《数学分析(1,2,3)》教案 第十三章多元函数的极限和连续性 §1、平面点集 邻域、点列的极限 定义1在平面上固定一点M6(x2y),凡是与M的距离小于E的那些点M组成的平面点集,叫做M6的 E邻域,记为O(Mo,6) 定义2设Mn=(x,yn),M=(x,%)。如果对M0的任何一个E邻域O(M0E),总存在正整数N,当 n>N时,有M∈O(M05)。就称点列{M}收敛,并且收敛于M0,记为 lim m=M或 (xn,y)→>(xny)(n→>∞) 性质:(1)(x,y)→(xy)分x→x,yn→ (2)若{M}收敛,则它只有一个极限,即极限是唯一的。 二开集、闭集、区域 设E是一个平面点集 1.内点:设M0∈E,如果存在M的一个δ邻域O(M0,),使得O(M,δ)cE,就称M0是E的内点 2.外点:设MEE,如果存在M1的一个n邻域O(M,m),使得O(M,)⌒E=Φ,就称M是E的 外点 3.边界点:设M是平面上的一点,它可以属于E,也可以不属于E,如果对M的任何E邻域O(M,5) 其中既有E的点,又有非E中的点,就称M,是E的边界点。E的边界点全体叫做E的边界 4.开集:如果E的点都是E的内点,就称E是开集 5.聚点:设M是平面上的一点,它可以属于E,也可以不属于E,如果对M的任何E邻域O(M,E), 至少含有E中一个(不等于M,的)点,就称M,是E的聚点 性质:设M是E的聚点,则在E中存在一个点列{Mn}以M为极限 6.闭集:设E的所有聚点都在E内,就称E是闭集。 7.区域:设E是一个开集,并且E中任何两点M1和M2之间都可以用有限条直线段所组成的折线连接起 来,而这条折线全部含在E中,就称E是区域。一个区域加上它的边界就是一个闭区域 平面点集的几个基本定理 1.矩形套定理:设{an≤x≤b,cn≤y≤dn}是矩形序列,其中每一个矩形都含在前一个矩形中,并且 13-1
《数学分析（1，2，3）》教案 13-1 第十三章 多元函数的极限和连续性 §1、平面点集 一 邻域、点列的极限 定义 1 在平面上固定一点 M x y 0 0 0 ( , ) ，凡是与 M0 的距离小于 的那些点 M 组成的平面点集，叫做 M0 的 邻域，记为 O M( 0 , )。 定义 2 设 M x y n n n = ( , ) ，M x y 0 0 0 = ( , ) 。如果对 M0 的任何一个 邻域 O M( 0 , ) ，总存在正整数 N ，当 n N 时，有 M O M n ( 0 , ) 。就称点列 M n 收 敛 ， 并 且 收 敛 于 M0 ，记为 0 lim n n M M → = 或 ( x y x y n n n , , ) → → ( 0 0 )( ) 。 性质：（1） ( x y x y x x y y n n n n , , , ) → → → ( 0 0 0 0 ) 。 （2）若 M n 收敛，则它只有一个极限，即极限是唯一的。 二 开集、闭集、区域 设 E 是一个平面点集。 1． 内点：设 M E 0 ，如果存在 M0 的一个 邻域 O M( 0 , ) ，使得 O M E ( 0 , ) ，就称 M0 是 E 的内点。 2． 外点：设 M E 1 ，如果存在 M1 的一个 邻域 O M( 1 ,) ，使得 O M E ( 1 ,) = ，就称 M1 是 E 的 外点。 3． 边界点：设 M* 是平面上的一点，它可以属于 E ，也可以不属于 E ，如果对 M* 的任何 邻域 O M( * , ) ， 其中既有 E 的点，又有非 E 中的点，就称 M* 是 E 的边界点。 E 的边界点全体叫做 E 的边界。 4． 开集：如果 E 的点都是 E 的内点，就称 E 是开集。 5． 聚点：设 M* 是平面上的一点，它可以属于 E ，也可以不属于 E ，如果对 M* 的任何 邻域 O M( * , ) ， 至少含有 E 中一个（不等于 M* 的）点，就称 M* 是 E 的聚点。 性质：设 M0 是 E 的聚点，则在 E 中存在一个点列 M n 以 M0 为极限。 6． 闭集：设 E 的所有聚点都在 E 内，就称 E 是闭集。 7． 区域：设 E 是一个开集，并且 E 中任何两点 M1 和 M2 之间都可以用有限条直线段所组成的折线连接起 来，而这条折线全部含在 E 中，就称 E 是区域。一个区域加上它的边界就是一个闭区域。 三 平面点集的几个基本定理 1．矩形套定理：设 a x b c y d n n n n , 是矩形序列，其中每一个矩形都含在前一个矩形中，并且
