山东理工大学：《数学分析》课程授课教案（讲义）第十四章 多元函数微分学

《数学分析(1,2,3)》教案 第十四章多元函数微分学 §1偏导数和全微分的概念 偏导数的定义 偏导数定义 定义1设f(x,y)是一个二元函数,定义在R2内某一个开集D内,点(x0,y)∈D,在f(xy)中固 定y=y,那么f(x,y)是一个变元x的函数,如果f(x,y)在点x0可导,即如果 lim f(xo+Ax, yo)-f(xo, y (1) Ax→>0 存在,则称此极限值为二元函数/(x)在点(x,)关于x的偏导数。记为(2,(而,x) 类似地可定义9(,) 2.偏导数的计算 例:设f(xy)=习,求偏导数f, 例: 求 2=xcsx,求x和x3 例:U=x2+y2+yzex求l2 3.偏导数和连续 若f(x,y)在点(x,y)关于x(或y)可导,则f(xy)在(x,y)关于x(或y)连续。但不能推出f(x,y) 关于两个变量是连续的。见下面的例子 例:(xy)={x+y2(xy)≠(00 (x,y)=(0,0) f(,y) =x或y=y 其它 4.偏导数的几何意义 (10.f(x,y)就是曲线x=xy=y0,=f(xy)在M6(x,y,=)的切向量 14-1

《数学分析（1，2，3）》教案 14-1 第十四章 多元函数微分学 §1 偏导数和全微分的概念 一 偏导数的定义 1． 偏导数定义 定义 1 设 f x y ( , ) 是一个二元函数，定义在 2 R 内某一个开集 D 内，点（ 0 x ， 0 y ）  D， 在 f x y ( , ) 中固 定 0 y y = ,那么 f x y ( , 0 ) 是一个变元 x 的函数，如果 f x y ( , 0 ) 在点 0 x 可导，即如果 0 lim x → f x x y f x y ( 0 0 0 0 , , ) ( ) x +  − −  (1) 存在，则称此极限值为二元函数 f x y ( , ) 在点（ 0 x , 0 y ）关于 x 的偏导数。记为 f x y ( 0 0 , ) x   ， f x y x ( 0 0 , ) 。 类似地可定义 f x y ( 0 0 , ) y   。 2． 偏导数的计算 例: 设 f x y xy ( , ) = ，求偏导数 f x ， f y 。 例： z x xy = cos ，求 x z 和 y z 。 例：U= 2 x + 2 y +yz x−8 e 求 x u ， y u ， z u 。 3. 偏导数和连续 若 f x y ( , ) 在点 ( x y, ) 关于 x （或 y ）可导，则 f x y ( , ) 在 ( x y, ) 关于 x （或 y ）连续。但不能推出 f x y ( , ) 关于两个变量是连续的。见下面的例子。 例： ( ) 2 2 , 0 xy f x y x y   =  +   ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) =  x y x y ； ( ) 2 , 1 f x y  =   0 0 x x y y = = 或 其它 。 4. 偏导数的几何意义 (1,0, , f x y x ( 0 0 )) 就是曲线 x x y y u f x y = = = , , , 0 0 ( ) 在 M x y z 0 0 0 0 ( , , ) 的切向量

《数学分析(1,2,3)》教案 (0.f(x,y)就是曲线x=x,y=y=f(x,y)在M6(x,y)的切向量 全微分的定义 二元函数微分的定义 定义2若函数u=f(x,y)的全改变量△可表示为 △M=f(x+Ax,y+Ay)-f(xy)=AAx+BAy+o(√△x2+Ay 且其中A,B与Ax,△y无关而仅与x,y有关,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微,并称AAx+B△y为 f(x,y)在点(xy)的全微分,记为dhm,即 d=AAx+B△y 性质1如果∫在点(x0,y0)可微,则A=(x, 注:若u=f(x,y)在点(x,y)可微,则d=f(xy)a+f(x,y)。 性质2若∫在点(x0’y)可微,则f在点(x0,y)连续。 例:设 (xy)={x+yp,x+y2≠0 证明∫(x,y)在(0.0)点不可微。 定理1设函数∫的两个偏导数 af af 在点(x0,y)存在而且都连续,则∫在点(x0,y)可微。 例:设u=xy-sinx2y,求dh 三高阶偏导数与高阶全微分 类似于一元函数的高阶导数,可以定义高阶偏导数。 例:设z=x3y2+ cos xy,求 a= a 8= a2-a 注:一般情况下,未必有un=ly 例,设(x)={2+y(x=0,可求得,(00=1,(00=1 0 14-2

