《数学分析(1,2,3)》教案 第十八章含参变量的广义积分 一致收做的定义 定义1设函数f(x,y)定义在[a,+∞c上,称1(y)=f(x,y)含参变量的无穷积分 定义2设函数f(x,y)定义在[a,+∞,cd上,若VE>0,彐A=4(E)>a,当A,A>A时,对一切 ye[e,d],成立 f(x,y)b<E或,f(x,y) 就称含参无穷积分∫。f(xy)关于yeEd]_致收敛 定义3设∫(x,y)对于[小上的每一y值,以x=b为奇点的积分存在。若v>0,彐a=a(a)>0 当0<7,m<6时,对一切y∈[e,d],成立 f(xy)<E或f(x,y)d<E 就称含参无穷积分∫(xy)关于yE小一致收敛。 二一致收敛积分的判别法 以下假定积分f(x,y)d收敛。 定理1(魏尔斯特拉斯判别法)设有函数F(x),使得 (x,y)≤F(x),a≤x<+a,csy≤d 如果积分F(x)收敛,那么「fxy)关于y∈[d]一致收敛 例:证明含参无穷积分0d在一<y<+∞内一致收敛 三一致收敛积分的性质 1.连续性定理 定理设函数f(xy)在[a,+c上连续,「f(x,y关于y∈ed一致收敛,那么 1(y)=f(x,y)是[e,小]上的连续函数。 注:在定理的条件下,有 imf(xy)=。mf(xy 即极限运算可以通过积分号 2.积分顺序交换定理 定理3设函数f(x,)在[a,+:C:上连续,f(x,)关于ye[小一致收敛,那么
《数学分析（1，2，3）》教案 18-1 第十八章 含参变量的广义积分 一 一致收敛的定义 定义 1 设函数 f (x, y) 定义在 [ , ; , ] a c d + 上，称 ( ) ( , ) a I y f x y dx + = 含参变量的无穷积分。 定义 2 设函数 f (x, y) 定义在 [ , ; , ] a c d + 上，若 = 0 , A A a 0 0 ( ) , 当 0 A A A ', 时,对一切 y c d , ，成立 ' ( , ) A A f x y dx 或 ( , ) A f x y dx + 。 就称含参无穷积分 ( , ) a f x y dx + 关于 y c d , 一致收敛。 定义 3 设 ( , ) b a f x y dx 对于 c d, 上的每一 y 值，以 x b = 为奇点的积分存在。若 = 0 , 0 0 0 ( ) , 当 0 0 , ' 时，对一切 y c d , ，成立 ' ( , ) b b f x y dx − − 或 ( , ) b b f x y dx − ， 就称含参无穷积分 ( , ) b a f x y dx 关于 y c d , 一致收敛。 二 一致收敛积分的判别法 以下假定积分 ( , ) a f x y dx + 收敛。 定理 1（魏尔斯特拉斯判别法）设有函数 F x( ) ，使得 f x y F x a x c y d ( , , , ) + ( ) 如果积分 ( ) a F x dx + 收敛，那么 ( , ) a f x y dx + 关于 y c d , 一致收敛。 例：证明含参无穷积分 + 0 + 2 1 cos dx x xy 在 − y + 内一致收敛。 三 一致收敛积分的性质 1. 连续性定理 定 理 2 设 函 数 f (x, y) 在 [ , ; , ] a c d + 上连续， ( , ) a f x y dx + 关 于 y c d , 一致收敛，那么 ( ) ( , ) a I y f x y dx + = 是 c d, 上的连续函数。 注：在定理的条件下，有 ( ) ( ) 0 0 lim , lim , y y y y a a f x y dx f x y dx + + → → = ， 即极限运算可以通过积分号。 2.积分顺序交换定理. 定理 3 设函数 f (x, y) 在 [ , ; , ] a c d + 上连续， ( , ) a f x y dx + 关于 y c d , 一致收敛，那么
