3.连续型随机向量的联合概率密度 F(xy)=PX≤xYsy}=「f(.1)dos 性质(1)f(x,y)≥0,(x,y)∈R2 (2)f(x, y)dxdy=1 f(x, y)dxdy=I 计算P(XYED)=xydy 特别 其中D为任意可度量区域 在xy)的连续点有 O-F(x,y) f(x, y) Oxy
性质 (1) f(x,y)≥0 ，(x,y)∈R2 = D 计算P{(X, Y) D} f(x, y)dxdyf ( x, y )dxdy = 1 + − + − 其中D为任意可度量区域. F(x, y) = P{X x, Y y} − − = x y f (s,t )dtds 3. 连续型随机向量的联合概率密度 特别 在f(x,y)的连续点有 ( , ) ( , ) 2 f x y x y F x y =
例5设(X,Y)f1xy、2+3y),x2D.y≥0 其它 试求:(1)常数A(2)P{X<2,Y<1}; (3)P{(X,Y)∈D;其中D为2x+3y6.(4)P(X父Yy) 解(1) f(x, y )drdy= Ae-(2x+3ydxdy Ae-xe-3ydxdu 姆gy=/x8 dx e- dy=A( A6=1 所以,A=6
例5设(X,Y)～ = − + 0, 其它 Ae , x 0, y 0 f ( x, y ) ( 2x 3 y ) 试求:(1)常数 A ;(2)P{ X<2, Y<1}; (4) P（X≤x,Y≤y）. 解 (1) + + − + 0 0 ( 2x 3 y ) Ae dxdy + + − − = 0 0 2x 3 y Ae e dxdy = b a d c b a d c 据 dx f ( x )g( y )dy f ( x )dx g( y )dy得 所以, A=6 + + − − = 0 0 2x 3 y A e dx e dy 0 e ) 3 1 ( 0 e ) 2 1 A( 2 x 3 y + − + = − − − =A/6 =1 (3)P{(X,Y)∈D},其中D为 2x+3y≤6
2)P(X,Y∈D}=‖ x, y)dxdy D 所以,P(X2,Y<1=小xydy 1/6e 2x3y) X<2,Y<1} dx 6e y X<2,Y<1} 6exdxle-sydy 6(-e2) (1-e)(1-e°) 03
X Y 0 所以,P{ X<2,Y<1}= 2 1 = D (2)P{(X, Y) D} f(x, y)dxdy {X2,Y1} f(x, y)dxdy {X<2, Y<1} − + = 2 0 1 0 ( 2x 3 y ) dx 6e dy − − = 2 0 1 0 2x 3 y 6 e dx e dy 2 3 1 1 2 1 6( ) ( ) 2 0 3 0 x y e e − − = − − 4 3 (1 )(1 ) e e − − = − −
(3)P{(XY)∈D},其中D为2x+3y≤6 Y P{(XY)∈D}=1 y)dxdy -(2x+3y) D 6 ∫xydy 2x+3y=6 dx 6e (6-2x) 6e2(-e3)3 d x 0 3 3 )dx=1-7e 6 =
(3)P{(X,Y)∈D},其中D为 2x+3y≤6. 3 2 2x+3y=6 = D P{(X, Y) D} f(x, y)dxdy + = 2x 3y 6 f(x, y)dxdy X Y 0 − − + = 3 0 ( 6 2x ) 3 1 0 ( 2x 3 y ) dx 6e dy 3 2 3 0 1 1 (6 2 ) 6 ( ) 3 3 0 x y x e e dx − − − = − 3 2 6 0 2 ( ) x e e dx − − = − 6 1 7e − = −
4)r(x,y)=PX≤x,Y≤y 广D(s0d 6e-?x 所以,当x>0,y≥0时, 国口 6e-(25+dtds 6esdsedt=60 (1-e)(1-e”)x≥0,y≥0 即:P(Xs,Y≤y)2)0 其它
(4) x X Y 0 y 所以, 当x≥0,y≥0时, F(x, y) = P{X x,Y y} − − = x y f (s,t)dtds − + x y s t e dtds 0 0 (2 3 ) 6 − − = x 0 y 0 2s 3t 6 e ds e dt 0 y e ) 3 1 ( 0 x e ) 2 1 6( −2s −3t = − − (1 e )(1 e ) −2x −3 y = − − 即: 2 3 (1 )(1 ) 0, 0 ( , ) 0 y x e e x y P X x Y y − − − − = 其它