TI(s-zi 闭环传递函数: G(s) G(S)H(S)=K i- 1+G(s)H(s) I(s-pi) 闭环特征方程为 1+G(S)H(s)=0,即G(s)H(s)=-1 G(s)H(s)是复数,在复平面上对应一个矢量 G(s)H(s)=G(s)H(s)e0(3(=Mb=-1 它们满足: II(s-1) (s-pi ) TI(s-zi II(s-Zi ∠(K1 )=∠-1=土l180=1,35 I(s-pi)
闭环传递函数： 1 ( ) ( ) ( ) G s H s G s + 闭环特征方程为： 1+G(s)H(s) = 0, 即 G(s)H(s) = −1 j G s H s j G s H s = G s H s e = Me ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G(s)H(s) = −1 它们满足： G(s)H(s) = −1 l = 1,3,5 = 1, 0 = l 180 G(s) H(s) － G(s)H(s)是复数，在复平面上对应一个矢量： ) ( ) ( ) ( 1 1 = = − − n i i m i i s p s z K = = − − n i i m i i s p s z K 1 1 ( ) ( ) K 1 = = − − = m i i n i i s z s p K 1 1 ( ) ( ) = −1 -1 φ = = − − = n i i m i i s p s z G s H s K 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )
(s-p ∠(K1 )=±1800 T(s-pi II 绘制根轨迹必须满足的基本条件: 相角条件(相角公式:积的相角等于相角的和, 商的相角等于相角的差) ∠(s-x)+∠(-z)+…+∠(1-zm) -{∠(-n1)+∠(-n2)+…+∠(S-Dn)=±l·180 l=1,3,5… 幅值条件(积的模等于模的积,商的模等于模的商) K S-PIIS-p P S-ZIIIS 2 S
绘制根轨迹必须满足的基本条件： （相角公式：积的相角等于相角的和， 商的相角等于相角的差） [ ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )] 1 2 1 2 n m s p s p s p s z s z s z − − + − + + − − + − + + − 0 = l 180 l = 1,3,5 幅值条件 m n s z s z s z s p s p s p K − − − − − − = 1 2 1 2 相角条件 （积的模等于模的积，商的模等于模的商） l s p s z K n i i m i i = − − = = 0 1 1 ) 180 ( ) ( ) ( = = − − = m i i n i i s z s p K 1 1 ( ) ( )
相角条件|∠(s-x1)+∠(S-z2)+…+∠(-zn) -|∠(s-p1)+∠(s-P2)+…+∠(s-pn)=±l·1800l=1,3,5 幅值条件K= P1|s-P2…S-P S-z1S-乙 S 注意:1.这两个条件是从系统闭环特征方程中导出的 所有满足以上两式的s值都是系统的特征根,把它们 在s平面上画出,就构成了根轨迹 2.观察两式,均与开环零极点有关,也就是说,根 轨迹是利用开环零极点求出闭环极点。 画法: 1.利用相角条件,找出所有满足相角条件的s值,连 成根轨迹。(充分必要条件 2.确定某一特征根后,利用幅值条件,求出对应的 K值
注意：1. 这两个条件是从系统闭环特征方程中导出的， 所有满足以上两式的s 值都是系统的特征根，把它们 在s平面上画出，就构成了根轨迹。 2. 观察两式，均与开环零极点有关，也就是说，根 轨迹是利用开环零极点求出闭环极点。 相角条件 [ ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )] 1 2 1 2 n m s p s p s p s z s z s z − − + − + + − − + − + + − 0 = l 180 l = 1,3,5 幅值条件 m n s z s z s z s p s p s p K − − − − − − = 1 2 1 2 画法： 1. 利用相角条件，找出所有满足相角条件的s值，连 成根轨迹。(充分必要条件) 2. 确定某一特征根后，利用幅值条件，求出对应的 K值
例421某系统开环传递函数 G(sH(S) K(S-z1) (s-D1)(s-p2 分析:一个开环零点z, 2个开环极点p1和p2 在s平面上,○表示零点,×表示极点 设s是系统的一个闭环特征根,则它必须满足: 相角条件:1-6n-02=土180·11=1,3.5 可以通过幅值条件,求出此s值下的K值: Pills-p k S-Z
例4-2-1 某系统开环传递函数 ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 s p s p K s z G s H s − − − = 分析： 在s平面上，○表示零点，×表示极点。 2个开环极点p1和p2。 设s是系统的一个闭环特征根， 相角条件： z1 − p1 − p2 = 1800 l l = 1,3,5 可以通过幅值条件，求出此s值下的K值: 1 1 2 s z s p s p k − − − = ○ × × ● z1 p1 p2 s 则它必须满足： 一个开环零点z1
2、绘制根轨迹的基本规则 例42-2某单位反馈系统G()H(s) K(s+5) s(s+1)S+2) 要求画出根轨迹。 分析:1个开环零点,3个开环极点, 5,D1=0,P2=-1,P3
2、绘制根轨迹的基本规则 例4-2-2 ( 1)( 2) ( 5) ( ) ( ) + + + = s s s K s G s H s 要求画出根轨迹。 某单位反馈系统 分析：1个开环零点，3个开环极点， 5, z1 = − 0 ● -5 × × × -2 -1 0 0, p1 = 1, p2 = − 2 p3 = −