《数学分析(1,2,3)》教案 d(xy)=j∫f(x,yt 注:在定理的条件下,累次积分可交换求积分的次序。 例:计算积分/=C"cem1bma,(p>0,b>a) 3.积分号下求导定理. 定理4设函数f(x,y),f(xy在[a,+mC4上连续,「f(xy)存在,∫。f(x,y)d关于 y∈[c,d]致收敛。那么 cy o y(,y)dr=[/,(x,y)dx 也就是微分运算可以通过积分号。 例:计算积分 sIn ax 例;证明含参量非正常积分∫在[6,+∞)上一致收敛,其中δ>0.但在区间(0,+∞)内非一致 y 收敛。 4.含参无穷积分与函数项级数的关系 定理5积分(y)=」f(x,y)在e,]上一致收敛分对任一数列{A}(4=a),A’+∞,函数项 级数∑∫f(x,y)x=∑y)在l,d上一致收敛 四欧拉(Buer)积分 介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数,即r(s)和B(p,q).它们统称为 Euler积分在积分计算等方面 它们是很有用的两个特殊函数 1.Beta函数B(P,q) (1)Beta函数及其连续性: 称(含有两个参数的)含参积分[x(1-x-(p>0,q>0)为Beta函数当p和q中至少有一个小于 1时,该积分为瑕积分。下证对p>0,q>0,该积分收敛。由于p,q<1时点x=0和x=1均为瑕点,故 把积分分成和」考虑 p≥1时为正常积分;当0<p<1时,点x=0为瑕点。由被积函数非负, xPxP(1-x)1→)1,(x→0)和1-p<1 18-2
《数学分析（1，2，3）》教案 18-2 ( , ) ( , ) d d a c c a dx f x y dy dy f x y dx + + = 。 注：在定理的条件下，累次积分可交换求积分的次序。 例：计算积分 + − − = 0 , ( 0 , ) sin sin dx p b a x bx ax I e px 。 3. 积分号下求导定理. 定理 4 设函数 f (x, y) ， ( , ) y f x y 在 [ , ; , ] a c d + 上连续， ( , ) a f x y dx + 存在， ( , ) y a f x y dx + 关于 y c d , 一致收敛。那么 ( , ) ( , ) y a a d f x y dx f x y dx dy + + = ， 也就是微分运算可以通过积分号。 例：计算积分 0 sin axdx x + 。 例：证明含参量非正常积分 + 0 sin dy y xy 在 [ , + ) 上一致收敛，其中 0 。但在区间 ( 0 , + ) 内非一致 收敛。 4. 含参无穷积分与函数项级数的关系 定理 5 积分 ( ) ( , ) a I y f x y dx + = 在 [ , ] c d 上一致收敛 对任一数列 { } An 1 ( ) A a = , An ↗ + , 函数项 级数 1 1 1 ( , ) ( ) n n A n A n n f x y dx u y + = = = 在 [ , ] c d 上一致收敛。 四 欧拉（Euler）积分 介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数, 即 ( )s 和 B( p,q) .它们统称为Euler 积分.在积分计算等方面, 它们是很有用的两个特殊函数 1. Beta 函数 B( p, q) （1） Beta 函数及其连续性： 称(含有两个参数的)含参积分 − − − 1 0 1 1 x (1 x) dx p q ( p 0 , q 0 ) 为 Beta 函数。当 p 和 q 中至少有一个小于 1 时, 该积分为瑕积分。下证对 p 0 , q 0 , 该积分收敛。由于 p , q 1 时点 x = 0 和 x =1 均为瑕点，故 把积分 1 0 分成 2 1 0 和 1 2 1 考虑。 2 1 0 : p 1 时为正常积分; 当 0 p 1 时, 点 x = 0 为瑕点。由被积函数非负, (1 ) 1, ( 0 ) 1− −1 −1 → → + x x − x x p p q 和 1− p 1
《数学分析(1,2,3)》教案 (由 Cauchy判法)→积分2收敛(易见p=0时积分2发散) 2921时为正常积分,当0<p<1时,点x=1为瑕点由被积函数非负, (1-x)(1-x)x→1,(x→>1)和1-q<1 (由 Cauchy判法)→积分」收敛(易见q=0时积分」发散) 综上当p>0,9>0时积分收敛设D={(9)0<P<+,0<q<+}, 于是,积分[定义了D内的一个二元函数称该函数为Beta函数,记为B(p,q),即 B(p, q)=xP-(1-x)dx (P>0,q>0) 不难验证,B一函数在D内闭一致收敛.