《数学分析(1,2,3)》教案 bn-an→>0,dn-cn→>0,那么存在唯一的点属于所有的矩形 2致密性定理:如果序列{M(xn,y)有界,那么从其中必能选取收敛的子列 3有限覆盖定理:若一开矩形集合{4}={a<x<B,y<y<}覆盖一有界闭区域。那么从{△}里,必可选 出有限个开矩形,他们也能覆盖这个区域 4.收敛原理:平面点列{M}有极限的充分必要条件是:对任何给定的E>0,总存在正整数N,当n,m>N 时,有r(M,Mn)<E §2多元函数的极限和连续 多元函数的概念 不论在数学的理论问题中还是在实际问题中,许多量的变化,不只由一个因素决定,而是由多个因素决 定。例如平行四边行的面积A由它的相邻两边的长x和宽y以及夹角所确定,即A= lysin 6;圆柱体体积 丿由底半径r和高h所决定,即V=mh。这些都是多元函数的例子 般地,有下面定义 定义1设E是R2的一个子集,R是实数集,∫是一个规律,如果对E中的每一点(x,y),通过规律∫, 在R中有唯一的一个a与此对应,则称∫是定义在E上的一个二元函数,它在点(x,y)的函数值是,并记 此值为f(x,y),即u=f(x,y) 有时,二元函数可以用空间的一块曲面表示出来,这为研究问题提供了直观想象。例如,二元函数 R 就是一个上半球面,球心在原点,半径为R,此函数定义域为满足关系式x2+y2≤R2 的x,y全体,即D={(x,y)x2+y2≤R2}。又如,Z=xy是马鞍面 二多元函数的极限 定义2设E是R2的一个开集,A是一个常数,二元函数f(M)=f(x,y)在点M0(x,y)∈E附近有定 义.如果VE>0,彐6>0,当0<r(M,M)<6时,有f(M)-A<E,就称A是二元函数在M0点的 极限。记为1imnf(M)=A或f(M)→>A(M→M) 定义的等价叙述1设E是R2的一个开集,A是一个常数,二元函数f(M)=f(x,y)在点M6(x,)∈E 附近有定义.如果vE>0,36>0,当0≤√x-x)+(y-1)2<6时,有(xy)-4<6,就称A是 13-2
《数学分析（1，2，3）》教案 13-2 0 n n b a − → ， 0 n n d c − → ，那么存在唯一的点属于所有的矩形。 2.致密性定理：如果序列 M x y n n n ( , ) 有界，那么从其中必能选取收敛的子列。 3.有限覆盖定理：若一开矩形集合 = x y , 覆盖一有界闭区域。那么从 里，必可选 出有限个开矩形，他们也能覆盖这个区域。 4．收敛原理：平面点列 M n 有极限的充分必要条件是：对任何给定的 0 ，总存在正整数 N ，当 n m N , 时，有 r M M ( n m , ) 。 §2 多元函数的极限和连续 一 多元函数的概念 不论在数学的理论问题中还是在实际问题中，许多量的变化，不只由一个因素决定，而是由多个因素决 定。例如平行四边行的面积 A 由它的相邻两边的长 x 和宽 y 以及夹角 所确定,即 A = xysin ;圆柱体体积 V 由底半径 r 和高 h 所决定,即 V r h 2 = 。这些都是多元函数的例子。 一般地，有下面定义： 定义 1 设 E 是 2 R 的一个子集， R 是实数集， f 是一个规律，如果对 E 中的每一点 ( , ) x y ，通过规律 f ， 在 R 中有唯一的一个 u 与此对应，则称 f 是定义在 E 上的一个二元函数，它在点 ( , ) x y 的函数值是 u ，并记 此值为 f x y ( , ) ，即 u f x y = ( , )。 