独立性若(XY)的联合概率分布满足 PiX==; Y-y=P(X=Xi)P(Y=y,) 称X与Y独立。 例1某盒子中有形状相同的2个白球,3个黑球。从中 个个取球,令 第i次取白球 i=1,2 0第次取黑球 分放回或不放回情形 求:(1)(YY2)的联合概率分布 (2)边缘概率分布 (3)讨论Y1与Y2的独立性
独立性 若(X,Y)的联合概率分布满足 P{X=xi ,Y=yj )=P(X=xi )P(Y=yj ) 称X与Y独立。 例1 某盒子中有形状相同的2个白球， 3个黑球。从中 一个个取球，令 (3) Y Y 。 (2) ; : (1)(（ Y ， Y ） ； i 1,2 0 i 1 i Y 1 2 1 2 i 讨 论 与 的独立性 边缘概率分布 求 的联合概率分布 分放回或不放回情形 第 次取黑球 第 次取白球 = =
不放回 放回 0 3/103/10 9/256/25 3/101/10 6/254/25 YI 0 Y1 3/52/5 3/52/5 3/52/5 3/52/5 PXX,Yyi*P(X=XiP(Y=,) 不独立 PiX-X, Y=yj =P(X=Xi)P(Y=yi 独立
Y2 0 1 Y1 0 1 3/10 3/10 3/10 1/10 Y1 0 1 P 3/5 2/5 Y2 0 1 P 3/5 2/5 Y1 0 1 P 3/5 2/5 Y2 0 1 P 3/5 2/5 Y2 0 1 Y1 0 1 9/25 6/25 6/25 4/25 不放回 放回 P{X=xi ,Y=yj ) ≠P(X=xi )P(Y=yj ) 不独立 独立 P{X=xi ,Y=yj )=P(X=xi )P(Y=yj )
例2二维随机向量(xY)的联合概率分布为:日囗 007 求:(1)常数a的取值; -10.050.1 0.10.2 2)P(X≥0,Y<1) a0.2:0.05 (3)P(X≤1,Y≤1 解(1)由∑p11得:a=0.1 2)由P(x,Y)∈D=∑P得PXQY)=P(x=0Y=0)+ (x,y)∈D P(X=0,Y=1)+P(Ⅹ=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.1+02+0.1+02=0.6 (3)P(X≤1,Y1)=P(X=-1,Y=0+P(X=-12Y=1)+P(x=0,Yy=0) +P(Ⅹ=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.75
例2 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为: X -1 0 1 Y 0 1 2 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 a 0.2 0.05 求:(1)常数a的取值; (2)P(X≥0,Y≤1); (3) P(X≤1,Y≤1) 解 (1)由∑pij=1得: a=0.1 (2)由P{(X,Y)∈D}= x y D ij i j p ( ) , 得 P(X≥0,Y≤1)= P(X=0,Y=0)+ P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6 (3)P(X≤1,Y≤1) =P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0) +P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =0.75
二维随机向量区域概率图 Y 2 P{X0,Y≤1}
X Y 二维随机向量区域概率图: -1 0 1 2 1 P(X≤1,Y≤1} P{X≥0,Y≤1}
例3设XY的联合概率分布为:求(XY的边缘分布; (2)X+Y的概率分布 0050.10.1 解(1)由分析得 0.10.2 0.10.2005 P|0.25040.35 Y 2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3, P0.250.50.25 P(X+Y=-1)=P(Ⅹ=-1,Y=0=0.05 P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.2 P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=2)=0.4 同理P(X+Y=2)=0.3,P(X+Y=3)0.05 X+Y-10123 所以 P0.050.20.403005
例3 设(X,Y)的联合概率分布为: X -1 0 1 Y 0 1 2 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.05 求:(1)X,Y的边缘分布; (2)X+Y的概率分布. 解 (1)由分析得: X -1 0 1 P 0.25 0.4 0.35 Y 0 1 2 (2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3, P 0.25 0.5 0.25 P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05 P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=-1,Y=1)=0.2 P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0) +P(X=-1,Y=2)=0.4 同理,P(X+Y=2)=0.3, X+Y -1 0 1 2 3 P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05 P(X+Y=3)=0.05 所以