) lim(1 e e x f x x x f x x x x x x + + = = + + → → 得： 3 ) ( ) ln(1 lim 0 = + + → x x f x x x ，另外有 x x f x x x ) ( ) ln(1 lim 0 + + → 3 ( ) lim 0 = + = → x x f x x x 即 3 ( ) lim 2 2 0 = + → x x f x x 3 ( ) 1 lim ( ) lim 2 0 2 2 0 = + = + → → x f x x x f x x x 所以 2 ( ) lim 2 0 = → x f x x ，且 2 2 ( ) lim 0 = ′ → x f x x ，即有 f ' '(0) = 4 。 （方法 2）由 3 ) ( ) ln(1 1 0 1 0 ) lim ( ) lim(1 e e x f x x x f x x x x x x + + = = + + → → 得： 3 ) ( ) ln(1 lim 0 = + + → x x f x x x 3 ( ) lim 0 = + = → x x f x x x ， 即 3 ( ) lim 2 2 0 = + → x x f x x ， 2 ( ) lim 2 0 = → x f x x 所以 2 ( ) ( ) 2 x x f x = + α ，其中 lim ( ) 0 0 = → x x α ，因此得到 ， 再由泰勒公式可得 ， ( ) 2 ( ) 2 2 f x = x + o x f (0) = 0 f '(0) = 0, f ' '(0) = 4 。 例 4.40 设 f (x) 在 x = 0某邻域内可导，且 f (0) = 1, f ′(0) = 2， 求极限 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − →∞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n f n n n n 1 1 1 lim sin 。 【解】考虑极限 x( ) f ( ) x x x x − → ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1 0 sin 1 lim (1 ( )) sin sin 0 2 sin lim 1 x f x x x x x x x x x x − − ⋅ − → ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + 由符合极限 定理，只需求极限 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 7 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805