有时，二元函数可以用空间的一块曲面表示出来，这为研究问题提供了直观想象。例如，二元函数 2 2 2 x = R − x − y 就是一个上半球面，球心在原点，半径为 R ，此函数定义域为满足关系式 2 2 2 x + y R 的 x， y 全体，即 {( , ) | } 2 2 2 D = x y x + y R 。又如， Z = xy 是马鞍面。 二 多元函数的极限 定义 2 设 E 是 2 R 的一个开集， A 是一个常数，二元函数 f M f x y ( ) = ( , ) 在点 M x y E 0 0 0 ( , ) 附近有定 义．如果 0， 0 ，当 0 , r M M ( 0 ) 时，有 f M A ( ) − ，就称 A 是二元函数在 M0 点的 极限。记为 ( ) 0 lim M M f M A → = 或 f M A M M ( ) → → ( 0 ) 。 定义的等价叙述 1 设 E 是 2 R 的一个开集， A 是一个常数，二元函数 f M f x y ( ) = ( , ) 在点 M x y E 0 0 0 ( , ) 附近有定义．如果 0， 0 ，当 ( ) ( ) 2 2 0 0 0 − + − x x y y 时，有 f x y A ( , ) − ，就称 A 是
《数学分析(1,2,3)》教案 二元函数在M0点的极限。记为lmf(M)=A或/(M)→A(M→M) 定义的等价叙述2设E是R2的一个开集,A是一个常数,二元函数/(M)=f(x,y)在点M(x,y)∈E 附近有定义.如果VE>0,36>0,当0<x-x<6,0<y-则<且(x,y)≠(x,y)时,有 (x,y)-4<E,就称A是二元函数在M点的极限。记为1mf(M)=A或/(M)→4(M→M) 注:(1)和一元函数的情形一样,如果Iimf(M)=A,则当M以任何点列及任何方式趋于M0时,f(M) →M 的极限是A;反之,M以任何方式及任何点列趋于M0时,f(M)的极限是A。但若M在某一点列或沿某 曲线→M时,f(M)的极限为A,还不能肯定∫(M)在M的极限是A。所以说,这里的“”或“” 要比一元函数的情形复杂得多,下面举例说明。 例:设二元函数f(x,y)= ,讨论在点(0.0)的的二重极限。 例:设二元函数f(x,y)= 讨论在点(0,0)的二重极限是否存在 或 0 例:f(x,y)= 1.其它 讨论该函数的二重极限是否存在 二元函数的极限较之一元函数的极限而言,要复杂得多,特别是自变量的变化趋势,较之一元函数要复 杂 例:lm 例:①mx②m(x2+y2)3m(x2+y2)lm(x2+y2)e-+ →0 例:求f(x,y) x2+在(0,0)点的极限,若用极坐标替换则为m/os2Osm6=0?(注意: 0 coS0+sin 8 c0s30+sin30在O=时为0,此时无界)。 例:(极坐标法再举例):设二元函数f(x,y)=-3),讨论在点(00)的二重极限 x-t 证明二元极限不存在的方法 基本思想:根据重极限定义,若重极限存在,则它沿任何路径的极限都应存在且相等,故若1)某个特殊路 径的极限不存在;或2)某两个特殊路径的极限不等:3)或用极坐标法,说明极限与辐角有关 例:f(x,y)= 在(0,0)的二重极限不存在 13-3