又被积函数在D内连续,因此B-函数是D内的二元连续函 (2)B-函数的对称性:B(P,q)=B(q,p) 由于B-函数的两个变元是对称的,因此,其中一个变元具有的性质另一个变元自然也具有 2.Gama函数r(s) (1)Gama函数 考虑无穷限含参积分 当0<s<1时,点x=0还是该积分的瑕点因此我们把该积分分为[+[来讨论其敛散性 ≥1时为正常积分.0<s<1时,xex>0.利用非负函数积的 Cauchy判别法,注意到 imx(xe)=1,1-s<1→当0<s<1时积分收敛(易见当s=0时,仍用 Cauchy判别法判 得积分发散)因此,S>0时积分[收敛 「:x2:xe=x"e2→0,(x→+)对s∈R成立因此积分厂对vs∈R收敛 综上,S>0时积分x2e收敛称该积分为 Euler第二型积分 Euler第二型积分定义了s∈(0,+∞) 内的一个函数,称该函数为 Gamma函数,记为r(s),即 T(s) d x F-函数是一个很有用的特殊函数 (2)T-函数的连续性和可导性 I(s)在区间(0,+∞)内非一致收敛这是因为S=0时积分发散这里利用了下面的结果:若含参广义积分
《数学分析（1，2，3）》教案 18-3 ( 由 Cauchy 判法) 积分 2 1 0 收敛. ( 易见 p = 0 时积分 2 1 0 发散 ). 1 2 1 : q 1 时为正常积分; 当 0 p 1 时, 点 x =1 为瑕点.由被积函数非负, (1 ) (1 ) 1, ( 1 ) 1− −1 −1 → → − − x − x x x q q p 和 1− q 1, ( 由 Cauchy 判法) 积分 1 2 1 收敛. ( 易见 q = 0 时积分 1 2 1 发散 ). 综上, 当 p 0 , q 0 时积分 1 0 收敛. 设 D = { ( p,q) | 0 p + , 0 q +} , 于是, 积分 1 0 定义了 D 内的一个二元函数.称该函数为 Beta 函数, 记为 B( p, q) , 即 B( p, q) = − − − 1 0 1 1 x (1 x) dx p q ( p 0 , q 0 ) 不难验证, B − 函数在 D 内闭一致收敛. 又被积函数在 D 内连续, 因此, B − 函数是 D 内的二元连续函 数. （2） B − 函数的对称性: B( p, q) = B(q, p) . 由于 B − 函数的两个变元是对称的, 因此, 其中一个变元具有的性质另一个变元自然也具有. 2．Gamma 函数 (s) （1）Gamma 函数 考虑无穷限含参积分 + − − 0 1 x e dx s x , ( s 0 ) 当 0 s 1 时, 点 x = 0 还是该积分的瑕点. 因此我们把该积分分为 + + 1 1 0 来讨论其敛散性 . 1 0 : s 1 时 为 正常 积 分. 0 s 1 时 , 0 1 s− −x x e . 利 用非 负 函 数积 的 Cauchy 判别法, 注意 到 lim ( ) 1, 1 1 1 1 0 − − − = − → + x x e s s s x x 当 0 s 1 时积分 1 0 收敛. (易见当 s = 0 时, 仍用 Cauchy 判别法判 得积分发散). 因此, s 0 时积分 1 0 收敛. + 1 : 0 , ( ) 2 1 1 = → → + − − + − x x e x e x s x s x 对 s R 成立,.因此积分 + 1 对 s R 收敛. 综上, s 0 时积分 + − − 0 1 x e dx s x 收敛. 称该积分为Euler 第二型积分. Euler 第二型积分定义了 s ( 0 , + ) 内的一个函数, 称该函数为 Gamma 函数, 记为 (s) , 即 (s) = + − − 0 1 x e dx s x , ( s 0 ). −函数是一个很有用的特殊函数. （2） −函数的连续性和可导性: (s) 在区间 ( 0 , + ) 内非一致收敛.这是因为 s = 0 时积分发散. 这里利用了下面的结果: 若含参广义积分
