山东理工大学：《数学分析》课程授课教案（讲义）第二十二章 各种积分间的联系和场论初步

《数学分析(1,2,3)》教案 第二十二章各种积分间的联系和场论初步 §1各种积分间的联系 Green公式 定义1一个平面区域D,如果全落在此区域内的任一条封闭曲线都可以不经过D以外的点而连续地收缩为 点,则称此区域D为单连通的,否则称为复连通的。 定理1设D是以光滑曲线为边界的平面单连通区域,设函数P(x,y),Q(xy)在D及l上连续并具有关 于自变量x和y的连续偏导数,则有: dxdy=d pdx +Od d(Ox ay 这里右端积分路径的方向是和区域正相联系的,既当一人沿着曲线/行走时区域D恒在他的左边 注:Gren公式同时揭示了平面上某区域内的二维积分与该边界上的一个特定的第二类曲线积分之间的关系; 注:常用于第二类曲线积分,有时用来计算二重积分在 Green公式中。 例:求第二类曲线积分x-x3yh,C是上半圆周:x+y2=1y20方向从(1.)→(-10) 例:设函数u,v有其二阶连续偏导数,记△= +, 证明 (ivAudxdy drdy+ veds ax ax ay ay (i)‖△ahy=- r ou ds:(3)u△v-v△tdhy= 例:(用Gren公式求曲面的面积)求曲线x3+y3=3xy所围图形的面积。 注:在使用 Green公式时,应注意“助线法”的使用 二 Gauss公式 定理2设空间二维单连通有界闭区域V的边界曲面S是光滑的,又设函数P(xy=),Q(x,y,=) R(x,y-)在V及S上具有关于x,y,z的连续偏导数,则有: dxdydz Pdydz + odzdx rdxdy J[Pcos(n, x)+@cos(n, )+Rcos(n, )]s S 这里n为曲面S的外法线方向,第二个积分沿曲面S的外侧 22-1

《数学分析（1，2，3）》教案 22-1 第二十二章 各种积分间的联系和场论初步 §1 各种积分间的联系 一 Green 公式 定义 1 一个平面区域 D ，如果全落在此区域内的任一条封闭曲线都可以不经过 D 以外的点而连续地收缩为 一点，则称此区域 D 为单连通的，否则称为复连通的。 定理 1 设 D 是以光滑曲线 l 为边界的平面单连通区域，设函数 P x y ( , ) ，Q x y ( , ) 在 D 及 l 上连续并具有关 于自变量 x 和 y 的连续偏导数，则有： l D Q P dxdy Pdx Qdy x y       − = +       这里右端积分路径的方向是和区域正相联系的，既当一人沿着曲线 l 行走时区域 D 恒在他的左边。 注：Green 公式同时揭示了平面上某区域内的二维积分与该边界上的一个特定的第二类曲线积分之间的关系； 注：常用于第二类曲线积分，有时用来计算二重积分在 Green 公式中。 例：求第二类曲线积分 I= 2 2 C xy dy x ydx −  ,C 是上半圆周： 2 2 x y y + =  1, 0 方向从 (1,0 1,0 ) → −( ) 。 例：设函数 u ， v 有其二阶连续偏导数，记 2 2 2 2 y u x u u   +    = ，证明 (i) ds n u dxdy v y v y u x v x u v udxdy D D D        +     +       = − − ； (ii)       = − D D ds n u udxdy ；(3) ds n v u n u u v v udxdy v D D   −    −  =    。 例：（用 Green 公式求曲面的面积）求曲线 3 3 x y xy + = 3 所围图形的面积。 注：在使用 Green 公式时，应注意“助线法”的使用。 二 Gauss 公式 定理 2 设空间二维单连通有界闭区域 V 的边界曲面 S 是光滑的，又设函数 P x y z ( , , ) ， Q x y z ( , , ) ， R x y z ( , , ) 在 V 及 S 上具有关于 x y z , , 的连续偏导数，则有： cos , cos , cos , ( ) ( ) ( ) V S S P Q R dxdydz x y z Pdydz Qdzdx Rdxdy P n x Q n y R n z dS    + +    = + + = + +        这里 n 为曲面 S 的外法线方向，第二个积分沿曲面 S 的外侧