《数学分析（1，2，3）》教案 13-3 二元函数在 M0 点的极限。记为 ( ) 0 lim M M f M A → = 或 f M A M M ( ) → → ( 0 ) 。 定义的等价叙述 2 设 E 是 2 R 的一个开集， A 是一个常数，二元函数 f M f x y ( ) = ( , ) 在点 M x y E 0 0 0 ( , ) 附近有定义．如果 0 ， 0 ，当 0 0 0 , 0 − − x x y y 且 ( x y x y , , ) ( 0 0 ) 时，有 f x y A ( , ) − ，就称 A 是二元函数在 M0 点的极限。记为 ( ) 0 lim M M f M A → = 或 f M A M M ( ) → → ( 0 ) 。 注：（1）和一元函数的情形一样，如果 0 lim ( ) M M f M A → = ，则当 M 以任何点列及任何方式趋于 M0 时， f M( ) 的极限是 A ；反之， M 以任何方式及任何点列趋于 M0 时， f M( ) 的极限是 A 。但若 M 在某一点列或沿某 一曲线 → M0 时， f M( ) 的极限为 A ，还不能肯定 f M( ) 在 M0 的极限是 A 。所以说，这里的“”或“” 要比一元函数的情形复杂得多，下面举例说明。 例：设二元函数 2 2 ( , ) x y xy f x y + = ，讨论在点 (0,0) 的的二重极限。 例：设二元函数 2 2 2 ( , ) x y x y f x y + = ，讨论在点 (0,0) 的二重极限是否存在。 例： 2 0, 0 ( , ) 1, x y y f x y = = 或 其它 ，讨论该函数的二重极限是否存在。 二元函数的极限较之一元函数的极限而言，要复杂得多，特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复 杂。 例： 2 2 lim x xy y x y y x − + + → → 。 例：① x xy y x sin lim 0 0 → → ② lim ( ) ln( ) 2 2 2 2 2 0 0 x y x y y x + + → → ③ 2 2 ( ) lim ( ) x y y x x y e − + → → + 例：求 3 3 2 2 ( , ) x y x y f x y + = 在（０，０）点的极限，若用极坐标替换则为 0? cos sin cos sin lim 3 3 2 2 0 = → + r r （注意： 3 3 cos + sin 在 4 7 = 时为０，此时无界）。 例：（极坐标法再举例）：设二元函数 2 2 2 ( , ) x y x y f x y + = ，讨论在点 (0,0) 的二重极限． 证明二元极限不存在的方法． 基本思想：根据重极限定义，若重极限存在，则它沿任何路径的极限都应存在且相等，故若１）某个特殊路 径的极限不存在；或２）某两个特殊路径的极限不等；３）或用极坐标法，说明极限与辐角有关． 例： 2 2 ( , ) x y xy f x y + = 在 (0,0) 的二重极限不存在．
《数学分析(1,2,3)》教案 三二元函数的连续性 定义3设f(M)在M点有定义,如果imf(M)=f(M0),则称f(M)在M点连续. “E-6语言”描述:VE>0,彐6>0,当0r(M,M)<8,有(M)-f(M0)<E 如果∫在开集E内每一点连续,则称∫在E内连续,或称∫是E内的连续函数。 例:求函数l=tan(x2+y2)的不连续点 四有界闭区域上连续函数的性质 有界性定理若f(x,y)再有界闭区域D上连续,则它在D上有界 一致连续性定理若∫(x,y)再有界闭区域D上连续,则它在D上一致连续 最大值最小值定理若f(x,y)再有界闭区域D上连续,则它在D上必有最大值和最小值 零点存在定理设D是R”中的一个区域,B0和P是D内任意两点,∫是D内的连续函数,如果f(P)>0, f(P)<0,则在D内任何一条连结P,P的折线上,至少存在一点P,使∫(P)=0。 五二重极限和二次极限 在极限lin∫(x,y)中,两个自变量同时以任何方式趋于x0,yo,这种极限也叫做重极限(二重极限).此 外,我们还要讨论当x,ν先后相继地趋于x0与y0时f(x,y)的极限.