第五章频率特性分析 §3奈魁斯特( Nyquist)稳定判据及应用 口闭环系统稳定的充要条件是闭环特征根均具有负实部; 口奈魁斯特稳定判据将这个条件转化到频率域,是在频率 域内判定系统稳定性的准则; 口与根轨迹分析方法类似: o不求取闭环特征根 o利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性 o能了解系统的绝对稳定性和相对稳定性 口奈魁斯特稳定判据建立在系统极坐标图上; 口理论依据是复变函数中的柯西定理
§3 奈魁斯特(Nyquist)稳定判据及应用 第五章频率特性分析 ❑ 闭环系统稳定的充要条件是闭环特征根均具有负实部； ❑ 奈魁斯特稳定判据将这个条件转化到频率域，是在频率 域内判定系统稳定性的准则； ❑ 与根轨迹分析方法类似： o 不求取闭环特征根 o 利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性 o 能了解系统的绝对稳定性和相对稳定性 ❑ 奈魁斯特稳定判据建立在系统极坐标图上； ❑ 理论依据是复变函数中的柯西定理
、柯西定理(围线映射)定理 第五章频率特性分析 §3奈魁斯特稳定判据及应用 、柯西定理(围线映射)定理 系统闭环传递函数(s) G(s) X(s)1+G(s)H() 其中:F()=1+G()H(S)是闭环特征多项式 K(s+S1)(s+S2)…(S+S2) (s+n1)(S+p2)…(s+pp) F(s)=1+G(s)H(S)=0是闭环特征方程。 s;,i=1,2F(s)零点 p,i=1,2…,pF(s)的极点
一、柯西定理（围线映射）定理 系统闭环传递函数 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G s H s G s X s Y s + = 其中： F(s) = 1+ G(s)H(s) 是闭环特征多项式 一、柯西定理（围线映射）定理 第五章频率特性分析 §3 奈魁斯特稳定判据及应用 F(s) = 1+ G(s)H(s) = 0 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 2 p z s p s p s p K s s s s s s + + + + + + = 的极点 的零点 , 1,2,... ( ) , 1,2,... ( ) p i p F s s i z F s i i − = − = 是闭环特征方程
、柯西定理(围线映射)定理 第五章频率特性分析 §3奈魁斯特稳定判据及应用 柯西定理:F(s)=1+G)H(s) (1)除奇点外(使F(s)为不定值的解),F(s)是s的单值函数 当在根平面上的变化轨迹为一封闭曲线C时,在F(平面上也有 封闭曲线C与之对应。即当s连续取封闭曲线上数值时,F(s 也将沿着另一曲线连续变化,把c3称作c的围线映射。它们分 别是s和F(S)的矢量端点变化的轨迹。 IF(S) 「F(s) 1.12 0.577 6 例:某系统:F(s)=1+G)H(s)=1+ (S+1)(s+2) 若s1=1+j2,F(S1)=1+G(s1)H(S1)=112-0.577
柯西定理： 第五章频率特性分析 §3 奈魁斯特稳定判据及应用 也将沿着另一曲线连续变化，把c’称作c的围线映射。它们分 别是s和F(s)的矢量端点变化的轨迹。 例：某系统： ( 1)( 2) 6 ( ) 1 ( ) ( ) 1 + + = + = + s s F s G s H s 若 1 2, 1 s = + j ( ) 1 ( ) ( ) 1 1 1 F s = +G s H s = 1.12 − j0.577 一、柯西定理（围线映射）定理 j2 1 [s] [F(s)] ﹣j0.577 1.12 （1）除奇点外（使F(s)为不定值的解），F(s)是s的单值函数。 [s] c [F(s)] c′ 当s在根平面上的变化轨迹为一封闭曲线C时，在F(s)平面上也有 一封闭曲线C’与之对应。即当s连续取封闭曲线上数值时，F(s) F(s) = 1+ G(s)H(s)
、柯西定理(围线映射)定理 第五章频率特性分析 §3奈魁斯特稳定判据及应用 F(s)=1+G(s)H(3) K(s+s1)(s+2)…(+S2) 0 (s+P1)(s+P2)…(s+pn) S,i=12zF(s)的零点 p,i=12,pF(s)的极点 (2)当s平面上的围线C不包围F(s)的零点和极点时,围线C 必定不包围F(s)平面的坐标原点。 c F(s)
（2）当s 平面上的围线C不包围F(s)的零点和极点时，围线C’ 必定不包围F(s)平面的坐标原点。 第五章频率特性分析 §3 奈魁斯特稳定判据及应用 一、柯西定理（围线映射）定理 F(s) = 1+ G(s)H(s) 0 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 2 = + + + + + + = p z s p s p s p K s s s s s s 的极点 的零点 , 1,2,... ( ) , 1,2,... ( ) p i p F s s i z F s i i − = − =
、柯西定理(围线映射)定理 第五章频率特性分析 §3奈魁斯特稳定判据及应用 (3)如果C以顺时针方向包围F(s)的一个零点, C将以顺时针方向包围原点一次。 如果C以顺时针方向包围F(s)的一个极点, C将以逆时针方向包围原点一次。 F(S)
第五章频率特性分析 §3 奈魁斯特稳定判据及应用 （3）如果C以顺时针方向包围F(s)的一个零点， 一、柯西定理（围线映射）定理 C C’ C C’ [s] [F(s)] [s] [F(s)] C’将以顺时针方向包围原点一次。 如果C以顺时针方向包围F(s)的一个极点， C’将以逆时针方向包围原点一次