《数学分析(1,2,3)》教案 第十一章函数项级数、幂级数 §1函数项级数的一致收敛 我们知道,可以用收敛数列(或级数)来表示或定义一个数,下面将讨论如何用函数列(或函数项级数) 来表示或定义一个函数 函数项级数的概念 设{un(x)是定义在数集X上的一个函数列,表达式 l1(x)+2(x)+…+ln(x)+ 称为定义在X上的函数项级数,记为∑n(x)。称 S(x)=∑l4(x),x∈E,n=1,2 (2) 为函数顶级数(2)的n次部分和。 若x∈X,数顶级数u1(x0)+a2(x)+…+ln(x)+ (3) 收敛,即部分和Sn(x0) x0)当n→>∞时极限存在,则称级数(1)在点x收敛,x0称为级数(1) 的收敛点,若级数(3)发散,则称级数(1)在点x发散。若级数(1)在X上每个点都收敛,则称级 数(1)在X上收敛,若X为级数(1)全体收敛点的集合,这时则X为级数(1)的收敛域。级数(1) 在X上每一点x与其所对应的数项级数(3)的和S(x)构成一个定义在X上的函数,称为级数(1)的 和函数,并写作 l1(x)+l2(x)+…+ln1(x)+…=S(x) 即mnSn(x)=S(x)。 也就是说,函数项级数(1)的收敛性就是指它的部分和函数列(2)的收敛性。 例:定义在(一∞,+∞)上的函数项级数(几何级数) 1+x+x2+…+xn+ (4) 的部分和函数为S=x,故当<1时, S(x)=lm S,(x) 所以几何级数(4)在(-1,1)内收敛于和函数S(x)= -x:当x≥1时,几何级数是发散的 11-1
《数学分析（1，2，3）》教案 11-1 第十一章 函数项级数、幂级数 §1 函数项级数的一致收敛 我们知道，可以用收敛数列（或级数）来表示或定义一个数，下面将讨论如何用函数列（或函数项级数） 来表示或定义一个函数。 一 函数项级数的概念 设 u x n ( ) 是定义在数集 X 上的一个函数列，表达式 1 2 ( ) ( ) ( ) n u x u x u x + + + + ， （1） 称为定义在 X 上的函数项级数，记为 1 ( ) n n u x = 。称 = = n k n k S x u x 1 ( ) ( )， xE ， n = 1,2, （2） 为函数顶级数（2）的 n 次部分和。 若 0 x X ，数顶级数 u1 (x0 ) + u2 (x0 ) ++ un (x0 ) + （3） 收敛，即部分和 = = n k n k S x u x 1 0 0 ( ) ( ) 当 n → 时极限存在，则称级数（1）在点 0 x 收敛， 0 x 称为级数（1） 的收敛点，若级数（3）发散，则称级数（1）在点 0 x 发散。若级数（1）在 X 上每个点都收敛，则称级 数（1）在 X 上收敛，若 X 为级数（1）全体收敛点的集合，这时则 X 为级数（1）的收敛域。级数（1） 在 X 上每一点 x 与其所对应的数项级数（3）的和 S(x) 构成一个定义在 X 上的函数，称为级数（1）的 和函数，并写作 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 u x u x u x S x + ++ n += ， 即 lim S (x) S(x) n n = → 。 也就是说，函数项级数（1）的收敛性就是指它的部分和函数列（2）的收敛性。 例：定义在 (−,+) 上的函数项级数（几何级数） 1+ x + x 2 ++ x n + （4） 的部分和函数为 x x S x n n − − = 1 1 ( ) 。故当 x 1 时， x S x S x n n − = = → 1 1 ( ) lim ( ) 。 所以几何级数（4）在 (−1,1) 内收敛于和函数 x S x − = 1 1 ( ) ；当 x 1 时，几何级数是发散的
《数学分析(1,2,3)》教案 二一致收敛的定义 定义1(函数项级数一致收敛性定义)设有函数列{S(x)(函数项级数∑un(x)。若对任给的正数E, 总存在某一正整数N=N(E),使得当n>N时,对一切的x∈X,都有 S, (x)S(x)<E (对函数项级数此式可写:()=2(x)<),则称(S()(应()在x上一致收敛于() 定义2设|Sn-S=sp(x)-S(x),如果im|s-Sl=0,就称S(x)在X上一致收敛于S(x) 例:讨论Sn(x)= 1+n2x 在X=(-,+∞)上的一致收敛性 例:讨论Sn(x) 1+n2x2 在X=[1上的一致收敛性。 定义3设{Sn(x)}是函数列。当{S(x)}在(ab)内任一闭区间上一致收敛时,则称{S(x)在(anb)内闭 一致收敛。 例:S(x)=2n2xem2在(0,1)非一致收敛,但内闭一致收敛 定理1(函数列一致收敛的柯西准则)函数列{S(x)在数集X上一致收敛的充要条件是:对任给的正数 E,总存在正数N,使得当n,m>N时,对一切x∈X,都有 S(x)-S(x)<6 定理2(函数项级数一致收敛的柯西准则)函数项级数∑un(x)在X上一致收敛台对于VE>0,丑N, 使得当n>N时,对一切x∈X和一切正整数p,都有 un(x)+un+2(x)+…+lnn(x)<E。 特别地,当p=1时,得到函数项级数收敛的必要条件: 推论函数项级数∑,(x)在X上一致收敛的必要条件是函数列{,(x)在x上一致收敛于0 致收敛级数的性质 定理3(连续性)若在[ab]上,函数列{S(x)}一致收敛于S(x),且对n,f(x)在[a,b]上连续,则S(x) 在[a,b上也连续。 11-2