这种极限称为累次极限(二次极限), 其定义如下: 若对任一固定的y,当x→>x0时,f(x,y)的极限存在:lmf(x,y)=(y),而q(y)在y→y0时的 极限也存在并等于A,亦即Imnp(y)=A,那么称A为∫(x,y)先对x,再对y的二次极限,记为 lm lm f(x,y)=A 同样可定义先y后x的二次极限: lim lim f(x,y) x→x0y→y0 上述两类极限统称为累次极限。 注意:二次极限(累次极限)与二重极限(重极限)没有什么必然的联系。 例:(二重极限存在,但两个二次极限不存在).设 xsin-+ sin x≠0,y≠0 f(x, y) y 由f(x,y)≤x+得mf(x,y)=0(两边夹);由lmsn不存在知f(x,y)的累次极限不存在 例:(两个二次极限存在且相等,但二重极限不存在)。设 13-4
《数学分析（1，2，3）》教案 13-4 三 二元函数的连续性 定义 3 设 f M( ) 在 M0 点有定义，如果 0 0 lim ( ) ( ) M M f M f M → = ，则称 f M( ) 在 M0 点连续． “ − 语言”描述： 0, 0, , 当0<r(M M0 ) ，有 0 f M f M ( ) ( ) − 。 如果 f 在开集 E 内每一点连续，则称 f 在 E 内连续，或称 f 是 E 内的连续函数。 例：求函数 ( ) 2 2 u x y = + tan 的不连续点。 四 有界闭区域上连续函数的性质 有界性定理 若 f x y ( , ) 再有界闭区域 D −− 上连续，则它在 D −− 上有界。 一致连续性定理 若 f x y ( , ) 再有界闭区域 D −− 上连续，则它在 D −− 上一致连续。 最大值最小值定理 若 f x y ( , ) 再有界闭区域 D −− 上连续，则它在 D −− 上必有最大值和最小值。 零点存在定理 设 D 是 n R 中的一个区域， P0 和 P1 是 D 内任意两点， f 是 D 内的连续函数，如果 f (P0 ) 0 ， f (P1 ) 0 ，则在 D 内任何一条连结 0 1 P , P 的折线上，至少存在一点 Ps ，使 f (Ps ) = 0。 五 二重极限和二次极限 在极限 lim ( , ) 0 0 f x y y y x x → → 中，两个自变量同时以任何方式趋于 0 0 x , y ，这种极限也叫做重极限（二重极限）．此 外，我们还要讨论当 x, y 先后相继地趋于 0 x 与 0 y 时 f (x, y) 的极限．这种极限称为累次极限（二次极限）， 其定义如下： 若对任一固定的 y ，当 0 x → x 时， f (x, y) 的极限存在： lim ( , ) ( ) 0 f x y y x x = → ,而 ( y) 在 0 y → y 时的 极限也存在并等于 A ，亦即 y A y y = → lim ( ) 0 ，那么称 A 为 f (x, y) 先对 x ，再对 y 的二次极限，记为 f x y A y y x x = → → lim lim ( , ) 0 0 ． 同样可定义先 y 后 x 的二次极限： lim lim ( , ) 0 0 f x y x→x y→y ． 上述两类极限统称为累次极限。 注意：二次极限（累次极限）与二重极限（重极限）没有什么必然的联系。 例：（二重极限存在，但两个二次极限不存在）．设 = = + = 0 0 0 0, 0 1 sin 1 sin ( , ) x or y x y x y y x f x y 由 f (x, y) x + y 得 lim ( , ) 0 0 0 = → → f x y y x （两边夹）;由 y y 1 lim sin →0 不存在知 f (x, y) 的累次极限不存在。 例：（两个二次极限存在且相等，但二重极限不存在）。设