《数学分析（1，2，3）》教案 14-2 (0,1, , f x y y ( 0 0 )) 就是曲线 x x y y u f x y = = = 0 0 , , , ( ) 在 M x y z 0 0 0 0 ( , , ) 的切向量。 二 全微分的定义 二元函数微分的定义 定义 2 若函数 u f x y = ( , ) 的全改变量 u 可表示为 u = f ( x + x , y + y ) − f x y ( , ) = A x + B y + o ( 2 2 x + y ) 且其中 A B, 与 x ， y 无关而仅与 x y , 有关，则称函数 f x y ( , ) 在点 ( x y, ) 可微，并称 A x B y  +  为 f x y ( , ) 在点 ( x y, ) 的全微分，记为 du ，即 du A x B y =  +  。 性质 1 如果 f 在点（ 0 x , 0 y ）可微，则 f x y ( 0 0 , ) A x  =  ， f x y ( 0 0 , ) B y  =  。 注：若 u f x y = ( , ) 在点 ( x y, ) 可微，则 du f x y dx f x y dy = + x y ( , , ) ( ) 。 性质 2 若 f 在点（ 0 x ， 0 y ）可微，则 f 在点（ 0 x ， 0 y ）连续。 例：设 ( ) 2 2 2 2 2 2 , 0 , 0, 0 xy x y f x y x y x y  +   =  +   + = 证明 f x y ( , ) 在 (0, 0) 点不可微。 定理 1 设函数 f 的两个偏导数 x f   ， y f   在点（ 0 x ， 0 y ）存在而且都连续，则 f 在点（ 0 x ， 0 y ）可微。 例：设 2 u xy x y = −sin ，求 du 。 三 高阶偏导数与高阶全微分 类似于一元函数的高阶导数，可以定义高阶偏导数。 例：设 3 2 z x y xy = + cos ，求 x z   ， y z   ； 2 2 x z   ， y x z    2 ； 3 3 x z   ， y x z    2 3 。 注：一般情况下，未必有 xy yx u u = 。 例： 设 ( ) 2 2 2 2 , 0 x y xy f x y x y  −  =  +   ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) =  x y x y ，可求得 f xy (0,0 1 ) = − ， f yx (0,0 1 ) =

《数学分析(1,2,3)》教案 定理2设二元函数的两个混合偏导数∫,∫在(x,y)连续,则有∫(x,y)f(x0,y0) §2求复合函数求导的链式法则 复合函数求导的链式法则 定理1(链式法则)设=f(xy),x=p(s,1),y=(,1),此时∫在点(x,y)可微,又x和y都在点(1) 关于s,t的偏导数存在,则 at ax at ay at 说明:(1)几种特殊情形:定理1显然讲的是2个中间变量,2个自变量的情形,但其思想方法完全适用与其 它情形: 1)=f(x,y),x=x(1),y=y().则 2)设u=f(x,y,1),x=x(S,D),y=y(S,1).则 as ax as as at as at ax at ay at at at 例:设=f(x1)在R2内有关于u和的二阶连续偏导数,又设=x2y,y=2。求2, (2)计算复合函数的两阶及两阶以上偏导数,只要重复运用链式法则即可 (3)有时,为书写上方便,记=9,即/(xn)关于第一个变量m的偏导数 =9,即(x关于第一个变量的偏导数f1=可,后1=,2=y au? 例:设厂二阶可微,=f(x2c2)求,在 例:设∫二阶可微,z=f(x2-2y2),求 (4)链式法则链式法则中的条件是充分的,并非必要的。在使用链式法则时,要注意∫的可微性条件,如 果不满足这一条件,链式法则不一定成立 14-3