《数学分析(1,2,3)》教案 在y∈(a,b]内收敛,但在点y=a发散,则积分在(a,b]内非一致收敛但r(S)在区间(0,+∞)内闭一致 收敛即在任何[ab]<(0,+∞)上,r(s)一致收敛因为0<a<b时,对积分「,有xe≤x“"e, 而积分x“c“d收敛对积分, xe-sxb-le,而积分xc“收敛由M判法它们都 致收敛, 积分[xedx在区间ab]上一致收敛 作类似地讨论可得积分(x2c)也在区间(0,+∞)内闭一致收敛于是可得如下结论 I(s)的连续性:I(s)在区间(0,+∞)内连续 I(s)的可导性:I(s)在区间(0,+∞)内可导,且 r(s)=a(xe)k=x2c”hx 同理可得:I(s)在区间(0,+∞)内任意阶可导,且 '(s)=x-e"(hx)dx (3)I(s)的递推公式,一函数表 r(S)的递推公式:I(s+1)=sI(s)(S>0) 证s+D="xead=x(e-)hr xs-le-xdx dx=sr(s) r(1) 于是,利用递推公式得 r(2)=r(1+1)=lr(l)=1, r(3)=I(2+1)=2I(2)=2·1=2!, r(4)=I(3+1)=3I(3)=32l=3 般地有I(n+1)=nI(m)=n(n-1)I(n-1)=…=n! 可见,在Z+上,I(s)正是正整数阶乘的表达式倘定义s!=I(s+1),易见对s>-1,该定义是有意义的因 此,可视I(S+1)为(-1,+∞)内实数的阶乘这样一来,我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了(-1,+∞) 内的所有实数上,于是,自然就有O=r(0+1)=I(1)=1,可见在初等数学中规定0=1是很合理的
《数学分析（1，2，3）》教案 18-4 在 y ( a , b ] 内收敛, 但在点 y = a 发散, 则积分在 ( a , b ] 内非一致收敛.但 (s) 在区间 ( 0 , + ) 内闭一致 收敛.即在任何 [a,b] ( 0 , + ) 上, (s) 一致收敛. 因为 0 a b 时, 对积分 1 0 , 有 s x a x x e x e − − − − 1 1 , 而积分 − − 1 0 1 x e dx a x 收敛.对积分 + 1 , s x b x x e x e − − − − 1 1 , 而积分 + − − 1 1 x e dx b x 收敛.由 M—判法,它们都一 致收敛, 积分 + − − 0 1 x e dx s x 在区间 [a,b] 上一致收敛. 作类似地讨论,可得积分 x e dx s s x ( ) 1 0 − − + 也在区间 ( 0 , + ) 内闭一致收敛.于是可得如下结论: (s) 的连续性: (s) 在区间 ( 0 , + ) 内连续. (s) 的可导性: (s) 在区间 ( 0 , + ) 内可导, 且 + + − − − − = = 0 0 1 1 ( ) (x e )dx x e ln xdx s s s x s x . 同理可得: (s) 在区间 ( 0 , + ) 内任意阶可导,且 + − − = 0 ( ) 1 (s) x e (ln x ) dx n s x n . （3） (s) 的递推公式， −函数表 (s) 的递推公式 : (s +1) = s(s), ( s 0 ) . 证 + + − − + = = − 0 0 (s 1) x e dx x (e ) dx s x s x + + − + − − − − = − + = = 0 0 1 1 0 x e s x e dx s x e dx s (s) s x s x s x . + + − − − = = = 0 0 1 1 (1) x e dx e dx 1 x x . 于是, 利用递推公式得: (2) = (1+1) = 1(1) = 1 , (3) = (2 +1) = 2(2) = 2 1 = 2!, (4) = (3 +1) = 3(3) = 3 2!= 3! , …………, , 一般地有 (n +1) = n(n) = n(n −1)(n −1) = = n!. 可见, 在 + Z 上, (s) 正是正整数阶乘的表达式. 倘定义 s!= (s +1), 易见对 s −1,该定义是有意义的.因 此,可视 (s +1) 为 ( −1, + ) 内实数的阶乘.这样一来, 我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了 ( −1, + ) 内的所有实数上,于是, 自然就有 0!= (0 +1) = (1) = 1, 可见在初等数学中规定 0!=1 是很合理的
《数学分析(1,2,3)》教案 例;计算积分fx2c 18-5
《数学分析（1，2，3）》教案 18-5 例：计算积分 + − 0 2 2 x e dx n x