《数学分析(1,2,3)》教案 第二十章重积分 §1二重积分的计算 化二重积分为二次计分 关于体积的计算 2.矩形上的二重积分可以化为二次积分进行计算 简地说,形如广Cy的分称为个先y后x的二次积,确切地说,设面数/在 abcd]上有定义,如果任意确定x∈[ab],则f(x,y)是自变量为y的一元函数,设 o(x)=f(x,y)b,xea小 有意义,其值是x的函数,记为p(x),又得体积为 p(x)ax (x. v)du 同样,可以先x后y的二次积分: ∫小∫/xy)/(xy 在此例中,先x后y的二次积分等于先y后x的二次积分,即两个二次积分相等,这个现象包含在下面 的定理中。 3.一般性化二重积分为二次积分 在平面区域中,有两类特殊的区域是最具代表性的。所示区域用集合可表示为: D={(x,y)y(x)sysy2(x)a≤x≤b 其特点是Wx∈[a6,则直线x=x至多与区域D的边界交于两点;所示区域用集合可表示为: D={(x,y)|x0y)≤x≤x2(y)csy≤d} y型区域 其特点是vy∈[c,d],则直线y=y至多与区域D的边界交于两点 为什么说这两类区域常用到(最具代表性),因为许多常见的区域都可分割为有限个无分类点的X型区 域和Y型区域。因而,解决了X型区域和Y型区域上二重积分的计算方法后,一般区域上的二重积分的计 算问题也就得到解决 如何计算X型区域和y型区域上的二重积分呢?最基本的想法还是化二重积分f(x,y)dh为二次积分 (累次积分)。问题是化为什么样的二次积分呢?有下面的结果 定理1设D={(x,y)y(x)≤y≤y(x,a≤x≤b} 则 (x,ytdb=丁a」(xy)b 例:化二重积分f(x,y)为二次积分,其中D是由直线y=x,抛物线y=x2所围的平面区域 20-1
《数学分析（1，2，3）》教案 20-1 第二十章 重积分 §1 二重积分的计算 一 化二重积分为二次计分 1. 关于体积的计算 2. 矩形上的二重积分可以化为二次积分进行计算 简单地说，形如 ( , ) b d a c f x y dy dx 的积分称为一个先 y 后 x 的二次积分。确切地说，设函数 f 在 a b c d , ; , 上有定义，如果任意确定 x a b , ，则 f x y ( , ) 是自变量为 y 的一元函数，设 ( ) ( , ) d c x f x y dy = ， x a b , 有意义，其值是 x 的函数，记为 ( ) x ，又得体积为 ( ) b a x dx = ( , ) b d a c f x y dy dx 同样，可以先 x 后 y 的二次积分： ( , ) d b c a dy f x y dx = ( , ) d a c b f x y dx dy 在此例中，先 x 后 y 的二次积分等于先 y 后 x 的二次积分，即两个二次积分相等，这个现象包含在下面 的定理中。 3．一般性化二重积分为二次积分 在平面区域中，有两类特殊的区域是最具代表性的。所示区域用集合可表示为： D x y y x y y x a x b = ( , ) | ( ) ( ), 1 2 X 型区域 其特点是 x a b 0 , ，则直线 0 x x = 至多与区域 D 的边界交于两点；所示区域用集合可表示为： D x y x y x x y c y d = ( , ) | ( ) ( ), 1 2 Y 型区域 其特点是 y c d 0 , ，则直线 0 y y = 至多与区域 D 的边界交于两点。 为什么说这两类区域常用到（最具代表性），因为许多常见的区域都可分割为有限个无分类点的 X 型区 域和 Y 型区域。因而，解决了 X 型区域和 Y 型区域上二重积分的计算方法后，一般区域上的二重积分的计 算问题也就得到解决。 如何计算 X 型区域和 Y 型区域上的二重积分呢？ 最基本的想法还是化二重积分 ( , ) D f x y dxdy 为二次积分 （累次积分）。问题是化为什么样的二次积分呢？有下面的结果： 定理 1 设 D x y y x y y x a x b = ( , ) | ( ) ( ), 1 2 ， 则 ( , ) D f x y dxdy = 2 1 ( ) ( ) ( , ) b y x a y x dx f x y dy 。 例：化二重积分 ( , ) D f x y dxdy 为二次积分，其中 D 是由直线 y x = ，抛物线 2 y x = 所围的平面区域
