集合及其运算
集合及其运算 1
回顾 问题1:什么叫证明? 表明定理为真的有效论证;演绎推理 问题2:常见的证明方法有哪些? 直接证明、间接证明、归谬法、分情形证明、等价性证 明、存在性证明、唯一性证明 问题3:什么是猜想?有哪些有意思的猜想? 尚未被证明的可能为真的陈述:费马大定理、四色定理、 哥德巴赫猜想、庞加莱定理、黎曼猜想
回顾 问题1：什么叫证明？ - 表明定理为真的有效论证；演绎推理 问题2：常见的证明方法有哪些？ - 直接证明、间接证明、归谬法、分情形证明、等价性证 明、存在性证明、唯一性证明 问题3：什么是猜想？有哪些有意思的猜想？ - 尚未被证明的可能为真的陈述：费马大定理、四色定理、 哥德巴赫猜想、庞加莱定理、黎曼猜想
本节提要 问题1:什么是集合、集合论? 问题2:集合的基本概念有哪些? 问题3:如何进行集合运算与集合公式证明?
本节提要 问题1：什么是集合、集合论？ 问题2：集合的基本概念有哪些？ 问题3：如何进行集合运算与集合公式证明？
引言 口集合论说是现代数学的基础理论 口集合、关系、函数、无穷等 口1900年国际数学大会 口H. Poincare:“借助集合论.可以建造数学大厦…今天我 们可以宣称绝对的严密已经实现了! 口随后发现了 Cantor集合论中的一些悖论 口如1901年的罗素悖论:“要给所有不自已理发的人理 发,不给所有自己理发的人理发” 口G. Frege评论:当大厦竣工时基础却动摇了
引言 集合论说是现代数学的基础理论 集合、关系、函数、无穷等 1900年国际数学大会 H. Poincare:“借助集合论…可以建造数学大厦…今天我 们可以宣称绝对的严密已经实现了!” 随后发现了Cantor集合论中的一些悖论 如1901年的罗素悖论： “要给所有不自己理发的人理 发，不给所有自己理发的人理发” G. Frege评论：当大厦竣工时基础却动摇了 4
罗素悖论 口罗素悖论:{x|P(x)}未必产生集合,令 R={xxx,则若R为集合则R∈RRER矛盾, 故R不为集合 口考虑一切集合的集合A,这个集合A本身也是集合, 所以属于本身A 口除A以外的集合构成集合R={xx∈x},R表示不属 于自己的集合的集合:若集合R属于R,根据定义R 不属于R;若R不属于R,根据定义R属于R。即这样 的集合R不存在。 口这与朴素集合论的概括原则相矛盾
罗素悖论 罗素悖论：{𝑥|𝑃(𝑥)}未必产生集合，令 𝑅={𝑥|𝑥∉𝑥}，则若𝑅为集合则𝑅∈𝑅↔𝑅∉𝑅矛盾， 故𝑅不为集合 考虑一切集合的集合A，这个集合A本身也是集合， 所以属于本身A 除A以外的集合构成集合R={𝒙|𝒙 ∉ 𝒙}，R表示不属 于自己的集合的集合：若集合R属于R，根据定义R 不属于R；若R不属于R，根据定义R属于R。即这样 的集合R不存在。 这与朴素集合论的概括原则相矛盾 5