dsx2+y2 +z2例1.计算曲面积分1其中匕是球面二= α2被平面截出的顶部z=h(0<h<a)>Az=Ja?-×?-y?,(x, y)eDxy+aydxdu2ds=Ji++2g dxdy= Ja?-×-y?a=2元alnh3bxdi尽丈二
𝐷𝑥𝑦 例1. 计算曲面积分 ඵ 𝑑𝑆 𝑧 , 其中是球面 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 被平面 𝑧 = ℎ (0 < ℎ < 𝑎) 截出的顶部. = 2𝜋 𝑎ln 𝑎 ℎ = 𝑎 2 𝑜 𝑥 𝑧 𝑦 𝛴 ℎ 𝑎
dsx2 +y2 +z2例1.计算曲面积分1其中是球面= α2被平面截出的顶部z=h(0<h<a)解:Z:z= Va2-x?- y2,(x,y) e DxyZhDxy:x2 +y2 ≤α? - h2aay+23Va2-x272→xadxdyrd rdsdea2-r2α2 - x2 - y2ZaVa2+ h2-In(a2-r2)1 V：2元=2元alnh0
𝐷𝑥𝑦 例1. 计算曲面积分 ඵ 𝑑𝑆 𝑧 , 其中是球面 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 被平面 𝑧 = ℎ (0 < ℎ < 𝑎) 截出的顶部. 解: : 𝑧 = 𝑎 2 − 𝑥 2 − 𝑦 2 , (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑥𝑦 𝐷𝑥𝑦: 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 𝑎 2 − ℎ 2 1 + 𝑧𝑥 2 + 𝑧𝑦 2 = 𝑎 𝑎 2 − 𝑥 2 − 𝑦 2 ∴ ඵ 𝑑𝑆 𝑧 = 𝑎 න 𝑑𝜃 = 2𝜋 𝑎 [ − 1 2 ln(𝑎 2 − 𝑟 2 ) ] 𝑎 2 + ℎ 2 0 = 2𝜋 𝑎ln 𝑎 ℎ = ඵ 𝑎 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑎 2 − 𝑥 2 − 𝑦 2 න 𝑟𝑑 𝑟 𝑎 2 − 𝑟 2 = 𝑎 2 𝑜 𝑥 𝑧 𝑦 𝛴 ℎ 𝑎
类似1. 若曲面Z:y = y(x,z)则f(x, y,z)dS =f[x, y(x,z),z] 1 +yx2 +yzz dxdziJDXZ2.若曲面： x= x(y,z)则f(x,y,z)dS =/1 +x2 + x2 dydzf[x(y,z), y,z]
ඵ 𝐷xz 𝑓[𝑥, 𝑦(𝑥, 𝑧), 𝑧] 1 + 𝑦𝑥2 ′ + 𝑦𝑧 2 ′ dxdz; ඵ 𝛴 则 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)dS = ඵ 𝐷yz 𝑓[𝑥(𝑦, 𝑧), 𝑦, 𝑧] 1 + 𝑥𝑦2 ′ + 𝑥𝑧 2 ′ dydz. ඵ 𝛴 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)dS = 2.若曲面 𝛴： 𝑥 = 𝑥(𝑦, 𝑧) 则 类似 1. ( , ) 若曲面 = ： y y x z