则多项式∫(x)在有理数域上不可约. 由艾森斯坦判断法得到： 有理数域上存在任意次的不可约多项式.例如f(x)=x”+2.,其中n是任意 正整数. 艾森斯坦判别法的条件只是一个充分条件。 有时对于某一个多项式∫(x),艾森斯坦判断法不能直接应用，但把∫(x)适当 变形后，就可以应用这个判断法 例3设p是一个素数，多项式 f(x)=xP-1+xP-2+.+x+1 叫做一个分圆多项式，证明∫x)在[x]中不可约， 证明：令x=y+1,则由于 (x-I)f(x)=x-1, fy+)=y+1)P-1 =yP+Cy+.+Cg-y 令gy)=f0+),于是 g(y)=y+Cy++C 由艾森斯坦判断法，g(y)在有理数域上不可约，x)也在有理数域上不可约
则多项式 f (x) 在有理数域上不可约. 由艾森斯坦判断法得到: 有理数域上存在任意次的不可约多项式.例如 ( ) = + 2 n f x x .,其中 n 是任意 正整数. 艾森斯坦判别法的条件只是一个充分条件. 有时对于某一个多项式 f (x) ,艾森斯坦判断法不能直接应用,但把 f (x) 适当 变形后,就可以应用这个判断法. 例 3 设 p 是一个素数,多项式 ( ) 1 1 2 = + + + + − − f x x x x p p 叫做一个分圆多项式,证明 f (x) 在 Q[x] 中不可约. 证明：令 x = y +1 ，则由于 ( −1) ( ) = −1 p x f x x , y C y C y yf y y p p p p p p 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 − − = + + + + = + − , 令 g( y) = f ( y +1) ，于是 1 1 2 1 ( ) − − − = + + + p p p p p g y y C y C , 由艾森斯坦判断法， g( y) 在有理数域上不可约， f (x) 也在有理数域上不可约
第一章多项式（小结） 一元多项式理论，主要讨论了三个问题：整除性理论（整除，最大公因式，互 素)：因式分解理论（不可约多项式，典型分解式，重因式）：根的理论（多项式函数， 根的个数).其中整除性是基础，因式分解是核心 一、基本概念 1.一元多项式（零多项式），多项式的次数.多项式的相等，多项式的运算，一 元多项式环 2.基本结论 (1)多项式的加法，减法和乘法满足一些运算规律。 2)86+gr≤max((x).以agn. a(f(x)g(x))=a(f(x))+ag(x)). (3)多项式乘积的常数项（最高次项系数）等于因子的常数项（最高次项系数） 的乘积. 二、整除性理论 1.整除的概念及其基本性质 2带余除法 (1)带余除法定理。 (2)设fxg(x)∈FLx]g(x)≠0，g(x)1f(x)台g(x)除f(x)的余式(x)=1. 因此多项式的整除性不因数域的扩大而改变， 3.最大公因式和互素. (1)最大公因式，互素的概念 (2②)最大公因式的存在性和求法一- 一辗转相除法 (3)设d(x)是fx)与g(x)的最大公因式，则fx)ux)+g(x)(x)=d(x).反 之不然。 (4)(fx,gx》=1台3(x,(x):fx)u(x)+g(x)v)=1. ⑤(.xg》=1→f1hx f(x)h(x).g(x)h(x),(f(x).g(x))=1=f(x)g(x)h(x). 三、因式分解理论
第一章 多项式(小结) 一元多项式理论,主要讨论了三个问题:整除性理论(整除,最大公因式,互 素);因式分解理论(不可约多项式,典型分解式,重因式);根的理论(多项式函数, 根的个数).其中整除性是基础,因式分解是核心. 一、基本概念. 1.一元多项式(零多项式),多项式的次数.多项式的相等,多项式的运算,一 元多项式环. 2．基本结论: (1) 多项式的加法,减法和乘法满足一些运算规律. (2) ( ( ) ( )) max( ( ( )), ( ( ))), ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )). f x g x f x g x f x g x f x g x + = + (3) 多项式乘积的常数项(最高次项系数)等于因子的常数项(最高次项系数) 的乘积. 二、整除性理论 1.整除的概念及其基本性质. 2.带余除法. (1) 带余除法定理. (2) 设 f (x), g(x)F[x]，g(x) 0,g(x)| f (x) g(x)除f (x)的余式r(x) =1. 因此多项式的整除性不因数域的扩大而改变. 3. 最大公因式和互素. (1) 最大公因式,互素的概念. (2) 最大公因式的存在性和求法-辗转相除法. (3) 设 d (x) 是 f (x) 与 g(x) 的最大公因式,则 f (x)u(x) + g(x)v(x) = d(x) .反 之不然. (4) ( f (x), g(x)) = 1 u(x), v(x) : f (x)u(x) + g(x)v(x) = 1. (5) ( ) | ( ), ( ) | ( ),( ( ), ( )) 1 ( ) ( ) | ( ). ( ) | ( ) ( ),( ( ), ( )) 1 ( ) | ( ). f x h x g x h x f x g x f x g x h x f x g x h x f x g x f x h x = = 三、 因式分解理论
1.不可约多项式 (1)不可约多项式的概念 (2)不可约多项式p(x)有下列性质： Vf(x)E F[x]=p(x)lf(x),or (p(x).f(x))=1, p)川fx)g(x)→px)川f(x)orp)lg(x) (③)整系数多项式在有理数域上可约一它在整数环上可约. (④)艾森斯坦判断法。 2.因式分解的有关结果： (1)因式分解及唯一性定理. (2)次数大于零的复系数多项式都可以分解成一次因式的乘积 (3)次数大于零的实系数多项式都可以分解成一次因式和二次不可约因式 的乘积 3.重因式 (1)重因式的概念 (2)若不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k≥)，则p(x)是f(x)的k-1 重因式. (3)fx)没有重因式一(f(x),f"(x)》=1. (4)消去重因式的方法： f)一是一个没有重因式的多项式，它与fx) UOIO) 具有完全相同的不可约因式. 四、多项式根的理论 1.多项式函数，根和重根的概念 2.余数定理.x-c去除fx)所得的余式为f(x),则x-clfx)一f(c)=0 3.有理系数多项式的有理根的求法， 4.实系数多项式虚根成对定理 5.代数基本定理.每个n≥)次复系数多项式在复数域中至少有一个根.因 而n次复系数多项式恰有n个复根（重根按重数计算）. 6.韦达定理 7.根的个数定理.F[x]中n次多项式(m≥0)在数域F中至多有n个根