《数学分析(1,2,3)》教案 例:求由二=xy和二=x+y,x+y=1,x=0,y=0所围空间区域的体积 例:求二次积分l=[x SIn y du 注意:最外层积分的积分限一定是常数。 二用极坐标计算二重积分 也有一种情形,函数f在D上可积,但无论采用哪种积分次序都“算不出来” 例:=』ed,D=(xy)x2+y2≤a2 在定积分中,换元积分法对简化定积分计算起着重要的作用。对于二重积分也有相应的换元公式,用于简化 积分区域或被积函数。 作极坐标变换:x= rose,y=rsin0(0≤r<+∞,0≤0≤2x)。 在变换下,函数∫(x,y)→f(rcos,rsin),dd→> rare,区域D→D。二重积分化为 [/s(x, ykdrdy=f(rcos e, rsin e)rdrde 说明:①注意,∫虽经极坐标交换,但又变成极坐标系下二重积分,这是如何计算极坐标系下二重积分, 在极坐标下,二重积分一样可以化为二次积分来计算,下面分情况讨论之 情形1若D={()()≤r≤h()≤b≤B2},(0),(0)为,B2上的连续函数,则称之为 型区域。这时,可将之化为下面形式: f(rcos0, rsinO)rdrde= def(rcos, rsin ])rdr 情形2若D={(,O)()≤6≤(,sr≤n},其中(r),B2()∈CF,n21(r型区域),此时有 f(rcos e, sine)rdrde= dr f(rcosO, rsin O)rde 情形3若极点O是积分区域的内点,则交换后的区域为:D={()10≤rsr(6),0≤6≤2} 此处r=()是D的边界曲线,J(rcos,sn)rhde= jo deff(rcos, sino)rdr 情形4若积分区域的边界曲线r=r(6)通过极点O时,应先求出极径,继使r()=0的两个角度61,日2, 此时有: cosB, sino)rdrde= de. f(coso, rsin O)rdr ②何时使用极坐标变换?当积分区域是圆域或是圆域的部分或被积函数的形式为f(x2+y2)时,采用极坐标 交换来计算往往简便得多。 20-2
《数学分析（1，2，3）》教案 20-2 例：求由 z xy = 和 z x y = + ， x y + =1， x = 0 ， y = 0 所围空间区域的体积 V 。 例：求二次积分 1 0 x sin x y I dx dy y = 注意：最外层积分的积分限一定是常数。 二 用极坐标计算二重积分 也有一种情形，函数 f 在 D 上可积，但无论采用哪种积分次序都“算不出来”。 例： 2 2 ( ) x y D I e dxdy − + = ， D = 2 2 2 ( , ) | x y x y a + 在定积分中，换元积分法对简化定积分计算起着重要的作用。对于二重积分也有相应的换元公式，用于简化 积分区域或被积函数。 作极坐标变换： x r y r = = cos , sin (0 ,0 2 ) + r 。 在变换下，函数 f x y f r r ( , ) ( cos , sin ) → ， dxdy rdrd → ，区域 ' D D → 。二重积分化为 ( ) ( ) ' , cos , sin D D f x y dxdy f r r rdrd = 。 说明：①注意， D f 虽经极坐标交换，但又变成极坐标系下二重积分，这是如何计算极坐标系下二重积分， 在极坐标下，二重积分一样可以化为二次积分来计算，下面分情况讨论之： 情形 1 若 ' D =( , ) | ( ) ( ), r r r r 1 2 1 2 ， 1 r ( ) ， 2 r ( ) 为[ 1 ， 2 ]上的连续函数，则称之为 型区域。这时，可将之化为下面形式： ' ( cos , sin ) D f r r rdrd = 2 2 1 1 ( ) ( ) ( cos , sin ) r r d f r r rdr 情形 2 若 ' D =( , ) | ( ) ( ), r r r r r r 1 2 1 2 ，其中 1 ( )r ， 2 ( )r C[ 1 r ， 2 r ]（ r 型区域），此时有 ' ( cos , sin ) D f r r rdrd = 2 2 1 1 ( ) ( ) ( cos , sin ) r r r r dr f r r rd 情形 3 若极点 O 是积分区域的内点，则交换后的区域为： ' D =( , ) | 0 ( ),0 2 r r r 此处 r = r ( ) 是 ' D 的边界曲线， ' ( cos , sin ) D f r r rdrd = 2 ( ) 0 0 ( cos , sin ) r d f r r rdr 情形 4 若积分区域的边界曲线 r =r ( ) 通过极点 O 时，应先求出极径，继使 r ( ) =0 的两个角度 1 ， 2 ， 此时有： ' ( cos , sin ) D f r r rdrd = 2 1 ( ) 0 ( cos , sin ) r d f r r rdr 。 ②何时使用极坐标变换？当积分区域是圆域或是圆域的部分或被积函数的形式为 2 2 f x y ( ) + 时，采用极坐标 交换来计算往往简便得多