《数学分析(1,2,3)》教案 注:① Gauss公式揭示了R3中的某区域内的三重积分和这一区域的边界上的特定曲面积分之间的关系;②与 Green公式一样,由 Gauss公式可计算某些空间立体积分: ddda xdyd- ydcdx+ eddy 例:求积分I=xdz+yax+zdzh,S:x2+y2+x2=a2沿外侧。 例:求积分「(x2cosa+y2cosf+2cosy)dS,其中S是锥面x2+y2=x2l 注:在使用 Gauss公式时,应注意“助面法”的使用。 三 Stokes公式 定理3( Stokes)设光滑曲面S的边界为光滑曲线L,设函数P(xy,=),Q(x,y,=),R(x,y,)在曲面S 及曲线上具有关于x,y,z的连续偏导数,则有 dyds dex dxdy I Pdx+Ody+Rdx P Q R 曲线积分的方向和曲面的侧按右手法则联系。 注:右端积分是一个第二类曲面积分,左端的积分是一个第二类曲线积分。所以 Stokes公式是第二类曲面积 分和第二类曲线积分的一个纽带。 例:求曲线积分∫(=)+(=-x)+(x-y),其中C是柱面x2+y2=a2和平面+=1的交线 其方向从z轴正向望去,已知方向是逆时针 §2曲线积分和路径的无关性 引言 第二类曲线积分不仅与曲线的起点和终点有关,而且也与所沿的积分路径有关。对同一个起点和同一个 重点,沿不同的路径所得到的第二类曲线积分一般是不相同的。在什么样的条件下第二类曲线积分与积分路 径无关而仅与曲线的起点和重点有关呢?下面我们在平面中情形来讨论这个问题。 定理1若函数P(x,y),Q(x,y)在区域D上有连续的偏导数,D是单连通区域,则下列命题等价 (1)对D内任意一条闭曲线C,有 ∫P(xy)+Q(x,y)h=0 (2)对D内任意一条闭曲线l,曲线积分 ∫P(x,y)+q(xy)dy 与路径无关(只依赖曲线的端点) 22-2

《数学分析（1，2，3）》教案 22-2 注：①Gauss 公式揭示了 3 R 中的某区域内的三重积分和这一区域的边界上的特定曲面积分之间的关系；②与 Green 公式一样，由 Gauss 公式可计算某些空间立体积分： 1 3 D S V dxdydz xdydz ydzdx zdxdy = = + +   。 例：求积分 I= S xdydz ydzdx zdxdy + +  ， S : 2 2 2 2 x + y + z = a 沿外侧。 例：求积分 2 2 2 ( cos cos cos ) , S x y z dS    + +  其中 S 是锥面 2 2 2 x y z + = 。 注：在使用 Gauss 公式时，应注意“助面法”的使用。 三 Stokes 公式 定理 3（Stokes）设光滑曲面 S 的边界为光滑曲线 L ，设函数 P x y z ( , , ) ，Q x y z ( , , ) ， R x y z ( , , ) 在曲面 S 及曲线上具有关于 x y z , , 的连续偏导数，则有： L S dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P Q R    + + =      曲线积分的方向和曲面的侧按右手法则联系。 注：右端积分是一个第二类曲面积分，左端的积分是一个第二类曲线积分。所以 Stokes 公式是第二类曲面积 分和第二类曲线积分的一个纽带。 例：求曲线积分 ( ) ( ) ( ) C y z dx z x dy x y dz − + − + −  ，其中 C 是柱面 x 2 2 2 +y = a 和平面 + = 1 h z a x 的交线, 其方向从 z 轴正向望去，已知方向是逆时针。 §2 曲线积分和路径的无关性 ⚫ 引言 第二类曲线积分不仅与曲线的起点和终点有关，而且也与所沿的积分路径有关。对同一个起点和同一个 重点，沿不同的路径所得到的第二类曲线积分一般是不相同的。在什么样的条件下第二类曲线积分与积分路 径无关而仅与曲线的起点和重点有关呢？下面我们在平面中情形来讨论这个问题。 定理 1 若函数 P x y ( , ) ，Q x y ( , ) 在区域 D 上有连续的偏导数， D 是单连通区域，则下列命题等价： ⑴ 对 D 内任意一条闭曲线 C ，有 ( , , 0 ) ( ) C P x y dx Q x y dy + =  。 ⑵ 对 D 内任意一条闭曲线 l ，曲线积分 ( , , ) ( ) l P x y dx Q x y dy +  与路径无关（只依赖曲线的端点）