《数学分析（1，2，3）》教案 11-2 二 一致收敛的定义 定义 1（函数项级数一致收敛性定义） 设有函数列 S x n ( ) （函数项级数 1 ( ) n n u x = ）。若对任给的正数 ， 总存在某一正整数 N N= ( ) ，使得当 n N 时，对一切的 x X ，都有 ( ) ( ) n S x S x − （对函数项级数，此式可写为 ( ) ( ) 1 n k k n r x u x = + = ），则称 S x n ( ) （ 1 ( ) n n u x = ）在 X 上一致收敛于 S x( ) 。 定义 2 设 n n sup ( ) ( ) x X S S S x S x − = − ，如果 lim 0 n n S S → − = ，就称 S x n ( ) 在 X 上一致收敛于 S x( ) 。 例：讨论 ( ) 2 2 1 n x S x n x = + 在 X = − + ( , ) 上的一致收敛性。 例：讨论 ( ) 2 2 1 n nx S x n x = + 在 X =0,1 上的一致收敛性。 定义 3 设 S x n ( ) 是函数列。当 S x n ( ) 在 (a b, ) 内任一闭区间上一致收敛时，则称 S x n ( ) 在 (a b, ) 内闭 一致收敛。 例： ( ) 2 2 2 2 n x n S x n xe− = 在 (0,1) 非一致收敛，但内闭一致收敛。 定理 1（函数列一致收敛的柯西准则） 函数列 S x n ( ) 在数集 X 上一致收敛的充要条件是：对任给的正数 ，总存在正数 N ，使得当 n m N , 时，对一切 x X ，都有 ( ) ( ) n S x S x − 。 定理 2（函数项级数一致收敛的柯西准则）函数项级数 1 ( ) n n u x = 在 X 上一致收敛 对于 0，N ， 使得当 n N 时，对一切 x X 和一切正整数 p ，都有 + + + + + + ( ) ( ) ( ) 1 2 u x u x u x n n n p 。 特别地，当 p = 1 时，得到函数项级数收敛的必要条件： 推论 函数项级数 1 ( ) n n u x = 在 X 上一致收敛的必要条件是函数列 un (x) 在 X 上一致收敛 于 0。 三 一致收敛级数的性质 定理 3（连续性）若在 a b, 上，函数列 S x n ( ) 一致收敛于 S x( ) ，且对 n ，f (x) n 在 a b, 上连续，则 S x( ) 在 a b, 上也连续
《数学分析(1,2,3)》教案 注:若各项为连续函数的函数列{S(x)}在区间X上其极限函数不连续,则此函数列{S(x)}在区间x上不 一致收敛。 例:{x}在(1上 注:该定理指出:在一致收敛的条件下,两个极限运算可以交换顺序。 定理4(可积性)若函数列{S(x)}在[ab]上一致收敛,且每一项都连续,则 ∫!ims(x=lm∫S(x 注:该定理指出:在一致收敛的条件下,极限运算与积分运算可以交换顺序 注:一致收敛只是这两种运算换序的充分条件,而并非必要条件。 例:设函数 2na..0≤X< f,(x)=2a,-2na,x,,srrI n=1.2 0.-≤x<1 定理5(可微性)设{S(x)为定义在b]上的函数列,若{S(x)}收敛于S(x),{S(x)的每一项在[ab 上有连续的导数,且{Sn(x)在[ab]上一致收敛,则 (lim S,(x))=lim-S(x) 注:在该定理的条件下可以证明{/n(x)}在区间ab]上一致收敛: 注:该定理指出:在一致收敛的条件下,求导运算与极限运算可以交换顺序 注:一致收敛只是这两种运算换序的充分条件,而并非必要条件 例:设函数列 In(1+n-x 下面讨论函数项级数的连续性,逐项求积与逐项求导的性质,它们都可由函数列的相应性质推出, 定理6(连续性)若函数项级数∑U(x)在区间[ab]上一致收敛,且每一项n(x)都连续,则其和函数也在 区间[a,b]上连续。 注:在一致收敛的条件下,求和运算与求极限运算可以交换顺序,即 ∑(lmun(x)=lmC∑un(x) 定理7(逐项求积)若函数项级数∑un(x)在区间b]上一致收敛,且每一项un(x)都连续,则 l1-3