1.不可约多项式 (1) 不可约多项式的概念. (2) 不可约多项式 p(x)有下列性质: ( ) | ( ) ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( ). ( ) [ ] ( ) | ( ), ( ( ), ( )) 1, p x f x g x p x f x or p x g x f x F x p x f x or p x f x = (3) 整系数多项式在有理数域上可约 它在整数环上可约. (4) 艾森斯坦判断法. 2.因式分解的有关结果: (1) 因式分解及唯一性定理. (2) 次数大于零的复系数多项式都可以分解成一次因式的乘积. (3) 次数大于零的实系数多项式都可以分解成一次因式和二次不可约因式 的乘积. 3.重因式 (1) 重因式的概念. (2) 若不可约多项式 p(x) 是 f (x) 的 k 重因式 (k 1) ,则 p(x) 是 f (x) 的 k −1 重因式. (3) f (x) 没有重因式 ( f (x), f (x)) = 1. (4) 消去重因式的方法: ( ( ), ( )) ( ) f x f x f x 是一个没有重因式的多项式,它与 f (x) 具有完全相同的不可约因式. 四、多项式根的理论 1.多项式函数,根和重根的概念. 2.余数定理. x −c 去除 f (x) 所得的余式为 f (x) ,则 x − c | f (x) f (c) = 0. 3.有理系数多项式的有理根的求法. 4.实系数多项式虚根成对定理. 5.代数基本定理.每个 n(n 1) 次复系数多项式在复数域中至少有一个根.因 而 n 次复系数多项式恰有 n 个复根(重根按重数计算). 6.韦达定理. 7.根的个数定理.F[x]中 n 次多项式 (n 0) 在数域 F 中至多有 n 个根
8.多项式函数相等与多项式相等是一致的， 重点：一元多项式的因式分解理论. 难点：最大公因式的概念，多项式的整除，互素和不可约多项式等概念之间的 联系与区别
8.多项式函数相等与多项式相等是一致的. 重点:一元多项式的因式分解理论. 难点:最大公因式的概念,多项式的整除,互素和不可约多项式等概念之间的 联系与区别
第二章行列式 §1引言 解方程是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有 重要地位这一章和下一章主要讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组. 线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容 对于二元线性方程组 a11+a2x3=b, a2r1+a2x2=b2, 当aa2-a24,≠0时，此方程组有唯一解，即 baz-aubz 2= aubz-ab dhda-doa da auan-anda 我们称a,a2-ae4,为二级行列式，用符号表示为 ddaa an an 于是上述解可以用二级行列式叙述为： 当二级行列式 ldn dn 时，该方程组有唯一解，即 X= b2a22 ,x2= az b2 a1a22 a21a22 对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组 a1+a22+a13x3=b, a:X+ax+ax3=b2 a+a23+a3=b 称代数式a1a2a3+a2a3a1+a3a1a2-a1a23a2-a42a1a3-a1ana31为三级行 列式，用符号表示为：
第二章 行列式 §1 引言 解方程是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有 重要地位.这一章和下一章主要讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组. 线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容. 对于二元线性方程组 + = + = , , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 当 a11a22 − a12a21 0 时，此方程组有唯一解，即 , . 11 22 12 21 11 2 12 1 2 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a a b a b x a a a a b a a b x − − = − − = 我们称 a11a22 − a12a21 为二级行列式，用符号表示为 21 22 11 12 11 22 12 21 a a a a a a − a a = . 于是上述解可以用二级行列式叙述为： 当二级行列式 0 21 22 11 12 a a a a 时，该方程组有唯一解，即 21 22 11 12 21 2 11 1 2 21 22 11 12 2 22 1 12 1 , a a a a a b a b x a a a a b a b a x = = . 对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组 + + = + + = + + = . , , 31 1 32 2 33 3 3 21 1 22 2 23 3 2 11 1 12 2 13 3 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 称代数式 a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31 为三级行 列式，用符号表示为：