《数学分析（1，2，3）》教案 14-3 定理 2 设二元函数的两个混合偏导数 f xy ， f yx 在( 0 x ， 0 y )连续，则有 f xy ( 0 x , 0 y )= f yx ( 0 x , 0 y )。 §2 求复合函数求导的链式法则 一 复合函数求导的链式法则 定理 1（链式法则）设 u f x y = ( , )，x s t y s t = =   ( , , , ) ( ) ，此时 f 在点 （x y, ） 可微，又 x 和 y 都在点 ( , ) st 关于 st , 的偏导数存在，则 ; . u u x u y s x s y s u u x u y t x t y t      =  +            =  +       说明：(1) 几种特殊情形：定理 1 显然讲的是 2 个中间变量，2 个自变量的情形，但其思想方法完全适用与其 它情形： 1） u f x y x x t y y t = = = ( , ), ( ), ( ). 则 u u x u y t x t y t      =  +       。 2）设 u f x y t x x s t y y s t = = = ( , , ), ( , ), ( , ). 则 u u x u y u zt s x s y s t s u u x u y u t t x t y t t t        =  +  +                =  +  +         例： 设z = f (u,v)在R 2内有关于u和v的二阶连续偏导数， 又设 x y u = x y,v = 2 。求 。 y z x z     , （2） 计算复合函数的两阶及两阶以上偏导数，只要重复运用链式法则即可。 （ 3 ） 有 时 ， 为 书 写 上 方 便 ， 记 ( , ) ; ' 1 ，即f u v 关于第一个变量u的偏导数 u f f   = ( , ) ; ' 2 ，即f u v 关于第一个变量v的偏导数 v f f   = 2 2 ' 22 2 ' 2 12 ' 11 , v f f u v f f u f f   =    =   = ， 。 例： 2 2 2 ( , ), , x dz dz f z f x e dx dx 设 二阶可微， = 求 。 例： 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 ), , , . d z z z f z f x y x y x y    = −     设 二阶可微， 求 （4）链式法则链式法则中的条件是充分的，并非必要的。在使用链式法则时，要注意 f 的可微性条件，如 果不满足这一条件，链式法则不一定成立

《数学分析(1,2,3)》教案 阶微分形式不变性 阶微分有个很重要性质一—一形式不变性。在二元函数中也有类似的性质 设二=f(x,y)是二元可微函数,如果x,y是自变量,则 az d=d+d.(dx,d各自独立变量) 如果x,y不是自变量而是中间变量,x=x(u,v),y=y(u,v),又设x,y都可微,并且f,x,y可以构成复合函 dz=-du +-dv az ax az ay ax az ay (d,d如上,由u,v,dh,d决定) 由(1),(2)的d可知一阶微分形式的不变性。 注意(1)两阶微分没有这一性质,如下例 例:设二=x+y,x=l2,y=l+V.z=u2y++.则 a dudy+--dv=2vdu+ 4ududy 如果二阶微分只有形式不变性,则有: d==dx+2-dxdy+dy axon 但 =0,从而d2z=0 (2)利用一阶微分形式不变性求偏导数 例:设z=esin(x+y),利用微分形式不变性求d,并求出 (3)高阶微分不具有形式不变性 §3由方程(组)所确定的函数的求导法 在此之前,我们所接触的函数,其表达式大多是自变量的某个算式,如 14-4

《数学分析（1，2，3）》教案 14-4 二 一阶微分形式不变性 一阶微分有个很重要性质——形式不变性。在二元函数中也有类似的性质。 设 z = f (x, y) 是二元可微函数，如果 x, y 是自变量，则： dy. y z dx x z dz   +   = （ dx,dy 各自独立变量） （1） 如果 x, y 不是自变量而是中间变量， x = x(u,v), y = y(u,v), 又设 x, y 都可微，并且 f , x, y 可以构成复合函 数，那么： dv v z du u z dz   +   = ( , 如上，由 , , , 决定)。 . ( ) ( ) ( ) ( ) dx dy u v du dv dy y z dx x z dv v y du u y y z dv v x du u x x z v y y z v x x z u y y z su x x z   +   =   +     +   +     =     +      +      +      = （2） 由（1），（2）的 dz 可知一阶微分形式的不变性。 注意（1）两阶微分没有这一性质，如下例。 例：设 2 z x y x u v y u v = + = = + , , . 2 z u v u v = + + . 则 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 z z z d z du dudv dv vdu ududv u u v v    = + + = +     如果二阶微分只有形式不变性，则有： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dy y z dxdy x y z dx x z d z   +    +   = 但 2 2 2 2 2 2 0 0 z z z d z x x y y    = + = =     ，从而 （2）利用一阶微分形式不变性求偏导数 例：设 sin( ) , xy z e x y = + 利用微分形式不变性求 dz, 并求出 , . z z x y     （3）高阶微分不具有形式不变性。 §3 由方程（组）所确定的函数的求导法 在此之前，我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如