《数学分析(1,2,3)》教案 f(x,y)=-3,(x,y)≠(0.0) 由mmf(x,y)= lim lim f(x,y)=0知两个二次极限存在且相等。但由前面知lnf(x,y)不存在。 例:(两个二次极限存在,但不相等)。设 f(x,y) (x,y)≠(0,0) 则 lim lim f(x,y)=1, lm lim f(x,y)=-1; lim lim f(x,y)≠ lim lim f(x,y)(不可交换) y→0x0 x→0y0 上面诸例说明:二次极限存在与否和二重极限存在与否,二者之间没有一定的关系。但在某些条件下,它们 之间会有一些联系 定理1设(1)二重极限mf(x,y)=A;(2)y,y≠y,lmnf(x,y)=(y)。则 lm ()=lim lm f(x,y)=A y→1ox→xo (定理1说明:在重极限与一个累次极限都存在时,它们必相等。但并不意味着另一累次极限存在) 推论1设(1)mf(x,y)=A;(2)Vy,y≠y,mf(x,y)存在;(3)x,x≠x0,lmf(x,y) 存在;则 limlim f(x,y), limlim f(x,y)都存在,并且等于二重极限mf(x,y)。 x→x0y→yo 推论2若累次极限 lmlm f(x,y)与 lim lm f(x,y)存在但不相等,则重极限lmf(x,y)必不存在(可 y→10X→x0 y→→y0 用于否定重极限的存在性) 例:求函数f(x,y) 在(0.0)的二次极限和二重极限。 13-5
《数学分析（1，2，3）》教案 13-5 2 2 ( , ) x y xy f x y + = ， (x, y) (0,0) 由 lim lim ( , ) lim lim ( , ) 0 0 0 0 0 = = → → → → f x y f x y x y y x 知两个二次极限存在且相等。但由前面知 lim ( , ) 0 0 f x y y x → → 不存在。 例：（两个二次极限存在，但不相等）。设 2 2 2 2 ( , ) x y x y f x y + − ， (x, y) (0,0) 则 lim lim ( , ) 1 0 0 = → → f x y x y ， lim lim ( , ) 1 0 0 = − → → f x y y x ; lim lim ( , ) lim lim ( , ) 0 0 0 0 f x y f x y x→ y→ y→ x→ （不可交换） 上面诸例说明：二次极限存在与否和二重极限存在与否，二者之间没有一定的关系。但在某些条件下，它们 之间会有一些联系。 定理 1 设（1）二重极限 f x y A y y x x = → → lim ( , ) 0 0 ；（2） 0 y, y y ， lim ( , ) ( ) 0 f x y y x x = → 。则 y f x y A y y y y x x = = → → → lim ( ) lim lim ( , ) 0 0 0 。 （定理 1 说明：在重极限与一个累次极限都存在时，它们必相等。但并不意味着另一累次极限存在）。 推论 1 设（1） f x y A y y x x = → → lim ( , ) 0 0 ；（2） 0 y, y y ， lim ( , ) 0 f x y x→x 存在；（3） 0 x, x x ， lim ( , ) 0 f x y y→y 存在；则 lim lim ( , ) 0 0 f x y y→y x→x ， lim lim ( , ) 0 0 f x y x→x y→y 都存在，并且等于二重极限 lim ( , ) 0 0 f x y y y x x → → 。 推论 2 若累次极限 lim lim ( , ) 0 0 f x y x→x y→y 与 lim lim ( , ) 0 0 f x y y→y x→x 存在但不相等，则重极限 lim ( , ) 0 0 f x y y y x x → → 必不存在（可 用于否定重极限的存在性）。 例：求函数 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 , x y f x y x y x y = + − 在 (0, 0) 的二次极限和二重极限