028第1章事件的概率 例3.3有四个大小、质地一样的球，分别在其上写上数字1,2,3和“1,2， 3”,即第四个球上1,2,3这三个数字都有，引进三个事件： A:={随机抽出一球，球上有数字i》(i=1,2,3) 所谓随机抽出一球，即每球被抽出的概率都是1/4.易见P(A1)=P(A2) P(A,)=1/2.因为为使事件A1发生，必须抽出第一球或第四球，有2种可能 又P(A1A2)=P(A1Aa)=P(A2A)=1/4.因为要A1,A:同时发生（抽出 的球上既有1又有2)，必须抽出第四球.这样，对任意一对事件A,A,都有 1/4=P(A,A)=P(A,)P(A),而A1,A2,A为两两独立 但A1,A2,A:不是相互独立的.因为，易见P(A1A2Aa)也是1/4，而 P(A1)P(A2)P(A)为1/8，二者不相等. 在现实生活中，难以想象两两独立而不相互独立的情况.可以这样想：独立 性毕竟是一个数学概念，是现实世界中通常理解的那种“独立性”的一种数学抽 象，它难免会有些不尽如人意的地方， 独立性的概念在概率论中极端重要，在较早期（比方说，到20世纪30年代 止)的概率论发展中，它占据了中心地位，时至今日，有不少非独立的理论发展了 起来，但其完善的程度仍不够.而且，独立性的理论和方法也是研究非独立模型 的基础和工具.在实用上，确有许多事件其相依性很小，在误差容许的范围内，它 们可视为独立的，从而方便于问题的解决。 利用本节中引进的事件运算、独立性概念和加法、乘法定理，可计算一些较 复杂事件的概率.举几个例子， 例3.4仍用本节开始处提到的那个“打飞机”的例子.按所作规定，“飞机 被击落”这个事件E可表为 E=E0+E,E2, 设E,E1,E2三事件独立，这个假定从实际角度看还算合理.记E,E1,E2的概 率分别为Po,P1,P2.为算E的概率P(E),不能直接用加法定理，因E。与E:E 并非互斥.考虑E,易见E=E。E1E2,因E。,E1,E2独立，按系3.2后面指出的 E。和EE2独立，故 P(E)=P(E。)P(E:E2) P(E。)=1-P(E0)=1-Po, P(E1E2)=1-P(E1E2)=1-P(E)P(E2)=1-PP2
1.3事件的运算、条件概率与独立性029 代入上式，得 P(E)=(1-po)(1-P1P2), 从而 P(E)=1-P(E)=1-(1-P)(1-P1P2) Po pipz -Popipz, 例3.5甲、乙二人下象棋，每局甲胜的概率为a,乙胜的概率为b.为简化 问题，设没有和局的情况，这意味着a+b=1. 设想甲的棋艺高于乙，即a>b,考虑到这一点，他们商定最终胜负的规则如 下：到什么时候为止甲连胜了三局而在此之前乙从未连胜二局，则甲胜：反之，者 到什么时候为止乙连胜了二局而在此之前甲从未连胜三局，则乙胜.现要求“甲 最终取胜”这个事件A的概率P(A)及“乙最终取胜”这个事件B的概率P(B) 为方便计，分别以E和F表示甲、乙在特定的一局取胜的事件，有P(E) a,P(F)=b.现考虑“甲取胜”的事件A,分两种情况： (1)第一局甲胜而最终甲胜了 这一情况又可分解为许多子情况：对n=0,1,2,·,甲经过n个“阶段”后 才取胜，每个阶段是EF或EEF,然后接着来一个EEE.例如，甲经过3个阶段后 获胜的一种可能实战结果为 EEF EF EEF EEE. 即共下了11局甲才获胜，其中第1,2,4,6,7,9,10,11局甲胜，其余乙胜. 每个阶段不是EF就是EEF,这两种情况互斥，又由独立性，知每个阶段的 概率为ab+aab=ab(1+a).再由独立性，知“经n个阶段后甲获胜”的概率为 [ab(1+a)门a3.n可以为0,1,2，.，不同的n互斥.于是这部分概率总和为 p=a3∑[ab(1+a)]°=a/1-aba+a)] =0 (2)第一局乙胜而最终甲胜了。 既然第一局为F而最终甲胜，则第二局必须是E.故以第二局作起点看，我 们回到了情况1，从而这部分的概率为bp(请读者注意，这里事实上已用了概率 的乘法定理：P(第一局乙胜且最终甲胜)=P(第一局乙胜)P(第二局甲胜且最 终甲胜)，第一项为b,而后一项为P).综合两个情况（它们互斥），由加法定
030|第1章事件的概率 理，得 P(A)=a3(1+b)/[1-ab(1+a)]. (3.12) 直观上我们觉得，这个竞赛无限期拖下去分不出胜负是不可能的，这意味着 P(B)=1-P(A).可是，上述直观看法仍需证明，不如直接算.方法与算P(A) 一样，但必须分三种情况：①第一局乙胜；②第一局甲胜，第二局乙胜；③前两 局甲胜.我们把具体计算留给读者（习题16）.结果为 P(B)=(1+a+a')b2/1-ab(1+a)]. (3.13) 由于a+b=1,极易验证P(A)+P(B)=1. 这个例子值得细心品味.第一，它提供了一个涉及无限个事件的情况（在甲 最终取胜前可以经过任意多的“阶段”)，以及在无穷个事件时使用加法定理 (3.1)式.