叠加原理 定理:非齐次线性方程的一般解等于对应 的齐次线性微分方程的通解与非齐次方程 的一个特解之和。 例1求泊松方程 △24=12x2-12y2的一般解 解:(1)先求出方程的一个特解u 由方程的形式可令u1=4+by,代入方程可得: u=r-y
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 11 叠加原理 定理：非齐次线性方程的一般解等于对应 的齐次线性微分方程的通解与非齐次方程 的一个特解之和。 例1 求泊松方程 ： 2 2 的一般解。 = − 2 u x y 12 12 解:(1)先求出方程的一个特解u1 由方程的形式可令u1=ax4+by4 ,代入方程可得： 4 4 u x y 1 = −
(2)、求对应齐次方程通解 对应齐次方程为:△,=0 作变换:(=x 77==1 则齐次方程化为: 0 77 再作变换:a=n-5 1b=n+5
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 12 (2)、求对应齐次方程通解 x iy = = − 对应齐次方程为： = 2 u 0 作变换： 则齐次方程化为： u u − = 0 再作变换： a b = − = +
方程化为:w=0 齐次方程通解为:=(+)+8(x- 原方程通解为: f(x+y)+8(x-y)+(x2-y
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 13 方程化为： u f x iy g x iy = + + − ( ) ( ) uab = 0 齐次方程通解为： 原方程通解为： ( ) ( ) 4 4 u f x iy g x iy x y = + + − + − ( )