《数学分析(1,2,3)》教案 y=x+5,u=e(sin xy +sin y=) 这种形式的函数称为显函数。但在不少场合常会遇到另一种形式的函数,其自变量与因变量之间的对应法则 是由一个方程式所决定的。这种形式的函数称为隐函数 本节将介绍由一个方程F(x,y,=)=0所确定的隐函数求导法以及由方程组 F(x,y,=,u,v)=0 G(x,y.n)=0 所确定 的隐函数求导法。 一个方程F(x,y,)=0的情形 对F(x,y,z)=0关于x,y求导,利用链式法则: aF aFaF az z OF aF az z =0三 (F≠0) x az ax x a= a az 说明:(1)求,需要假定a(F)≠0,这一假设是很重要的:(2)这里只用到了“链式法则 (3)对F(x,y,z)=0求导,只在假定z是x和y的函数的情况下,求导数,如何确定z=x(x,y)。 例:设 求 例:设F二阶可微,F(x,y-,x=)=0,求x,=y,y 方程组的情形 设由方程组 ∫F(xy=1)=0 (x2a")=D确定了,是x,y的函数:u=(x,y,=)V=(xy2)并且它们具 有对各个变元的连续偏导数,如何求偏导数? FF F y F 「F+Fu,+FV=0 GG 解决方案 IG, +G, u,+G,v,=0 FF FF 求,",及u,v的方法与求n2"2完全相同 例:设x=r0sO,y=rinO,求rn,rO,, x+v+=+u+v=0 例:设 x2+y2+z2+u2+y2=2 14-5

《数学分析（1，2，3）》教案 14-5 5 , (sin sin ) xyz y x u e xy yz = + = + 这种形式的函数称为显函数。但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则 是由一个方程式所决定的。这种形式的函数称为隐函数。 本节将介绍由一个方程 F(x, y,z) = 0 所确定的隐函数求导法以及由方程组    = = ( , , , , ) 0 ( , , , , ) 0 G x y z u v F x y z u v 所确定 的隐函数求导法。 一 一个方程 F(x, y,z) = 0 的情形 对 F(x, y,z) = 0 关于x，y求导，利用链式法则： 0 ( 0); 0 ( 0) z z F F F F z z F F z z x y F F x z x x x z y y F F z z             + =  = −  + =  = −              说明：（1） 求 y z x z     , 需要假定 ( )  0,   Fz z F ，这一假设是很重要的；（2） 这里只用到了“链式法则”； （3） 对 F(x, y,z) = 0 求导，只在假定 z是x和y 的函数的情况下，求导数，如何确定 z = z(x, y) 。 例： 设 2 2 2 2 2 2 2 x y z r a b c + + = ，求 y z x z     , 。 例： 设 F 二阶可微， F xy y z xz ( , , ) 0 − = ，求 x y xy z ,z ,z 。 二 方程组的情形 设由方程组    = = ( , , , , ) 0 ( , , , , ) 0 G x y z u v F x y z u v 确定了 u,v是x, y,z的函数：u = u(x, y,z), v = v(x, y,z) 并且它们具 有对各个变元的连续偏导数，如何求偏导数？ 解决方案： 0 0 x u x v x x u x v x F F u F v G G u G v  + + =   + + =  x v x v x u v u v F F G G U F F G G = y x u x x u v u v F F G G V F F G G = 求 , , y y z z x x u v u v u v 及 ， 的方法与求 完全相同。 例：设 x y x y x = r cos , y = rsin  ,求r ,r  , 。 例：设 2 2 2 2 2 0 , , , , 2 u u uu uu x y z u v x y x y x y z u v  + + + + =   + + + + = 求