《数学分析(1,2,3)》教案 例:|=」leho,D=(xy)lx2+y2sa2 sin√x2+y2 dxd 例:求 三二重积分的一般变量替换 计算二重积分,除了引用上面讲的极坐标这一特殊交换外,有时还要取一般的变量替换。 定理2设∫(x,y)是Xy平面的闭区域D上的连续函数,又设 u=u(x,y), v=v(x, y) 在D上有关于x和y的连续偏导数,通过()把D变为D,并且变换(+)是一对一的,又设J=Du≠0 D(x,y) f(, y)dxdy=lf(x(u,v),y(u,v) D(x, y) dudy。 注:(1)在定理中,假设J≠0,但有时会遇到这种情形。变换行列式在区域内个别点上等于0。或只在 小区域上等于0而在其他点上非0,此时上述结论能成立。 x,y)cose -sing (2)特例:x=rcos6,y=rsin,此 a(r0)sing rose F,根据①,有 f(x, y)dxdy=ll f(rcos 0, sine)rdxdy (3)在具体问题中,选择变换公式的依据有两条:(i)使交换的函数容易积分;(ⅱ)使得积分限容易安排。 例:求椭球体+2+=≤1的体积 例:求出由抛物线y2=px,y2=qx(0<p<q)以及双曲线xy=a,xy=b(0<a<b)所围区域的面积 §2三重积分的计算 化三重积分为三次积分 设A=[ab]×c,d]×[e,门是R中的(闭)长方体,f是定义在A上的有界函数。那么∫在A上的三重积 分可以化为先对z,后对y,x的积分: ∫xy:)dd∫(xy:k 或y→>x→z的积分 f(x,y, z)dxdydz dx. f(x,y, =)dy 20-3
《数学分析（1，2，3）》教案 20-3 例： 2 2 3( ) x y D I e dxdy − + = ， D = 2 2 2 ( , ) | x y x y a + 。 例：求 2 2 2 2 2 2 4 sin x y x y dxdy + + 。 三 二重积分的一般变量替换 计算二重积分，除了引用上面讲的极坐标这一特殊交换外,有时还要取一般的变量替换。 定理 2 设 f x y ( , ) 是 XY 平面的闭区域 D 上的连续函数，又设 u u x y = ( , ) ， v v x y = ( , ) （*）。 在 D 上有关于 x 和 y 的连续偏导数，通过（*）把 D 变为 D' ，并且变换（*）是一对一的，又设 ( , ) 0 ( , ) D u v J D x y = ， 则 ( , ) D f x y dxdy = ' ( , ) ( ( , ), ( , )) | | ( , ) D D x y f x u v y u v dudv D u v 。 注：（1）在定理中，假设 J 0，但有时会遇到这种情形。变换行列式在区域内个别点上等于 0。或只在一 小区域上等于 0 而在其他点上非 0，此时上述结论能成立。 （2）特例： x r y r = = cos , sin ，此时 ( , ) ( , ) x y r = cos sin sin cos | | r r r − = ，根据①，有 ( , ) D f x y dxdy = ' ( cos , sin ) D f r r rdxdy 。 （3）在具体问题中，选择变换公式的依据有两条：（i）使交换的函数容易积分；（ii）使得积分限容易安排。 例：求椭球体 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + 的体积。 例: 求出由抛物线 2 y px = ， 2 y qx = (0 p q) 以及双曲线 xy a = ，xy b = (0 a b) 所围区域的面积。 §2 三重积分的计算 一 化三重积分为三次积分 设 A a b c d e f = [ , ] [ , ] [ , ] 是 3 R 中的（闭）长方体， f 是定义在 A 上的有界函数。那么 f 在 A 上的三重积 分可以化为先对 z ，后对 y x, 的积分： ( , , ) A f x y z dxdydz = ( , , ) b d f a c e dx dy f x y z dz ， 或 y x z → → 的积分 ( , , ) A f x y z dxdydz = ( , , ) f b d e a c dz dx f x y z dy