《数学分析（1，2，3）》教案 11-3 注：若各项为连续函数的函数列 S x n ( ) 在区间 X 上其极限函数不连续，则此函数列 S x n ( ) 在区间 X 上不 一致收敛。 例： n x 在 (−1,1] 上。 注：该定理指出：在一致收敛的条件下，两个极限运算可以交换顺序。 定理 4（可积性）若函数列 S x n ( ) 在 [a,b] 上一致收敛，且每一项都连续，则 lim ( ) lim ( ) b b n n a a n n S x dx S x dx → → = 。 注：该定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换顺序； 注：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。 例： 设函数 n x x n n n x n n x f x n n n n 1 1 1 0, 2 1 2 2 , 2 1 2 ,0 ( ) − = ， n = 1,2, 。 定理 5（可微性）设 S x n ( ) 为定义在 [a,b] 上的函数列，若 S x n ( ) 收敛于 S x( ) ，S x n ( ) 的每一项在 [a,b] 上有连续的导数，且 S x n '( ) 在 [a,b] 上一致收敛，则 (lim ( )) lim ( ) n n n n d d S x S x dx dx → → = 。 注：在该定理的条件下可以证明 f n (x) 在区间 [a,b] 上一致收敛； 注：该定理指出：在一致收敛的条件下，求导运算与极限运算可以交换顺序； 注：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。 例：设函数列 ln(1 ) 2 1 ( ) 2 2 n x n f x = + ， n = 1,2, 。 下面讨论函数项级数的连续性，逐项求积与逐项求导的性质，它们都可由函数列的相应性质推出。 定理 6（连续性）若函数项级数 =1 ( ) n n u x 在区间 [a,b] 上一致收敛，且每一项 u (x) n 都连续，则其和函数也在 区间 [a,b] 上连续。 注：在一致收敛的条件下，求和运算与求极限运算可以交换顺序，即 = → = → = 1 1 (lim ( )) lim ( ( )) 0 0 n n x x n n x x u x u x 。 定理 7（逐项求积）若函数项级数 =1 ( ) n n u x 在区间 [a,b] 上一致收敛，且每一项 u (x) n 都连续，则
《数学分析(1,2,3)》教案 Σu,(x)=∑a,(x。 注:即在一致收敛的条件下,求(无限项)和运算与积分运算可以交换顺序 定理8逐项求导)若函数项级数∑n(x)在区间[ab]上每一项n(x)都有连续导函数,函数项级数∑un(x) 在[a]上收敛,且∑u(x)在区间[ab]上一致收敛,则 气)≈d区(x)。 注:即在一致收敛的条件下,求(无限项)和运算与求导运算可以交换顺序。 四函数项级数的一致收敛性判别法 1.用定义; 2.柯西准则 3.定理6; 4.定理9(魏尔斯特拉斯判别法,也称M判别法或优级数判别法) 设函数项级数∑un(x)定义在数集X上,若x∈D,有 n(x)≤an,n=12,… 且∑a收敛,则函数项级数∑v1(x)在X上一致收敛。 注:(1)应用此判别法的关键是:从n(x)出发找到所需的Mn。 (2)由此判别法所得结果是绝对一致收敛的。 5定理10若在有限区间[a]上连续函数序列{S(x)收敛于连续函数S(x),而对[ab]上每一x, S(x)是单调序列,则Sn(x)在[a]上一致收敛于S(x)。 定理11若在有限区间[b]上连续函数n(x)所组成的级数∑un(x)收敛于连续函数S(x),而对[b] 上每一x,级数的各项同号,则∑,(x)在[ab]上一致收敛于S(x) 阿贝尔判别法 定理12若在X上∑B(x)一致收敛,又对X上每一固定的x,数列a1(x)单调。而对任意的m和X中 每个x,有an(x)≤L,那么∑an(x)B1(x)在X上一致收敛。 11-4