《数学分析(1,2,3)》教案 (3在可微函数U(xy),使得D内成立dU=Px+Q (02=2在D内处处成立。 定义1当曲线积分和路径无关时,即满足上面的诸条件时,如令点A(x,y)固定而点B(x,y)为区域内任 意一点,那么 U(x,)=[, Pdx+Od 在D内连续并且单值。这个函数U(x,y)称为Pax+Qh的原函数 原函数的求法: (1)U(xy)=P(xy)d+∫g(xy地+C: (2)U(x,y)=P(, yo)dx+o(x, yky+C 例:求原函数u (1)(x2+2x-y2)4+(x2-2x-y2)d (2)(2x cos y-y2 x dx+(2ycosx-x'sin y) dy 定义2只绕奇点M一周的闭路上的积分值叫做区域D的循环常数,记为O。于是,对D内任一闭路C Pax +ody 这里n为沿逆时针方向绕M的圈数 例:证【xdx+yb关于奇点的循环常数是(0,0),从而积分与路径无关。 §3场论初步 场的概念 物理量在空间或一部分空间上的分布就称为场。场分为不定常场和定常场 二向量场的散度和旅度 设有一向量场a,V为一闭曲面S所包围的空间区域,n为曲面上向外法线,由高斯公式得 aa da a ax ay az 定义1量++称为向量a的散度,它形成一个数量场,记为 ax ay az 22-3

《数学分析（1，2，3）》教案 22-3 ⑶存在可微函数 U x y ( , )，使得 D 内成立 dU Pdx Qdy = + ； ⑷ P Q y x   =   在 D 内处处成立。 定义 1 当曲线积分和路径无关时，即满足上面的诸条件时，如令点 A x y ( 0 0 , ) 固定而点 B x y ( , ) 为区域内任 意一点，那么 ( ) ( ) ( ) 0 0 , , , x y x y U x y Pdx Qdy = +  在 D 内连续并且单值。这个函数 U x y ( , ) 称为 Pdx Qdy + 的原函数。 原函数的求法： （1） ( ) ( ) ( ) 0 0 0 , , , x y x y U x y P x y dx Q x y dy C = + +   ； 或 （2） ( ) ( ) ( ) 0 0 0 , , , x y x y U x y P x y dx Q x y dy C = + +   。 例：求原函数 u （1） ( ) ( ) 2 2 2 2 x xy y dx x xy y dy + − + − − 2 2 ; （2） ( ) ( ) 2 2 2 cos sin 2 cos sin x y y x dx y x x y dy − + − 。 定义 2 只绕奇点 M 一周的闭路上的积分值叫做区域 D 的循环常数，记为  。于是，对 D 内任一闭路 C C Pdx Qdy n + =   ， 这里 n 为沿逆时针方向绕 M 的圈数。 例：证明  + + 2 2 x y xdx ydy 关于奇点的循环常数是 (0,0) ，从而积分与路径无关。 §3 场论初步 一 场的概念 物理量在空间或一部分空间上的分布就称为场。场分为不定常场和定常场。 二 向量场的散度和旋度 设有一向量场 a ，V 为一闭曲面 S 所包围的空间区域， n 为曲面上向外法线，由高斯公式得 x y z n S S a a a a dS dV x y z      = + +          。 定义 1 量 x y z a a a x y z    + +    称为向量 a 的散度，它形成一个数量场，记为

《数学分析(1,2,3)》教案 利用散度的定义,高斯公式可写为 ads= divan 这是高斯公式向量形式。它说明:向量a通过闭曲面S的流量等于这个向量的散度在S所包围的区域上的三 重积分。 aa da. aa 定义2称向量 为向量a的旋度,记为rota ax ay az a 利用rota的定义, Stokes公式可改写为向量形式如下 它说明:向量a沿闭曲线L的环流量等于它的旋度rota通过以L为边界所张的任意曲面S的流量 散度和旋度的定义 例:求=xyz在点(L2,3)的散度和旋度 例:证明 grad diva- rot rot a=△a 22-4

《数学分析（1，2，3）》教案 22-4 div x y z a a a a x y z    = + +    。 利用散度的定义，高斯公式可写为 div S V adS a dV =   ， 这是高斯公式向量形式。它说明：向量 a 通过闭曲面 S 的流量等于这个向量的散度在 S 所包围的区域上的三 重积分。 定义 2 称向量 , , z z y y x x a a a a a a y z z x x y           − − −         为向量 a 的旋度，记为 rota ： rot x y z i j k a x y z a a a    =    。 利用 rota 的定义，Stokes 公式可改写为向量形式如下： rot L S a dl a dS =   。 它说明：向量 a 沿闭曲线 L 的环流量等于它的旋度 rota 通过以 L 为边界所张的任意曲面 S 的流量。 散度和旋度的定义。 例：求 u = xyz 在点 (1, 2, 3) 的散度和旋度。 例：证明 grad div rot rot a a a − = 