《数学分析(1,2,3)》教案 等等(共6种),并且此时(∫连续时),各个三次积分的值与积分次序无关,他们都相等。 1.计算(化为逐次积分) 设D={(x,y,)(xy)≤=52(x,y)(xy)∈},则有 Js(x,y, =)dxdyds== drd esf(x,,a)d= 如果 (x)a≤x≤b},则 f(x,y, =)dxdydk dy f(x,y, =dz 设D={(xy,=)y(,x)sy≤y(=,x)、(x,)∈a},如=={(x,y)x()≤x≤x()e≤≤}, y(x,) (x,y) f(x, y, =)dxdyd== dxdz (y)bm∫ f(x,y,=)dy。 2.三重积分的直接计算方法(举例) ddds ,V:有平面x+y+=4,x=0,y=0,==0所围成区域 x+y+2 例: 2_x+y-,平面z=C,x=0,y=0所围(anbc>0)成区域。 xydxdydz,:锥面g=a 例:=-J(x+y2+2)dk,:++二=1的内部区域 三重积分的变量替换 设作变量替换: x=x(u,v,o) y=y(u,yv,O)(u,v,O)∈ =z(2v,O) 且满足下列条件: (1)建立了V←>'之间的一一对应; (2)x,y,z在V'内有关于u,vO的连续偏导数,并且其变换:u=u(x,y,z),v=v(x,y,z),O=O(x,y,z)在 V内有关于x,y,z的连续偏导数; D(x, ),),x, o (3)Jao列式J=nr0)/y,y在V内无零点,则
《数学分析（1，2，3）》教案 20-4 等等（共 6 种），并且此时（ f 连续时），各个三次积分的值与积分次序无关，他们都相等。 1. 计算（化为逐次积分） ●设 D x y z z x y z z x y x y = ( , , ) | ( , ) ( , ),( , ) 1 2 xy ，则有 ( , , ) D f x y z dxdydz = 1 2 ( , ) ( , ) ( , , ) xy z x y z x y dxdy f x y z dz ， 如果 xy = ( , ) | ( ) ( ), x y y x y y x a x b 1 2 ，则 ( , , ) D f x y z dxdydz = 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) b y x z x y a y x z x y dx dy f x y z dz 。 ●设 D x y z y z x y y z x x z = ( , , ) | ( , ) ( , ),( , ) 1 2 xz， xz = ( , ) | ( ) ( ), x y x z x x z e z f 1 2 ， ( , , ) A f x y z dxdydz = 1 2 ( , ) ( , ) ( , , ) xz y x z y x z dxdz f x y z dy = 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) f x x y x y e x x y x y dz dx f x y z dy 。 2. 三重积分的直接计算方法（举例） 例： 3 (1 ) V dxdydz I x y z = + + + ，V ：有平面 x y z x y z + + = = = = 4, 0, 0, 0 所围成区域。 例： V I xydxdydz = ，V ：锥面 2 2 2 2 2 2 z x y c a b = + ，平面 z c x y = = = , 0, 0 所围（ abc , , 0 ）成区域。 例： ( ) 2 2 2 V I x y z dxdydz = + + ，V ： 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = 的内部区域。 二 三重积分的变量替换 设作变量替换： ( , , ) ( , , ) ( , , ) { x x u v y y u v z z u v = = = ( , , ) ' u v V 且满足下列条件： （1） 建立了 V V ' 之间的一一对应； （2） x y z , , 在 V ' 内有关于 u v, , 的连续偏导数，并且其变换： u u x y z v v x y z x y z = = = ( , , ), ( , , ), ( , , ) 在 V 内有关于 x y z , , 的连续偏导数； （3） Jacohi 行列式 ( , , ) ( , , ) u v u v u v x x x D x y z J y y y D u v z z z = = 在 V ' 内无零点，则