《数学分析（1，2，3）》教案 11-4 = = u x dx n n b a ( ( )) 1 =1 ( ) n b a un x dx 。 注：即在一致收敛的条件下，求（无限项）和运算与积分运算可以交换顺序。 定理 8（逐项求导）若函数项级数 =1 ( ) n n u x 在区间 [a,b] 上每一项 u (x) n 都有连续导函数，函数项级数 =1 ( ) n n u x 在 a b, 上收敛，且 = 1 ( ) n n u x 在区间 [a,b] 上一致收敛，则 = = = 1 1 ( ( )) ( ( )) n n n n u x dx d u x dx d 。 注：即在一致收敛的条件下，求（无限项）和运算与求导运算可以交换顺序。 四 函数项级数的一致收敛性判别法 1．用定义； 2．柯西准则； 3．定理 6； 4．定理 9（魏尔斯特拉斯判别法，也称 M 判别法或优级数判别法） 设函数项级数 1 ( ) n n u x = 定义在数集 X 上，若 xD ，有 ( ) n n u x a ， n = 1,2, ， 且 1 n n a = 收敛，则函数项级数 1 ( ) n n u x = 在 X 上一致收敛。 注：（1）应用此判别法的关键是：从 u (x) n 出发找到所需的 M n 。 （2）由此判别法所得结果是绝对一致收敛的。 5. 定理 10 若在有限区间 a b, 上连续函数序列 S x n ( ) 收敛于连续函数 S x( ) ，而对 a b, 上每一 x ， S x n ( ) 是单调序列，则 S x n ( ) 在 a b, 上一致收敛于 S x( ) 。 定理 11 若在有限区间 a b, 上连续函数 u x n ( ) 所组成的级数 ( ) 1 n n u x = 收敛于连续函数 S x( ) ，而对 a b, 上每一 x ，级数的各项同号，则 ( ) 1 n n u x = 在 a b, 上一致收敛于 S x( ) 。 阿贝尔判别法 定理 12 若在 X 上 n ( x) 一致收敛，又对 X 上每一固定的 x ，数列 n ( x) 单调。而对任意的 n 和 X 中 每个 x ，有 n ( x L ) ，那么 n n ( x x ) ( ) 在 X 上一致收敛
《数学分析(1,2,3)》教案 例:若∑an收敛,则∑anx在[Q]上一致收敛。 6.狄立克莱判别法 定理13若在X上∑(x)的部分和一致有界,又对X上每一固定的x,数列an(x)单调,并且在X上一 致收敛于0。那么∑an(x)B(x)在x上一致收敛。 例,:讨论∑mrx在x,2上的一致收敛性 §2幂级数 收敛半径 定义1形如 >a,(x-xo)=a0+a,(x-xo)+a2(x-xo)2+ (1) 的函数项级数称为幂级数。 2特例:当x0=0,即在点零处展开的幂级数为 ∑ax"=a+a1x+a2x2+ 3若在(1)中令x-x=1,则(1)化为(2)的形式,故研究幂级数,一般研究在点零处的展开幂级数 即可。 4幂级数形式上的特点:一般项为an(x-x)”,从而所求的和是多项式(最简单函数),是一种比较简单 的函数项级数,因而具有一些特殊的性质。如收敛域一定是区间(退化区间—一点)。又在收敛域内可任意 次逐项求导和求积等,这些优点使其成为一类最常用的级数。 规定 ,当0<lim√an<∞时 R={∞,当 ilim v/a,=0时 定理1(柯西阿达玛定理)幂级数∑a(x-x0)在x-x<R内绝对收敛,在x-x>R内发散。 定义2称R为幂级数的收敛半径 l1-5
《数学分析（1，2，3）》教案 11-5 例：若 n a 收敛，则 n n x 在 0,1 上一致收敛。 6．狄立克莱判别法 定理 13 若在 X 上 n ( x) 的部分和一致有界，又对 X 上每一固定的 x ，数列 n ( x) 单调，并且在 X 上一 致收敛于 0。那么 n n ( x x ) ( ) 在 X 上一致收敛。 例：讨论 1 1 sin n nx n = 在 2 , 3 3 上的一致收敛性。 §2 幂级数 一 收敛半径 1 定义 1 形如 2 0 0 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) n n n a x x a a x x a x x = − = + − + − + （1） 的函数项级数称为幂级数。 2 特例：当 0 x = 0 ，即在点零处展开的幂级数为 2 0 1 2 0 n n n a x a a x a x = = + + + （2） 3 若在（1）中令 0 x x t − = ，则（1）化为（2）的形式，故研究幂级数，一般研究在点零处的展开幂级数 即可。 4 幂级数形式上的特点：一般项为 0 ( )n n a x x − ，从而所求的和是多项式（最简单函数），是一种比较简单 的函数项级数，因而具有一些特殊的性质。如收敛域一定是区间（退化区间——点）。又在收敛域内可任意 次逐项求导和求积等，这些优点使其成为一类最常用的级数。 规定 1 0 lim lim lim 0 0 lim n n n n n n n n n n n n a a R a a − − − − → → − − → − − → = = = ，当 时， ， 当 时， ， 当 时 定理 1 （柯西-阿达玛定理） 幂级数 0 0 ( )n n n a x x = − 在 0 x x R − 内绝对收敛，在 0 x x R − 内发散。 定义 2 称 R 为幂级数的收敛半径