第二，本例告诉我们，在面对一个复杂事件时，主要的方法是冷静地分 析，以设法把它分拆成一些互斥的简单情况，这里，必须细心确保互斥性又无遗 漏，一着不慎，满盘皆非。 例3.6设一个居民区有n个人，设有一个邮局，开c个窗口，设每个窗口 都办理所有业务.c太小，经常排长队：c太大，又不经济 现设在每一指定时刻，这几个人中每一个是否在邮局是独立的，每个人在 邮局的概率都是P.设计要求：“在每一时刻每个窗口排队人数（包括正在被服务 的那个人)不超过m”这个事件的概率要不小于a(例如，a=0.80,0.90或 0.95).问至少需设多少窗口？ 把n个人编号为1，.，n,记事件 E={在指定时刻第i个人在邮局办事》(i=1,n), 则在指定时刻，邮局的具体情况可以用形如 E1E2EaE,EsE。EEg.E.Em-1En (3.14) 这种事件去描述，为了每个窗口的排队人数都不超过m,在上述序列中，不加 “bar”的E的个数，至多只能是cm.现固定一个k≤cm,来求“在(3.14)式中恰 有k个不加bar的E”这个事件Bk的概率.由独立性以及P(E)=p,P(E:) 1-p,知每个像(3.14)那样的序列且不加bar的E恰有k个时，概率为 p*(1-p)”-.但k个不加bar的位置，可以是n个位置中的任何k个.因此 一共有（促）个形如314的序列，其中不加的E拾有大个，这样得到
1.3事件的运算、条件概率与独立性|031 B.) 由于k可以为0,1，.，cm,且不同的k对应的B。互斥，故得 P(每个商口排队人数不超过m)=三()p产a-p)+、G.15 找一个最小的自然数c,使上式不小于指定的a,就是问题的答案 这是一个有现实意义的例题.在n较大时，可用更方便的近似方法确定c, 参见第3章例4.1.当然，实际问题比本例描述的要复杂得多，因为有一个每入 服务时间长短的问题.这个时间长短并非固定，而是随机的，这类问题属于排队 论，是运筹学的一个分支，本例是运筹学与概率论有联系的一个例子， 1.3.8全概率公式与贝叶斯公式 1.全概率公式 设B1,B2,.为有限或无限个事件，它们两两互斥且在每次试验中至少发生 一个.用式表之，即 B,B,=必（不可能事件）(i≠j), B1+B2+.=(必然事件). 有时，把具有这些性质的一组事件称为一个“完备事件群”注意，任一事件B及 其对立事件组成一个完备事件群 现考虑任一事件A,因2为必然事件，有A=A2=AB1+AB2+.,因B1 B2,.两两互斥，显然AB1,AB2,.也两两互斥.故依加法定理3.1，有 P(A)=P(AB1)+P(AB2)+·. (3.16) 再由条件概率的定义，有P(AB:)=P(B,)P(A|B:).代入上式，得I P(A)=P(B)P(A|B:)+P(B2)P(AB2)+., (3.17) 公式(3.17)就称为“全概率公式”.这个名称的来由，从公式(3.16)和(3.17)可以 悟出：“全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于 在较复杂的情况下直接算P(A)不易，但A总是随某个B,伴出，适当去构造这 一组B:往往可以简化计算，这种思想应用的一个实例是例3.5中算“乙最终获
032第1章事件的概率 胜”这个事件B的概率.我们在该例中已指出：B必伴随以下三种互斥情况之 而发生：乙：甲、乙；甲、甲，只是该例的特殊性使我们可只用加法定理，而不必求 助于全概率公式。 这个公式还可以从另一个角度去理解，把B,看做导致事件A发生的一种 可能途径.对不同途径，A发生的概率即条件概率P(AB)各不相同，而采取哪 个途径却是随机的.在直观上易理解：在这种机制下，A的综合概率P(A)应在 最小的P(AB)和最大的P(A|B,)之间，它也不一定是所有P(AB)的算术 平均，因为各途径被使用的机会P(B:)各不相同.正确的答案如所预期，应是诸 P(AB:)(i=1,2,.)以P(B)(=1,2,.)为权的加权平均值.一个形象的 例子如下：某中学有若干个毕业班，各班升学率不同，其总升学率是各班升学率 的加权平均，其权与各班学生数成比例.又如，若干工厂生产同一产品，其废品率 各不相同，若将各厂产品汇总，则总废品率为各厂废品率的加权平均，其权与各 厂产量成比例.再举一个例子， 例3.7设一个家庭有k个小孩的概率为p(k=0,1,2,.).又设各小孩 的性别独立，且生男、女孩的概率各为1/2.试求事件A=〈家庭中所有小孩为同 一性别》的概率 引进事件B:={家庭中有k个小孩)，则B。,B,.构成完备事件群 P(B:)=Pk·现考虑P(A|Bk).约定当k=0时其值为1.若k≥1，则k个小孩 性别全同有两种可能：全为男孩，概率为(1/2)：全为女孩，概率也是(1/2) 因而 P(A1B:)=2(1/2)=1/2-1(k≥1)， 由此，用全概率公式，得出 PCA)P.p2 2.贝叶斯公式 在全概率公式的假定之下，有 P(BA)=P(AB/P(A) =P(B)P(AIB)/∑P(B,)P(AB).(3.18】 这个公式就叫做贝叶斯公式，是概率论中一个著名的公式.这个公式首先出现在