《数学分析(1,2,3)》教案 J/(x, y ,=)dxdyd==[/(r(u, v ,o), y(u, v, @o) =(u, v, o))dudydo 注:和二重积分类似,当J点在内个别点上为零时,上述公式仍成立。 最常用的坐标变换 1.柱坐标代换 令x=rcos,y= rsin 6,==z,(r20,0≤0≤2x,-<2<+∞),则三重积分的柱坐标换元公式为 f(x,y,=)dxdyd==lll f(rcos O, rsin e, =)rdedrdx 注:柱坐标变换适用于f(x2+y2)型被积函数或积分区域。 注:用柱坐标计算三重积分,通常是找出卩在r平面上的投影区域G。,那当 ={(x,)|=(,0)≤≤=2(r,)(,)∈a}时, [I5(x, y, =)dxdyd== drde f(rcos.,sine,=y= 先对积分,再计算上的三重积分,其中二重积分能用极坐标来计算(极坐标系下的二重积分)。 例:=aht,D由上半球面x2+y2+2=4(=20)和抛物面x2+y2=3所围的区域 2.球面坐标变换 球面坐标:设空间一点M(x,y,)在平面上的投影为P(xy),OM=p(0≤p<+∞),9是有向线段OM与二轴 的正向之间的交角(0≤q≤x),O是两平面x与POM的交角(0≤6≤2x),则(p,0,0)叫做点M的球面坐 标 在球面坐标中,有三族坐标平面:p=常数,以原点为中心的球面;=常数,以原点为顶点,z轴为轴的圆 锥面;=常数,过轴的柱面(两两正交是正交坐标系)。有时,取∠MOP作为q,这时点M的直角坐标与它 的球面坐标的点系为:x= p cos p cos,y= pcos p sIn,== psin g,而p≥0,0≤02x-x<o≤f。 x= psin o cos 6,y= psin sin,== p cos gp,(0≤p<+∞,0≤q≤丌,0≤6≤2m) f(, y, =)dxdyd==lf(psin p cos, psinpsin 0, pcos p)p sin pdedpdp 例:求球面x2+y2+2=2=(r>0)和锥面所围区域的体积V,其中锥面是以z轴为轴,顶角为2a的锥面 §3积分在物理上的应用 质心
《数学分析（1，2，3）》教案 20-5 ( , , ) V f x y z dxdydz = ' ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) V f x u v y u v z u v J dudvd 注：和二重积分类似，当 J 点在 V ' 内个别点上为零时，上述公式仍成立。 最常用的坐标变换 1. 柱坐标代换 令 x r y r z z = = = cos , sin , ，( 0,0 2 , ) r z − + ，则三重积分的柱坐标换元公式为 ( , , ) V f x y z dxdydz = ( cos , sin , ) V f r r z rd drdz 。 注：柱坐标变换适用于 2 2 f x y ( ) + 型被积函数或积分区域。 注 ： 用 柱 坐 标 计 算 三 重 积 分 ， 通 常 是 找 出 V 在 r 平 面 上 的 投 影 区 域 r ，那当 V x r z r z z r r = ( , , ) | ( , ) ( , ),( , ) 1 2 r 时， ( , , ) V f x y z dxdydz = 2 1 ( , ) ( , ) ( cos , sin , ) r z r z r drd f r r z dz 先对 z 积分，再计算 r 上的三重积分，其中二重积分能用极坐标来计算（极坐标系下的二重积分）。 例： V I zdxdydz = ，D 由上半球面 2 2 2 x y z z + + = 4( 0) 和抛物面 2 2 x y z + = 3 所围的区域。 2．球面坐标变换 球面坐标：设空间一点 M x y z ( , , ) 在平面上的投影为 P x y ( , ) ，OM = + (0 ) ， 是有向线段 OM 与 z 轴 的正向之间的交角（ 0 ）， 是两平面 xz 与 POM 的交角（ 0 2 ），则 ( , , ) 叫做点 M 的球面坐 标。 在球面坐标中，有三族坐标平面： =常数，以原点为中心的球面； =常数，以原点为顶点， z 轴为轴的圆 锥面； =常数，过 z 轴的柱面（两两正交是正交坐标系）。有时，取 MOP 作为 ，这时点 M 的直角坐标与它 的球面坐标的点系为： x y z = = = cos cos , cos sin , sin ，而 0,0 2 , 2 2 − 。 令 x y z = = = sin cos , sin sin , cos ，(0 ,0 ,0 2 ) + 则 ( , , ) D f x y z dxdydz = 2 ' ( sin cos , sin sin , cos ) sin D f d d d 。 例：求球面 2 2 2 x y z rz r + + = 2 ( 0) 和锥面所围区域的体积 V ，其中锥面是以 z 轴为轴，顶角为 2 的锥面。 §3 积分在物理上的应用 一 质心